吉林省长春市南关区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年吉林省长春市南关区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）计算的结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4解：2．故选：B．2．（3分）要反映武汉市某月每天的最低气温的变化趋势，宜采用（）A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布统计图解：要反映武汉市某月每天的最低气温的变化趋势，宜采用折线统计图，故选：B．3．（3分）下列计算正确的是（）A．4a2÷2a2＝2a2 B．﹣（a3）2＝a6 C．（﹣2a）（﹣a）＝2a2 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2解：A．4a2÷2a2＝2，此选项计算错误；B．﹣（a3）2＝﹣a6，此选项计算错误；C．（﹣2a）（﹣a）＝2a2，此选项计算正确；D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝﹣a2+b2，此选项计算错误；故选：C．4．（3分）用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（）A．三角形中有一个内角小于或等于60° B．三角形中有两个内角小于或等于60° C．三角形中有三个内角小于或等于60° D．三角形中没有一个内角小于或等于60°解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于60°，故选：D．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC解：根据尺规作图的痕迹可得，∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（）A．6 B．12 C．10 D．8解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，∵S3+S2﹣S1＝24，∴S2＝12，由图形可知，阴影部分的面积S2＝6，故选：A．7．（3分）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（）A．205 B．250 C．502 D．520解：根据平方差公式得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．故选：D．8．（3分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过△ABC的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则AC的长是（）A． B． C． D．5解：作AD⊥l于D，作CE⊥l于E，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBE＝90°又∠DAB+∠ABD＝90°∴∠BAD＝∠CBE，，∴△ABD≌△BCE（ASA）∴BE＝AD＝2，DB＝CE＝3，在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）因式分解：4m2﹣36n2＝4（m+3n）（m﹣3n）．解：原式＝4（m2﹣9n2）＝4（m+3n）（m﹣3n），故答案为：4（m+3n）（m﹣3n）．10．（3分）若am＝4，an＝3，则a2m+n的值为48．解：∵am＝4，an＝3，∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝42×3＝48，故答案为：48．11．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为12．解：①5是腰长时，三边分别为5、5，2，周长＝5+5+2＝12，②5是底边时，三边分别为2、2、5，因为2+2＜5，不能组成三角形，故答案为：12．12．（3分）如图，已知在△ABC中AB＝9，AC＝7，BC＝5，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是42．解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质可得：OE＝OF＝OD＝4，∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO＝42，故答案为：42．13．（3分）如图，在一个长AB为6m，宽AD为4m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是4m．解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为6+2×1＝8米；宽为4米．于是最短路径为：4（米）．故答案为：4．14．（3分）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEC+∠EBD＝90°，其中正确的结论有①③④（将所有正确答案的序号填写在横线上）．解：①BE平分∠ABC，∴∠EBC∠ABC，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE∠ACD，∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，∴∠EBC+∠BEC（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC∠BAC，∴∠BEC∠BAC，故①正确；∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．③BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE＝∠GEB，∴∠ABE＝∠GEB，∴BG＝GE，同理CH＝HE，∴BG＝GE＝GH+HE＝CH+GH，故③正确．④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，∵BE平分∠ABC，∴EM＝ED，∵CE平分∠ACD，∴EN＝ED，∴EN＝EM，∴AE平分∠CAM，设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，∴x+z＝y+90°，∵z＝y+∠AEB，∴x+y+∠AEB＝y+90°，∴x+∠AEB＝90°，即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；故答案为：①③④．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：．解：原式2＝42＝4﹣3．16．（6分）已知（x+m）（x﹣n）＝x2+7x﹣9，求代数式mn﹣m+n的值．解：∵（x+m）（x﹣n）＝x2+（m﹣n）x﹣mn＝x2+7x﹣9，∴m﹣n＝7，mn＝9，∴mn﹣m+n＝mn﹣（m﹣n）＝9﹣7＝2，∴代数式mn﹣m+n的值为2．17．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）（x﹣1）﹣（x3+x）÷x，其中．解：（x﹣3）（x﹣1）﹣（x3+x）÷x＝x2﹣4x+3﹣（x2+1）＝x2﹣4x+3﹣x2﹣1＝﹣4x+2，把代入得：原式．18．（7分）如图，△ABC中，∠BAC＝100°，∠C＝50°，AD⊥BC，垂足为D，EF是边AB的垂直平分线，交BC于E，交AB于点F，求∠EAD的度数．解：∵∠BAC＝100°，∠C＝50°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝30°，∵EF是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝30°，∴∠AED＝∠EAB+∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°﹣60°＝30°．19．（7分）图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B均为格点．分别在给定的网格中找一格点C，按下列要求作图：（1）在图①中，连结AC、BC，使AC＝AB，∠BAC＝90°；（2）在图②中，连结AC、BC，使AC＝BC，∠ACB＝90°；（3）在图③中，连结AC、BC，使AC＝BC，∠ACB≠90°．解：（1）如图①中，点C即为所求；（2）如图②中，点C即为所求；（3）如图③中，点C即为所求．20．（7分）某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：A交流谈心；B体育活动；C享受美食；D听音乐；E其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有50人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）计算扇形统计图中表示“D听音乐”的扇形圆心角的度数．解：（1）一共抽查的学生：15÷30%＝50（人）；答：这次被调查的学生共有50人；（2）参加“体育活动”的人数为：50﹣4﹣15﹣18﹣3＝10（人），补全统计图如图所示：（3）360°129.6°，答：“D听音乐”所对应扇形的圆心角的度数为129.6°．21．（8分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，∴BC2+AC2＝BE2+DE2，即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，解得：x＝1.5，答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．22．（9分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A、C、D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）连结AE，当BC＝5，DE＝13时，求AE的长．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（AAS）；（2）解：△ABC≌△DCE，∴AC＝AD，AC＝DE＝13，CE＝BC＝5，∴AE．23．（10分）探究规律并解决问题：（1）用“＝”、“＞”或“＜”填空，比较a2+b2与2ab的大小．①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝2ab；②当a＝2，b时，a2+b2＞2ab；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2＞2ab．（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB、BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD、BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1、S2.若△BCG的面积为2保持不变，求S1+S2的最小值．解：（1）①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，∴a2+b2＝2ab，故答案为：＝；②当a＝2，b时，a2+b2＝4，2ab＝2×22，∴a2+b2＞2ab，故答案为：＞；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，∴a2+b2＞2ab，故答案为：＞；（2）由（1）可猜想：a2+b2≥2ab，理由如下：∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（3）由题意可知，S1＝a2，S2＝b2，∵△BCG的面积为2，即ab＝2，∴ab＝4，∵S1+S2＝a2+b2≥2ab，∴S1+S2＝a2+b2≥8，∴S1+S2的最小值为8．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．（1）∠ACD＝45°，AB＝12（提示：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）；（2）若△CPD是等腰三角形，则∠CPD的度数为90°或45°或67.5°；（3）当四边形ACPD为轴对称图形时，求BP的长；（4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的最小值．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠ACB＝45°，∵∠A＝60°，AC＝6，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝12，故答案为：45°，12；（2）当△CPD是等腰三角形时，分三种情况讨论，即CP＝DP时，CD＝PD时，CP＝CD时，当CP＝DP时，则∠DCP＝∠PDC，∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠DCPACB＝45°，∴∠DCP＝∠PDC＝45°，∴∠CPD＝180°﹣∠DCP﹣∠PDC＝90°；当CD＝PD时，则∠CPD＝∠DCP＝45°；当CP＝CD时，则∠CPD＝∠CDP（180°﹣∠DCP）＝67.5°；综上，∠CPD的度数为90°或45°或67.5°，