2025高考数学专项复习指对同构问题讲义

2025高考数学专项复习指对同构问题讲义先取指数再取对数：x→ex→lnex；先取对数再取指数：x→lnx→elnx(x>0).指对互化，再结合经典导数构造类型，就是所谓的指对同构，其本质就是导数构造的一种类型.随意换元，但是有些不一定能取等比如t=x-2lnx，这个就取不了等，书写过程一定要按照构造函数的形式，稳拿满分.常见的类型：一边含参一边不含，常见的处理方法，两边同时加减x,ex,等等，再结合单调性和定义域基本都可以解决了.2233f(x)=ex-x-1,(0,+∞)↑→①若f(x)+x单调，则f(x)≥f-1(x)恒成立等价于f(x)≥x恒成立；②f(x)=f-1(x)的解可以等价于f(x)=x的解与的解的并集；③反函数和关于y=x对称的函数的交点f(x)与f-1(x)关于y=x对称，若g(x)=g-1(x)，则f(x)=g(x)的解x1和f-1(x)=g(x)的解x2关于y=x个交点个交点个交点时，1个交点时，0个交点44讨论y=ax与y=log图像交点的个数（标答需要零点找点处理）.→两个交点→一个交点→零个交点可得：.下面证明→→2时，此时就是ax=x，.综上：个交点个交点.矛盾区间.552）矛盾区间（同端点效应）此时当a<0,时无法判断gx与ax大小关系，所以无法用矛盾点证明矛盾.下面给出两个例题矛盾点和矛盾区间的书写过程，小题不需要，大题一定要注意过程的满分性.x0+lnx0-(x0+lnx0)-1=0.2fx≥0恒成立，求实数m取值范围66x0=1时取等考试时需自行证明）①：指数对数分离两边，ex系数上头②：先朗博后加减乘除③：注意定义域，验证取等条件【参考答案】即证→利用指数找基友可证．例2（2021-T8大联考）已知函数若f恒成立，则实数a的取值范围.【参考答案】【解法1】朗博同构+同形构造aexx+lna:.，:a>e.【解法2】朗博同构+切线放缩77【解法3】反函数性质构造令x，y=aex2，:aex2与互为反函数，利用反函数性质秒杀可得：令g,:，:a>e．例3（2020-新高考山东卷）已知函数f(x)=aex—1—lnx+lna=xex:g(x)单调递增，⑴当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；⑵若f(x)≥1，求a的取值范围．【参考答案】【解法3】隐零点代换（略【解法4】反函数性质构造只需→a≥1即可.【解法5】异形构造：变形为只需→a≥1出结果，技巧性太强，书写过程需要证明，最后可能会丢失一部分分数，在此仅仅是为大家提供一种思路和方法.88例4（百时教育高中数学组原创题）对任意实数x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，则a的取值范【参考答案】【解法1】反函数性质同构→ae2x≥x→→【解法3】朗博构造+同形构造【解法4】朗博同构2ae2x≥ln2x-ln2a→eln2a+2x-ln2a-2x-1≥ln2x-2x-2ln2a-1→0≥ln2x-2x-2ln2a-1【解法5】同形构造【解法6】异形构造e2x+ln2a-2x-ln2a-1+2x-ln2x-1+2ln2a+2≥不建议使用异构的方法，对于保号性以及涉及的切线都需要证明，配凑的过程技巧性太强，为了构而构，背离了，我们研究导数同构的初衷，这点必须认清.例5（27中学期中考试）设实数λ>0，若对任意的x∈(0,+∞)，关于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立，则λ的最小值为．【参考答案】【解法1】反函数性质同构只需eλx≥x即可，得到，:λ≥.【解法2】同形构造λeλx≥lnx→λxeλx≥xlnx，令g(x)=xex，:g(x)在(0,+∞)单调递增，例6（2021·名校调研）已知函数f(x)=e-x-ax，若x≥0时，f(-x)+l范围．【参考答案】99例7（试题来源于网络）关于x的不等式ex≥eln(ex+a)+a恒成立，则a的最大值为．【参考答案】【解法1】反函数性质同构只需即可，得到a≤ex-ex，:a≤0.x-ex，:a≤0.例8已知f(x)=xe2x-3e的零点为x1，g(x)=xlnx+x-6的零点x2，则x1x2=．