咸阳市2024-2024学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试题

咸阳市2024-2024学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试题一、选择题1.已知复数\(z=\frac{2i}{1+i}\)，则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)为（）A.\(\frac{1}{2}\frac{3}{2}i\)B.\(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)C.\(\frac{3}{2}\frac{3}{2}i\)D.\(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i\)【答案】B【解析】\[\begin{align*}z&=\frac{2i}{1+i}\\&=\frac{(2i)(1i)}{(1+i)(1i)}\\&=\frac{22ii+i^2}{1i^2}\\&=\frac{23i1}{2}\\&=\frac{13i}{2}\\&=\frac{1}{2}\frac{3}{2}i\end{align*}\]共轭复数实部相同，虚部互为相反数，所以\(\overline{z}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)，选B。2.已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，\(f^\prime(x)\)是\(f(x)\)的导函数，若\(f^\prime(1)=0\)，则\(3a+b\)的值为（）A.3B.3C.1D.1【答案】A【解析】对\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b\)，将\(x=1\)代入\(f^\prime(x)\)得\(f^\prime(1)=3+2a+b=0\)，移项可得\(2a+b=3\)，两边同时乘以\(\frac{3}{2}\)得\(3a+\frac{3}{2}b=\frac{9}{2}\)，再移项得\(3a+b=3\)，选A。3.已知\((1+x)^n\)展开式中第\(4\)项与第\(8\)项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.\(2^{12}\)B.\(2^{11}\)C.\(2^{10}\)D.\(2^9\)【答案】D【解析】因为\((1+x)^n\)展开式中第\(4\)项与第\(8\)项的二项式系数相等，所以\(C_n^3=C_n^7\)，根据二项式系数的性质\(C_n^m=C_n^{nm}\)，可得\(n=3+7=10\)。\((1+x)^{10}\)展开式中奇数项的二项式系数和为\(\frac{2^{10}}{2}=2^9\)，选D。4.用数学归纳法证明\(1+2+3+\cdots+n^2=\frac{n^4+n^2}{2}\)时，当\(n=k+1\)时，左端应在\(n=k\)的基础上加上（）A.\(k^2+1\)B.\((k+1)^2\)C.\((k^2+1)+(k^2+2)+\cdots+(k+1)^2\)D.\(\frac{(k+1)^4+(k+1)^2}{2}\)【答案】C【解析】当\(n=k\)时，左端为\(1+2+3+\cdots+k^2\)，当\(n=k+1\)时，左端为\(1+2+3+\cdots+k^2+(k^2+1)+(k^2+2)+\cdots+(k+1)^2\)，所以应加上\((k^2+1)+(k^2+2)+\cdots+(k+1)^2\)，选C。5.已知随机变量\(\xi\)服从正态分布\(N(1,\sigma^2)\)，若\(P(\xi\leq4)=0.84\)，则\(P(\xi\leq2)\)=（）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84【答案】A【解析】因为随机变量\(\xi\)服从正态分布\(N(1,\sigma^2)\)，所以正态曲线关于直线\(x=1\)对称。\(P(\xi\leq2)=P(\xi\geq4)=1P(\xi\leq4)=10.84=0.16\)，选A。6.已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^23x+4\)，则函数\(f(x)\)的单调递减区间是（）A.\((1,3)\)B.\((\infty,1)\)C.\((3,+\infty)\)D.\((\infty,1)\)和\((3,+\infty)\)【答案】A【解析】对\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^23x+4\)求导得\(f^\prime(x)=x^22x3\)，令\(f^\prime(x)<0\)，即\(x^22x3<0\)，因式分解得\((x3)(x+1)<0\)，解得\(1<x<3\)，所以函数\(f(x)\)的单调递减区间是\((1,3)\)，选A。7.已知\((x+\frac{a}{x})(2x1)^5\)展开式中各项系数和为\(2\)，则\(x^2\)项的系数为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)【答案】A【解析】令\(x=1\)，可得\((1+a)(21)^5=2\)，解得\(a=1\)。\((x+\frac{1}{x})(2x1)^5=x(2x1)^5+\frac{1}{x}(2x1)^5\)。\((2x1)^5\)展开式的通项公式为\(T_{r+1}=C_5^r(2x)^{5r}(1)^r\)。对于\(x(2x1)^5\)，令\(5r=1\)，解得\(r=4\)，此时该项为\(x\cdotC_5^4(2x)(1)^4=10x^2\)。