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文档简介
安徽省合肥高升学校2025年高三数学试题仿真试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的右焦点为,若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且点到该渐近线的距离为,则双曲线的实轴的长为A. B.C. D.2.已知角的终边经过点,则A. B.C. D.3.“”是“函数的图象关于直线对称”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.5.若(是虚数单位),则的值为()A.3 B.5 C. D.6.函数在上单调递减,且是偶函数,若,则的取值范围是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)7.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上,则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.函数的图象大致是()A. B.C. D.9.已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是()A. B. C. D.10.已知双曲线:,,为其左、右焦点,直线过右焦点,与双曲线的右支交于,两点,且点在轴上方,若,则直线的斜率为()A. B. C. D.11.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C. D.12.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为()A. B.3 C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数()的图象与直线相切,则______.14.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧,兄弟”的调查数据,人数如下表所示:不喜欢喜欢男性青年观众4010女性青年观众3080现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研,若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人,则的值为______.15.设,若函数有大于零的极值点,则实数的取值范围是_____16.在四棱锥中,是边长为的正三角形,为矩形,,.若四棱锥的顶点均在球的球面上,则球的表面积为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若对任意都有,求实数的取值范围.18.(12分)已知椭圆,左、右焦点为,点为上任意一点,若的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆的方程;(2)动直线过点与交于两点,在轴上是否存在定点,使成立,说明理由.19.(12分)已知数列为公差为d的等差数列,,,且,,依次成等比数列,.(1)求数列的前n项和;(2)若,求数列的前n项和为.20.(12分)2018年9月,台风“山竹”在我国多个省市登陆,造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失,将收集的数据分成五组:,,,,(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图.(1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议,为该地区的农户捐款帮扶,现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶,设抽出损失超过8000元的农户数为,求的分布列和数学期望.21.(12分)2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年,是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年,是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际,学校组织“五四运动100周年”知识竞赛,竞赛的一个环节由10道题目组成,其中6道A类题、4道B类题,参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答,现有甲同学参加该环节的比赛.(1)求甲同学至少抽到2道B类题的概率;(2)若甲同学答对每道A类题的概率都是,答对每道B类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题,用X表示甲同学答对题目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.22.(10分)如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,,,分别为,的中点,是上异于,的点,.(1)证明:平面平面;(2)若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
双曲线的渐近线方程为,由题可知.设点,则点到直线的距离为,解得,所以,解得,所以双曲线的实轴的长为,故选B.2.D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D.3.A【解析】
先求解函数的图象关于直线对称的等价条件,得到,分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称,则,解得,故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断,考查了学生逻辑推理,概念理解,数学运算的能力,属于基础题.4.B【解析】
三视图对应的几何体为如图所示的几何体,利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示,它是一个圆柱截去上面一块几何体,把该几何体补成如下图所示的圆柱,其体积为,故原几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积,复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系,另外,不规则几何体的体积可用割补法来求其体积,本题属于基础题.5.D【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】(是虚数单位)可得解得本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用,复数的模的求法,考查计算能力.6.B【解析】
根据题意分析的图像关于直线对称,即可得到的单调区间,利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【详解】根据题意,函数满足是偶函数,则函数的图像关于直线对称,若函数在上单调递减,则在上递增,所以要使,则有,变形可得,解可得:或,即的取值范围为;故选:B.【点睛】本题考查偶函数的性质,以及函数单调性的应用,有一定综合性,属于中档题。7.A【解析】
可将问题转化,求直线关于直线的对称直线,再分别讨论两函数的增减性,结合函数图像,分析临界点,进一步确定的取值范围即可【详解】可求得直线关于直线的对称直线为,当时,,,当时,,则当时,,单减,当时,,单增;当时,,,当,,当时,单减,当时,单增;根据题意画出函数大致图像,如图:当与()相切时,得,解得;当与()相切时,满足,解得,结合图像可知,即,故选:A【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题,导数研究函数增减性,找准临界是解题的关键,属于中档题8.A【解析】