【参考答案】【解法1】反函数性质同构x1e2x1-3e=0→→反函数图像性质可知关于y=x对称，得到→x1x2=3.例9（2020全国模拟）若实数a,b满足则【参考答案】【解法1】同构变形结合均值由均值由但且仅当时，中所有等号都成立即选A．【解法2】同构变形结合凹凸反转lnx≤x-1→ln4b≤4b-1→ln2b+ln2≤4b-1→4b-ln2b-2≥ln2-1，此时.→若不等式成立，必须相等.1.（2018年沈阳市一模）已知函数f(x)=alnx-2x，若不等式f(x+1)>ax-2ex在x∈(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是()2.（同泽12月考试题）当x≥0时恒成立，则a的取值范围是．3.（同泽12月考试题）当x>0时，xex-x-1-a≥lnx恒成立，则a的取值范围是．4.（2019省实验月考）x>0，x-lnx+xex≥bx+1恒成立，则b的取值范围是．5.（2020武汉市二模）不等式x-3ex-alnx≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立，则实数a的取值范围6.（2020清华大学学业能力测试）已知不等式在x∈(1,+∞)恒成立，则a的最小值7.（2020郑州市一模）已知函数若恒成立，求b的取值范8.（2020九师联盟三月模考）已知函数f(x)=e-x-ax(a∈R)，若lne(x+1)≥2-f(-x)在x∈[0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围为．9.（2020王后雄线上考试）任意x>0,恒成立，求实数a取值范围是．xx10.（2021辽宁协作体高三模拟）⑴已知函数f(x)=ax+1+lnx．对于任意x>0，不等式f(x)≤xex恒成立，求实数a的取值范围⑵已知函数f(x)=lnx，g(x)=ex不等式对于x>0恒成立，求实数m的取值范围为．11.（2021三校三模理科12）若对任意实数x∈(0,+∞)，不等式2e2x-alna-alnx≥0恒成立，则实数a的最大值为．12.（2020沈阳第三次模拟）已知函数在x=2处取得极值．⑴求函数f(x)的单调区间；⑵若不等式x2f(x)≥kx+lnx+1在x∈(0,+∞)时恒成立，求k的取值范围．13.（2021衡水中学卫冕考试理21）已知函数f(x)=lnx-ex+(ea-1)x+a(a∈R)．⑴当a=0时，证明不等式f(x)+2<0；⑵若不等式f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．14.（2021高考冲刺模拟）已知函数⑴讨论f(x)的单调性；⑵若g(x)≥f(x)恒成立，求a的值或者取值范围．15.（2021·广州调研）已知函数f(x)=axex-ax-1(a⑴当a=1时，求函数f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程；⑵若时，f(x)≥lnx恒成立，求实数a的取值范围.⑴当a≥0，讨论g(x)零点的个数；⑵证明：f(x)≤g(x).⑴讨论f(x)的单调性；⑵若f(x)≥aexlnx对任意x∈(0,1)恒成立，求实数a的取值范围.3.【参考答案】a≤0．ex+lnx-x-lnx-1≥0≥a，简单朗博同构处理即可.4.【参考答案】b≤2．ex+lnx-x-lnx-1≥2x≥bx→b≤2，简单朗博同构处理即可.5.【参考答案】(-∞,-3]．ex-3lnx-(x-3lnx)-1≥0≥(a+3)lnx→a≤-3.6.【参考答案】-e．lnxa-xa≥-x-e-x，构造g(x)=lnx-x,(0,1)单调递增，g(xa)≥g(e-x)，aa-x→→a≥-e.7.【参考答案→ex+lnx-x≥0→b≤2.9.【参考答案】(-∞,2].e2x+lnx-2x-lnx-1+(2-a)x≥0→2-a≥0→11.【参考答案】加减同构变形为2xe2x≥axlnax，令g(x)=xex在x∈(0,+∞)单调递增，12.【参考答案】⑵朗博同构可得当且仅当时k≤.13.【参考答案】⑴指对跨阶问题，切线放缩，也可以考虑隐零点处理；⑵朗博同构+加减同构+单调性处理，ea+lnx+a+lnx≤ex+x，令g(x)=ex+x，函数单调递增，只需a+lnx≤x，a≤x-lnx，即a