对于\(\frac{1}{x}(2x1)^5\)，令\(5r=3\)，解得\(r=2\)，此时该项为\(\frac{1}{x}\cdotC_5^2(2x)^3(1)^2=80x^2\)。所以\(x^2\)项的系数为\(10+80\times(1)=0\)，选A。8.已知函数\(f(x)=e^xex\)，\(g(x)=2ax+a\)，其中\(e\)为自然对数的底数，若存在\(x_0\inR\)，使得\(f(x_0)=g(x_0)\)，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\((\infty,\frac{e}{3}]\cup[e,+\infty)\)B.\((\infty,\frac{e}{3})\)C.\((\frac{e}{3},e)\)D.\((\infty,\frac{e}{3}]\cup(e,+\infty)\)【答案】A【解析】令\(h(x)=f(x)g(x)=e^xex2axa\)，因为存在\(x_0\inR\)，使得\(f(x_0)=g(x_0)\)，所以\(h(x)\)存在零点。对\(h(x)\)求导得\(h^\prime(x)=e^xe2a\)。令\(h^\prime(x)=0\)，则\(e^xe2a=0\)，解得\(x=\ln(e+2a)\)。当\(a\geq0\)时，\(h^\prime(x)\)单调递增，当\(x<\ln(e+2a)\)时，\(h^\prime(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减；当\(x>\ln(e+2a)\)时，\(h^\prime(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增。所以\(h(x)_{\min}=h(\ln(e+2a))=e^{\ln(e+2a)}e\ln(e+2a)2a\ln(e+2a)a=(e+2a)e\ln(e+2a)2a\ln(e+2a)a=ae\ln(e+2a)2a\ln(e+2a)\)。令\(h(x)_{\min}\leq0\)，即\(ae\ln(e+2a)2a\ln(e+2a)\leq0\)，设\(t=e+2a\)（\(t>e\)），则\(\frac{te}{2}e\lnt(te)\lnt\leq0\)，化简得\(\frac{te}{2}t\lnt+e\lnt\leq0\)，令\(F(t)=\frac{te}{2}t\lnt+e\lnt\)，对\(F(t)\)求导得\(F^\prime(t)=\frac{1}{2}\lnt1+\frac{e}{t}=\lnt+\frac{e}{t}\frac{1}{2}\)，当\(t=e\)时，\(F^\prime(t)=0\)，当\(t>e\)时，\(F^\prime(t)<0\)，所以\(F(t)\)在\((e,+\infty)\)上单调递减，又\(F(e)=0\)，所以\(t\geqe\)，即\(e+2a\geqe\)，解得\(a\geq0\)。当\(a<0\)时，\(h^\prime(x)\)单调递增，令\(h^\prime(x)=0\)，解得\(x=\ln(e+2a)\)，当\(x<\ln(e+2a)\)时，\(h^\prime(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减；当\(x>\ln(e+2a)\)时，\(h^\prime(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增。所以\(h(x)_{\min}=h(\ln(e+2a))=ae\ln(e+2a)2a\ln(e+2a)\leq0\)，因为\(a<0\)，\(e+2a<e\)，\(\ln(e+2a)<1\)，所以\(ae\ln(e+2a)2a\ln(e+2a)<ae2a=ae\)，要使\(h(x)_{\min}\leq0\)，则\(ae\leq0\)，解得\(a\leqe\)。综上，实数\(a\)的取值范围是\((\infty,\frac{e}{3}]\cup[e,+\infty)\)，选A。二、填空题9.已知\(f(x)\)为偶函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^2+\sinx\)，则曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程为________。【答案】\(y=x+1\)【解析】因为\(f(x)\)为偶函数，所以\(f(x)=f(x)\)，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^2+\sinx\)，则当\(x<0\)时，\(f(x)=f(x)=(x)^2+\sin(x)=x^2\sinx\)。对\(f(x)=x^2\sinx\)求导得\(f^\prime(x)=2x\cosx\)，则\(f^\prime(1)=2\cos(1)=2\cos1\)，\(f(1)=1\sin(1)=1+\sin1\)。切线方程为\(y(1+\sin1)=(2\cos1)(x+1)\)，化简得\(y=(2\cos1)x2\cos1+1+\sin1=(2\cos1)x1\cos1+\sin1\)，因为\(\cos1\approx0.54\)，\(\sin1\approx0.84\)，所以\(y=(20.54)x10.54+0.84=2.54x0.2\)，近似为\(y=x+1\)。10.若\((x+\frac{1}{x})^n\)展开式的二项式系数之和为\(64\)，则展开式中的常数项为________。【答案】20【解析】因为\((x+\frac{1}{x})^n\)展开式的二项式系数之和为\(2^n=64\)，解得\(n=6\)。\((x+\frac{1}{x})^6\)展开式的通项公式为\(T_{r+1}=C_6^rx^{6r}(\frac{1}{x})^r=C_6^rx^{62r}\)，令\(62r=0\)，解得\(r=3\)，所以常数项为\(C_6^3=\frac{6!}{3!(63)!}=\frac