2025年高考数学函数与导数重点试题解析及解题技巧

2025年高考数学函数与导数重点试题解析及解题技巧考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题要求：从下列各题的四个选项中，选择一个正确的答案。1.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)$的零点为：A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=2$D.$x=-2$2.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的图像与x轴的交点个数为：A.1B.2C.3D.43.已知函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间[0,1]上的导数恒大于0，则$f(x)$在该区间上的单调性为：A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增4.函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的图像在x轴的左侧是：A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增5.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)$的零点为：A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=2$D.$x=-2$6.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的图像与y轴的交点为：A.$(0,2)$B.$(0,-2)$C.$(2,0)$D.$(-2,0)$7.已知函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间[0,1]上的导数恒大于0，则$f(x)$在该区间上的极值点为：A.$x=0$B.$x=1$C.$x=\frac{1}{2}$D.$x=\frac{1}{4}$8.函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的图像在x轴的右侧是：A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增9.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)$的极值点为：A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=2$D.$x=-2$10.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的图像与x轴的交点个数为：A.1B.2C.3D.4二、填空题要求：直接写出答案。11.函数$f(x)=x^3-3x+2$的导数$f'(x)$为______。12.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的导数$f'(x)$为______。13.函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间[0,1]上的导数$f'(x)$为______。14.函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的导数$f'(x)$为______。15.函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的导数$f'(x)$为______。16.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的极值点为______。17.函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间[0,1]上的极值点为______。18.函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的极值点为______。19.函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的极值点为______。20.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的零点为______。三、解答题要求：写出解题过程，并求出答案。21.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$在区间[0,2]上的最大值和最小值。22.已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$f(x)$在区间[0,3]上的最大值和最小值。23.已知函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间[0,1]上的导数恒大于0，求$f(x)$在该区间上的最大值和最小值。四、证明题要求：证明下列各题中的等式或不等式。24.证明：若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，且$f(1)=0$，$f(2)=0$，则$f(x)$在区间[0,1]上单调递增。25.证明：若函数$f(x)=\frac{1}{x}$的图像在x轴的左侧是单调递增的，则对于任意正实数$x$，都有$f(x)+f(\frac{1}{x})>2$。五、应用题要求：根据所给条件，解决实际问题。26.已知某工厂生产一种产品，其成本函数为$C(x)=1000+10x+0.1x^2$（其中$x$为生产的产品数量），求：（1）当生产100件产品时，总成本是多少？（2）当生产多少件产品时，总成本最低？27.已知某商品的价格函数为$p(x)=10-0.1x$（其中$x$为购买数量），求：（1）当购买10件商品时，总价格是多少？（2）当购买多少件商品时，总价格最低？六、综合题要求：综合运用所学知识解决下列问题。28.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，求：（1）$f(x)$的极值点；（2）$f(x)$在区间[0,2]上的最大值和最小值；（3）$f(x)$的单调区间。本次试卷答案如下：一、选择题1.A.$x=1$解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x^2-1=0$，解得$x=1$或$x=-1$。将$x=1$代入原函数，得$f(1)=1^3-3\times1+2=0$，故$x=1$是$f(x)$的零点。2.B.2解析：$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$，当$x=-2$或$x=2$时，$f(x)=0$，故$f(x)$与x轴的交点个数为2。3.A.单调递增解析：$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，在区间[0,1]上恒大于0，故$f(x)$在该区间上单调递增。4.A.单调递增解析：$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，在x轴的左侧，$x<0$，故$f'(x)>0$，故$f(x)$在x轴的左侧单调递增。5.A.$x=1$解析：$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x^2-x+\frac{2}{3}=0$，解得$x=1$或$x=\frac{1}{3}$。将$x=1$代入原函数，得$f(1)=2\times1^3-3\times1^2+4\times1-1=2$，故$x=1$是$f(x)$的零点。6.C.$(2,0)$解析：$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$，当$x=2$时，$f(x)=0$，故$f(x)$与y轴的交点为$(2,0)$。7.B.$x=1$解析：$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，在区间[0,1]上恒大于0，故$f(x)$在该区间上单调递增。$f(0)=0$，$f(1)=1$，故$x=1$是$f(x)$的极小值点。8.A.单调递增解析：$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，在x轴的右侧，$x>0$，故$f'(x)<0$，故$f(x)$在x轴的右侧单调递增。9.A.$x=1$解析：$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x^2-x+\frac{2}{3}=0$，解得$x=1$或$x=\frac{1}{3}$。将$x=1$代入原函数，得$f(1)=2\times1^3-3\times1^2+4\times1-1=2$，故$x=1$是$f(x)$的零点。10.B.2解析：$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$，当$x=-2$或$x=2$时，$f(x)=0$，故$f(x)$与x轴的交点个数为2。二、填空题11.$f'(x)=3x^2-3$解析：根据导数的定义，$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}$，代入$f(x)=x^3-3x+2$，求导得$f'(x)=3x^2-3$。12.$f'(x)=\frac{2(x+2)}{(x-2)^2}$解析：根据导数的定义，$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}$，代入$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求导得$f'(x)=\frac{2(x+2)}{(x-2)^2}$。13.$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$解析：根据导数的定义，$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}$，代入$f(x)=\sqrt{x}$，求导得$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。14.$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$解析：根据导数的定义，$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}$，代入$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求导得$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$。15.$f'(x)=6x^2-6x+4$解析：根据导数的定义，$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}$，代入$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，求导得$f'(x)=6x^2-6x+4$。16.无极值点解析：$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$，$f(x)$的导数$f'(x)=1$，在定义域内恒大于0，故$f(x)$无极值点。17.$x=1$解析：$f(x)=\sqrt{x}$，$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，在区间[0,1]上恒大于0，故$f(x)$在该区间上单调递增。$f(0)=0$，$f(1)=1$，故$x=1$是$f(x)$的极小值点。18.无极值点解析：$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，在定义域内恒小于0，故$f(x)$无极值点。19.$x=1$解析：$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x^2-x+\frac{2}{3}=0$，解得$x=1$或$x=\frac{1}{3}$。将$x=1$代入原函数，得$f(1)=2\times1^3-3\times1^2+4\times1-1=2$，故$x=1$是$f(x)$的零点。20.$x=-2$或$x=2$解析：$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$，当$x=-2$或$x=2$时，$f(x)=0$，故$f(x)$与x轴的交点为$x=-2$或$x=2$。三、解答题21.解析：（1）当生产100件产品时，总成本$C(100)=1000+10\times100+0.1\times100^2=11000$元。（2）$C'(x)=10+0.2x$，令$C'(x)=0$，得$x=-50$，$C''(x)=0.2>0$，故$x=-50$是$C(x)$的极小值点。$C(-50)=1000+10\times(-50)+0.1\times(-50)^2=500$元，故总成本最低时，生产50件产品。22.解析：（1）当购买10件商品时，总价格$p(10)=10-0.1\times10=9$元。（2）$p'(x)=-0.1$，在定义域内恒小于0，故$p(x)$单调递减。$p(x)