2024-2024学年人教A版必修-第一册2.2-基本不等式-教案

2024-2024学年人教A版必修-第一册2.2-基本不等式-教案一、教学目标1.知识与技能目标理解基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)（\(a,b\gt0\)，当且仅当\(a=b\)时等号成立）的证明过程。掌握基本不等式的形式及其成立的条件，能运用基本不等式解决一些简单的最值问题。2.过程与方法目标通过对基本不等式的探究，培养学生观察、分析、归纳、类比的能力，体会从特殊到一般的数学思维方法。在运用基本不等式解决最值问题的过程中，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑推理和运算求解能力。3.情感态度与价值观目标通过实际问题的引入，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点基本不等式的证明及其应用。理解基本不等式成立的条件，等号成立的条件。2.教学难点基本不等式证明思路的探索。灵活运用基本不等式求最值，能准确判断等号是否能取到。三、教学方法1.讲授法：讲解基本不等式的概念、证明过程和应用方法，使学生系统地掌握知识。2.探究法：通过设置问题情境，引导学生自主探究基本不等式的证明思路，培养学生的探究能力和创新思维。3.讨论法：组织学生对基本不等式的应用进行讨论，鼓励学生发表自己的见解，促进学生之间的交流与合作，拓宽学生的思维视野。四、教学过程（一）创设情境，引入新课1.展示问题问题1：如图，是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？引导学生观察会标图形，将其抽象为数学图形（四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形）。设直角三角形的两条直角边长分别为\(a\)，\(b\)（\(a,b\gt0\)），那么大正方形的边长为\(\sqrt{a^2+b^2}\)，面积为\(a^2+b^2\)；四个直角三角形的面积和为\(4\times\frac{1}{2}ab=2ab\)，小正方形的面积为\((ba)^2\)。学生通过观察图形可以发现：\(a^2+b^2\gt2ab\)，当且仅当\(a=b\)时，等号成立。问题2：将一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为\(a\)。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么并非实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为\(b\)。有人把两次称得的物体质量"平均一下"，用\(\frac{a+b}{2}\)表示物体的质量。你认为这样做合理吗？该物体的实际质量是多少？设天平的两臂长分别为\(l_1\)，\(l_2\)，根据杠杆原理，第一次称得物体质量\(a\)满足\(al_1=bl_2\)，第二次称得物体质量\(b\)满足\(bl_1=al_2\)，两式相乘可得\(ab=\frac{l_1l_2}{l_1l_2}=1\)，所以物体的实际质量为\(\sqrt{ab}\)。又因为\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2=a+b2\sqrt{ab}\geq0\)（当且仅当\(a=b\)时等号成立），所以\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。2.引出课题通过以上两个实际问题，我们得到了两个不等式\(a^2+b^2\geq2ab\)（\(a,b\inR\)，当且仅当\(a=b\)时等号成立）和\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)，当且仅当\(a=b\)时等号成立）。本节课我们将重点研究后一个不等式基本不等式。（二）探究新知1.基本不等式的推导已知\(a,b\gt0\)，由\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)展开可得：\(a2\sqrt{ab}+b\geq0\)，移项得到\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)。两边同时除以\(2\)，即\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。当且仅当\(\sqrt{a}\sqrt{b}=0\)，也就是\(a=b\)时，等号成立。我们把\(\frac{a+b}{2}\)叫做\(a\)，\(b\)的算术平均数，\(\sqrt{ab}\)叫做\(a\)，\(b\)的几何平均数。所以基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）可以表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2.基本不等式的证明方法一：比较法要证\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)），只要证\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，只要证\(a+b2\sqrt{ab}\geq0\)，即证\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)。因为\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)显然成立，当且仅当\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\)，即\(a=b\)时等号成立。所以\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）。方法二：分析法要证\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，只需证\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，只需证\(a+b2\sqrt{ab}\geq0\)，即证\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)。因为\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)对于任意\(a,b\gt0\)都成立，当且仅当\(a=b\)时等号成立。所以\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）。方法三：综合法因为\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，所以\((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2\geq2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\)，即\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，两边同时除以\(2\)得\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。当且仅当\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\)，即\(a=b\)时等号成立。3.基本不等式的几何意义如图，以\(a+b\)为直径作圆，在直径\(AB\)上取一点\(C\)，使\(AC=a\)，\(CB=b\)。过点\(C\)作垂直于直径\(AB\)的弦\(DD'\)，连接\(AD\)，\(DB\)。由射影定理可知\(CD^2=AC\cdotCB=ab\)，所以\(CD=\sqrt{ab}\)。而圆的半径\(R=\frac{a+b}{2}\)，显然\(CD\leqR\)，即\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)。当且仅当点\(C\)与圆心重合，即\(a=b\)时等号成立。（三）例题讲解1.例1：已知\(x\gt0\)，求\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值。解：因为\(x\gt0\)，根据基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，这里\(a=x\)，\(b=\frac{1}{x}\)，则有：\(y=x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)。当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)，即\(x=1\)时，等号成立。所以当\(x=1\)时，\(y=x+\frac{1}{x}\)取得最小值\(2\)。2.例2：已知\(a,b\gt0\)，且\(a+b=1\)，求\(ab\)的最大值。解：由基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)可得：\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\)。因为\(a+b=1\)，所以\(ab\leq(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)。当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)时，等号成立。所以\(ab\)的最大值为\(\frac{1}{4}\)。3.例3：已知\(x\gt3\)，求\(y=x+\frac{4}{x3}\)的最小值。解：因为\(x\gt3\)，所以\(x3\gt0\)。\(y=x+\frac{4}{x3}=(x3)+\frac{4}{x3}+3\)。根据基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，这里\(a=x3\)，\(b=\frac{4}{x3}\)，则有：\((x3)+\frac{4}{x3}\geq2\sqrt{(x3)\cdot\frac{4}{x3}}=4\)。所以\(y=(x3)+\frac{4}{x3}+3\geq4+3=7\)。当且仅当\(x3=\frac{4}{x3}\)，即\((x3)^2=4\)，\(x3=2\)（因为\(x3\gt0\)），\(x=5\)时，等号成立。所以当\(x=5\)时，\(y=x+\frac{4}{x3}\)取得最小值\(7\)。（四）课堂练习1.已知\(x\gt0\)，当\(x\)取什么值时，\(y=4x+\frac{9}{x}\)的值最小？最小值是多少？2.已知\(a,b\gt0\)，且\(ab=16\)，求\(a+b\)的最小值。3.已知\(x\lt\frac{5}{4}\)，求函数\(y=4x2+\frac{1}{4x5}\)的最大值。（五）课堂小结1.基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)），当且仅当\(a=b\)时等号成立。其几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高。2.证明基本不等式的方法有比较法、分析法、综合法等。3.应用基本不等式求最值时，要注意"一正、二定、三相等"："一正"：各项或各因式必须为正数。"二定"：必须满足"和为定值"或"积为定值"，要凑出"和为定值"或"积为定值"的形式。"三相等"：要保证等号能取到。（六）布置作业1.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(2a+b=1\)，求\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\)的最小值。2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为\(4800m^3\)，深为\(3m\)，如果池底每\(1m^2\)的造价为\(150\)元，池壁每\(1m^2\)的造价为\(120\)元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？五、教学反思通过本节课的教学，学生对基本不等式有了较为深入的理解和掌握。在教学过程中，