2025年高考数学模拟检测卷（五十九）：探究性学习成果展示数学思维训练方法

2025年高考数学模拟检测卷（五十九）：探究性学习成果展示数学思维训练方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题要求：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=______。A.3x^2-3B.3x^2+3C.3x^2-1D.3x^2+12.已知函数y=2sin(x+π/6)的图象上一点P的坐标为(m,n)，则sinm+cosn=______。A.√3B.1C.0D.-√33.已知数列{an}是等差数列，且a1=3，S6=36，则a5=______。A.9B.12C.15D.184.已知向量a=(2,3)，向量b=(1,2)，则向量a与向量b的夹角θ的正弦值为______。A.√5/10B.√5/5C.√5/2D.15.若等比数列{an}的首项为1，公比为2，则该数列的前10项之和S10=______。A.1023B.1024C.512D.1024/36.已知函数f(x)=x^2-2ax+1，其中a是常数，若f(x)在区间[0,2]上的图象关于直线x=a对称，则a=______。A.1B.0C.2D.-17.若函数f(x)=x^2-2ax+b在区间[-1,3]上单调递增，则a的取值范围是______。A.a≥1B.a≤1C.a≤3D.a≥38.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=3an-1-2，若a1=2，则S10=______。A.728B.726C.724D.7229.若向量a=(3,4)，向量b=(2,-1)，则向量a与向量b的模长乘积|a||b|=______。A.5B.10C.20D.3010.已知函数f(x)=2sinx+cosx，若函数g(x)=ax^2+bx+c与f(x)的图象有两个交点，则a、b、c的取值范围是______。A.a>0，b>0，c>0B.a>0，b>0，c<0C.a>0，b<0，c>0D.a>0，b<0，c<0二、填空题要求：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.若函数f(x)=x^2+2x-3在区间[0,2]上的最大值为______。12.若等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第10项an=______。13.已知函数f(x)=log2(x+1)，若函数g(x)=f(x)-1，则g(x)的值域为______。14.若函数y=|x|+|x+2|的图象与x轴的交点坐标为______。15.已知等比数列{an}的首项为1，公比为3，则该数列的第4项a4=______。四、解答题要求：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题12分）已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求：（1）函数f(x)的单调递增区间；（2）函数f(x)的极值点。17.（本小题15分）在三角形ABC中，AB=AC=1，BC=√3，求三角形ABC的外接圆半径。18.（本小题15分）已知数列{an}满足an=3an-1-2n，且a1=1，求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和Sn。19.（本小题15分）已知函数f(x)=x^2+ax+b，若函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增，求实数a和b的取值范围。20.（本小题12分）已知向量a=(2,3)，向量b=(1,-2)，求：（1）向量a与向量b的数量积；（2）向量a与向量b的夹角θ的余弦值。五、证明题要求：本大题共1小题，共15分。21.（本小题15分）证明：对于任意实数x，都有x^3+3x+1≥x。六、应用题要求：本大题共1小题，共15分。22.（本小题15分）某工厂生产一种产品，每天生产成本为y元，其中y=100+0.2x，x为每天生产的数量。已知该产品的销售价格为每件200元，且市场需求函数为Q=200-0.5y，求：（1）每天生产多少件产品时，工厂的利润最大？（2）最大利润是多少？本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：f'(x)=3x^2-3。2.A解析：由题意得，sinm+cosn=sin(m+π/3)。3.C解析：由等差数列的性质知，a5=a1+4d=3+4*2=15。4.B解析：cosθ=|a|*|b|/|a||b|=2/√10=√5/5。5.B解析：S10=a1*(1-2^10)/(1-2)=1*(1-1024)/(1-2)=1024。6.B解析：由对称性知，f(x)在x=a处取得最小值，即f'(a)=0，解得a=1。7.B解析：f(x)在[-1,3]上单调递增，即f'(x)=2x-2≥0，解得x≥1，即a≤1。8.B解析：由递推关系知，an=3an-1-2n，可得an=3^n-2^n。9.C解析：|a||b|=√(3^2+4^2)=5。10.C解析：g(x)=2sinx+cosx-1，由sinx+cosx=√2sin(x+π/4)得g(x)=√2sin(x+π/4)-1。二、填空题11.2解析：f(x)在x=0处取得最大值。12.11解析：由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，得a10=3+9*2=21。13.[0,1]解析：f(x)的值域为[0,1]，故g(x)的值域为[-1,0]。14.(-1,0)，(1,0)解析：令y=0，得x=-1或x=1。15.27解析：a4=1*3^3=27。四、解答题16.解析：（1）f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)，当x<1或x>3时，f'(x)>0，故f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)；（2）由（1）知，f(x)在x=1处取得极大值，极大值为f(1)=1；f(x)在x=3处取得极小值，极小值为f(3)=1。17.解析：由余弦定理得，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(3+1-1^2)/(2*√3*1)=√3/2，故角A为60°，由正弦定理得，2R=b/sinB=√3/√3/2=2，即外接圆半径R=1。18.解析：（1）由递推关系知，an=3an-1-2n，可得an=3^n-2^n；（2）由等比数列求和公式得，Sn=(a1(1-3^n))/(1-3)-2(1-2^n)/(1-2)=3^n-2^n-2。19.解析：f'(x)=2x+a，由f(x)在[-1,2]上单调递增得f'(x)≥0，即2x+a≥0，解得a≥-2x，故a≥-2。20.解析：（1）a·b=2*1+3*(-2)=-4；（2）cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(-4)/(√(2^2+3^2))=-4/√13。五、证明题21.解析：令g(x)=x^3+3x+1-x=x^3+2x+1=(x+1)^3，当x≥0时，g(x)≥0，当x<0时，g(x)≤0，故x^3+3x+1≥x。六、应用题22.解析：（1）利润L=y-Q=200x-0.2x^2-100-0.5y=200x-0.2x^2-100-0