根据复合函数的单调性,同增异减以及采用排除法,可得结果.【详解】当时,,由在递增,所以在递增又是增函数,所以在递增,故排除B、C当时,若,则所以在递减,而是增函数所以在递减,所以A正确,D错误故选:A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断,关键在于对复合函数单调性的理解,记住常用的结论:增+增=增,增-减=增,减+减=减,复合函数单调性同增异减,属中档题.9.D【解析】
由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,,由此即可得到本题答案.【详解】由题,得,因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,,所以是函数的一条对称轴,故选:D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.10.D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.设直线l的方程x=my+,m>0,设,,即y1=﹣3y2①,联立直线l与曲线C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C:,F1,F2为左、右焦点,则F2(,0),设直线l的方程x=my+,m>0,∵双曲线的渐近线方程为x=±2y,∴m≠±2,设A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,联立①②得,联立①③得,,即:,,解得:,直线的斜率为,故选D.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查向量知识,属于中档题.11.D【解析】
由半圆面积之比,可求出两个直角边的长度之比,从而可知,结合同角三角函数的基本关系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【详解】解:由题意知,以为直径的半圆面积,以为直径的半圆面积,则,即.由,得,所以.故选:D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.12.D【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.【详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形运用余弦定理,得到,而结合,可得,,代入上式子中,得到,结合离心率满足,即可得出,故选D.【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
设切点由已知可得,即可解得所求.【详解】设,因为,所以,即,又,.所以,即,.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.14.32【解析】
由已知可得抽取的比例,计算出所有被调查的人数,再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.【详解】由题可知,抽取的比例为,被调查的总人数为人,则分层抽样的样本容量是人.故答案为:32【点睛】本题考查分层抽样中求样本容量,属于基础题.15.【解析】
先求导数,求解导数为零的根,结合根的分布求解.【详解】因为,所以,令得,因为函数有大于0的极值点,所以,即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题,极值点为导数的变号零点,侧重考查转化化归思想.16.【解析】
做中点,的中点,连接,由已知条件可求出,运用余弦定理可求,从而在平面中建立坐标系,则以及的外接圆圆心为和长方形的外接圆圆心为在该平面坐标系的坐标可求,通过球心满足,即可求出的坐标,从而可求球的半径,进而能求出球的表面积.【详解】解:如图做中点,的中点,连接,由题意知,则设的外接圆圆心为,则在直线上且设长方形的外接圆圆心为,则在上且.设外接球的球心为在中,由余弦定理可知,.在平面中,以为坐标原点,以所在直线为轴,以过点垂直于轴的直线为轴,如图建立坐标系,由题意知,在平面中且设,则,因为,所以解得.则所以球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查了几何体外接球的问题,考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有:一是通过将几何体补充到长方体中,将几何体的外接球等同于长方体的外接球,求出体对角线即为直径,但这种方法适用性较差;二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直,设半径列方程求解;三是通过空间、平面坐标系进行求解.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
利用零点分区间法,去掉绝对值符号分组讨论求并集,对恒成立,则,由三角不等式,得求解【详解】解:当时,不等式即为,可得或或,解得或或,则原不等式的解集为若对任意、都有,即为,由,当取得等号,则,由,可得,则的取值范围是【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题.(1)含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(2)利用三角不等式把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.18.(1)(2)存在;详见解析【解析】
(1)由椭圆的性质得,解得后可得,从而得椭圆方程;(2)设,当直线斜率存在时,设为,代入椭圆方程,整理后应用韦达定理得,代入=0由恒成立问题可求得.验证斜率不存在时也适合即得.【详解】解:(1)由题易知解得,所以椭圆方程为(2)设当直线斜率存在时,设为与椭圆方程联立得,显然所以因为化简解得即所以此时存在定点满足题意当直线斜率不存在时,显然也满足综上所述,存在定点,使成立【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查直线与椭圆相交问题中的定点问题,解题方法是设而不求的思想方法.设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法,只要涉及交点坐标,一般就用此法.19.(1)(2)【解析】
(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差,从而求出,再利用等比数列的前项和公式即可求解.(2)由(1)求出,再利用裂项求和法即可求解.【详解】(1),且,,依次成等比数列,,即:,,,,,;(2),.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法,需熟记公式,属于基础题.20.(1)3360元;(2)见解析【解析】
(1)根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失;(2)根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值,再求X的分布列和数学期望值.【详解】(1)记每个农户的平均损失为元,则;(2)由频率分布直方图,可得损失超过1000元的农户共有(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15(户),损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50=3(户),随机抽取2户,则X的可能取值为0,1,2;计算P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列为;X012P数学期望为E(X)=0×+1×+2×=.【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题,属于中档题.21.(1);(2)分布列见解析,期望为.【解析】
(1)甲同学至少抽到2道B类题包含两个事件:一个抽到2道
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