中职数学拓展模块1.3.1余弦定理教案教学设计人教版

中职数学拓展模块1.3.1余弦定理教案教学设计人教版一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理的两种表示形式。能够运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题：已知三边求三角；已知两边及其夹角求第三边。2.过程与方法目标通过对余弦定理的探究，培养学生观察、分析、归纳、推理等逻辑思维能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。经历从向量方法推导余弦定理到利用余弦定理解决实际问题的过程，体会数学知识的形成与应用过程，提升学生的数学建模素养。3.情感态度与价值观目标通过引导学生参与数学探究活动，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生体会数学在实际生活中的广泛应用，感受数学的严谨性和科学性，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点余弦定理的推导及其证明过程。余弦定理的两种表示形式及其应用。2.教学难点用向量方法推导余弦定理。灵活运用余弦定理解决各种解三角形问题，特别是在已知三边求三角时对余弦定理变形公式的理解和应用。三、教学方法1.讲授法：讲解余弦定理的基本概念、推导过程和应用方法，使学生系统地掌握知识。2.探究法：引导学生通过自主探究、小组合作等方式，探索余弦定理的推导方法，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：通过布置适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用余弦定理解决问题的能力。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾提问学生正弦定理的内容及其应用场景。正弦定理是解决已知两角和一边或已知两边和其中一边的对角解三角形的问题。2.情境导入展示一个三角形的模型，已知三角形的两边及其夹角，让学生思考如何求第三边。例如，在一个三角形中，已知两边分别为\(a=3\)，\(b=4\)，夹角\(C=60^{\circ}\)，求第三边\(c\)的长度。引导学生思考能否用已学的正弦定理来解决这个问题，发现正弦定理在此处无法直接应用，从而引出本节课的主题余弦定理。（二）新课讲授（25分钟）1.余弦定理的推导向量法推导设\(\overrightarrow{AB}=\vec{c}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{CA}=\vec{b}\)，则\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)，即\(\vec{c}=(\vec{a}+\vec{b})\)。两边平方可得\(\vec{c}^{2}=(\vec{a}+\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^{2}\)。根据向量数量积的定义\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos(\piC)=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cosC\)。已知\(\vert\vec{a}\vert=a\)，\(\vert\vec{b}\vert=b\)，\(\vert\vec{c}\vert=c\)，则\(c^{2}=a^{2}+b^{2}2ab\cosC\)。同样的方法，可得\(a^{2}=b^{2}+c^{2}2bc\cosA\)，\(b^{2}=a^{2}+c^{2}2ac\cosB\)。总结余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。表达式为：\(\begin{cases}a^{2}=b^{2}+c^{2}2bc\cosA\\b^{2}=a^{2}+c^{2}2ac\cosB\\c^{2}=a^{2}+b^{2}2ab\cosC\end{cases}\)2.余弦定理的变形由余弦定理可得：\(\begin{cases}\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\\\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\\\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}c^{2}}{2ab}\end{cases}\)这些变形公式可以用于已知三边求三角的问题。（三）例题讲解（20分钟）1.已知三边求三角例1：在\(\triangleABC\)中，\(a=7\)，\(b=5\)，\(c=3\)，求\(A\)，\(B\)，\(C\)。解：根据余弦定理\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)，代入数值可得：\(\cosA=\frac{5^{2}+3^{2}7^{2}}{2\times5\times3}=\frac{25+949}{30}=\frac{1}{2}\)因为\(0^{\circ}\ltA\lt180^{\circ}\)，所以\(A=120^{\circ}\)。再根据\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\)，可得：\(\cosB=\frac{7^{2}+3^{2}5^{2}}{2\times7\times3}=\frac{49+925}{42}=\frac{11}{14}\)通过计算器可得\(B\approx44.4^{\circ}\)。最后，因为三角形内角和为\(180^{\circ}\)，所以\(C=180^{\circ}AB=180^{\circ}120^{\circ}44.4^{\circ}=15.6^{\circ}\)。2.已知两边及其夹角求第三边例2：在\(\triangleABC\)中，已知\(a=8\)，\(b=5\)，\(C=60^{\circ}\)，求\(c\)。解：根据余弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}2ab\cosC\)，代入数值可得：\(c^{2}=8^{2}+5^{2}2\times8\times5\times\cos60^{\circ}=64+2540\times\frac{1}{2}=49\)所以\(c=7\)。（四）课堂练习（10分钟）1.在\(\triangleABC\)中，\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=4\)，求\(\cosA\)，\(\cosB\)，\(\cosC\)。2.在\(\triangleABC\)中，已知\(b=6\)，\(c=4\)，\(A=60^{\circ}\)，求\(a\)。（五）课堂小结（5分钟）1.余弦定理的内容及其推导方法。2.余弦定理的两种表示形式及其应用。3.已知三边求三角和已知两边及其夹角求第三边这两类解三角形问题的解法。（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材第[X]页练习第[X]题，习题第[X]题。2.拓展作业：在实际生活中寻找一个可以用余弦定理解决的问题，并进行求解。五、教学反思通过本节课的教学，学生对余弦定理有了较为系统的认识和理解，掌握了余弦定理的推导方法及其应用。在教学过程中，采用多种教学方法相结