2025届安徽省泗县一中五校联考高考数学试题模拟试卷

2025届安徽省泗县一中五校联考高考数学试题模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．2．已知是边长为的正三角形，若，则A． B．C． D．3．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A． B． C． D．5．已知集合，则（）A． B．C． D．6．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（）A． B．1 C． D．27．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．8．i是虚数单位，若，则乘积的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．159．已知正方体的棱长为1，平面与此正方体相交.对于实数，如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于，那么下列结论中，一定正确的是A． B．C． D．10．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．A． B． C．1 D．11．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（）A． B． C． D．12．设为非零向量，则“”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量满足，且，则_________．14．已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为__________.15．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．16．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．18．（12分）设数列的前列项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.19．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.21．（12分）已知，函数.（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：）22．（10分）已知矩阵不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.2．A【解析】

由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A．3．D【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.4．C【解析】

由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.【详解】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为，由正弦定理可得，解得，三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以，该几何体外接球的表面积为：.故选：C【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.5．C【解析】

由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合，∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.6．B【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根∴又是正项等比数列，所以∴.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.7．C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．8．B【解析】，∴，选B．9．B【解析】

此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.【详解】如图（1）恰好有3个点到平面的距离为；如图（2）恰好有4个点到平面的距离为；如图（3）恰好有6个点到平面的距离为.所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.10．B【解析】

首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为．故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．11．D【解析】

利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．【详解】∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是减函数，∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．故选D．【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．A【解析】

根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则与共线，且方向相同，充分性；当与共线，方向相反时，，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可得结论．【详解】由题意，∴，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．14．【解析】

当时，转化条件得有唯一实数根，令，通过求导得到的单调性后数形结合即可得解.【详解】当时，，故不是函数的零点；当时，即，令，，，当时，；当时，，的单调减区间为，增区间为，又，可作出的草图，如图：则要使有唯一实数根，则.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题.15．【解析】

先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，易知，故，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.16．①③④【解析】

对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.【详解】对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确；对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确；对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面，平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，所以四面体的体积一定是定值，所以③正确；对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最小值为9，.【解析】

（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方程；（Ⅱ）设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同理求得点的横坐标，于是可得，将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值.【详解】（Ⅰ）∵椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，∴，又∵椭圆的离心率是，∴，，∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设，，联立得，∴，，∴．过且与直线垂直的直线设为，联立得，∴，故，∴，面积．令，则，，令，则，即时，面积最小，即当时，面积的最小值为9，此时直线的方程为．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困难题.18．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）由已知可得，构造等比数列即可求出通项公式；（2）当时，由，可求，时，由，可证，验证时，不等式也成立，即可得证.【详解】（1）由可得，，即，所以，解得，（2）当时，，,当时，，综上，由可得递增，，时；所以，综上：故.【点睛】本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题.19．（1）见解析（2）【解析】

（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由题意可知为正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，设平面的法向量为，则令，则，∴由（1）知平面的法向量可取为∴∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．（1）更适宜（2）（3）x为2时，烧开一壶水最省煤气【解析】

（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利