2025年八省八校部分重点中学（T8联考）高考数学测评试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年八省八校部分重点中学（T8联考）高考数学测评试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z+2i=zi，则|z|=(

)A.5 B.55 C.2.已知集合P={x|y=ln(1−2x)},Q={y|y=1−exA.(−∞,12) B.(12,+∞)3.已知实数a<b，则“m>0”是“ab<a+mb+mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为(

)A.12盏 B.24盏 C.36盏 D.48盏5.若cosα+cosβ=12,cos(α−β)=−14，其中αA.52 B.62 C.6.设N为正整数，在平面直角坐标系Oxy中，若CNmx2+CNny2=1(0≤m≤N,0≤n≤N，且A.12 B.8 C.7 D.57.在研究性学习活动中，某位学生收集了两个变量x与y之间的几组数据如表：x1234y0235根据上表数据所得经验回归方程为y​=b​x+a​.该同学又收集了两组数据x=5，y=4和x=6，y=5A.b>b′,a>a′8.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是圆C：(x−1)2+yA.3+3 B.4+2 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为4π，△SAB是圆锥的一个轴截面，则(

)A.圆锥的母线长为4

B.圆锥SO的侧面展开图的圆心角为2π3

C.由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为42

10.已知a，b均为正实数，且过点M(a,b)的直线与抛物线y2=−2px(p>0)相切于点N(−2,43A.a+3b=2 B.a2+b2的最小值为12

C.2a+11.设曲线C：x2(x−y)=2，下列说法正确的是(

)A.曲线C的图象仅在第一、三象限内

B.曲线C的渐近线为直线y=x和y轴

C.曲线C与曲线E：y2(y−x)=2没有交点

D.曲线C与圆O：x2+y2=2交于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(1−ax)6(a≠0)展开式的各二项式系数的和是其系数和的64倍，则实数a13.已知函数f(x)=sin(2ωx−π6)−1(ω>0)在区间[0,π]14.若函数y=f(x)满足：对任意的正实数m，n，有f(m+n)>f(m)+f(n)恒成立，则称函数y=f(x)为“Γ函数”.若函数f(x)=ln(x+1)+ax2是“Γ函数”，则实数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=35a+ccosB．

(1)求证：tanB=4tanC；

(2)若c=16.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M，N分别为棱DD1，BC上的动点(含端点)．

(1)当点M在什么位置时，有B1D⊥平面MAC17.(本小题15分)

已知函数f(x)=eax−lnx+a．

(1)若a=1，求f(x)的极值点个数；

(2)是否存在整数a，使得函数f(x)的图象与y=(2−a)x+a的图象在区间(1,+∞)上有两个交点？若存在，求出a18.(本小题17分)

如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，线段A1A2，B1B2分别为C的实轴与虚轴，四边形A1B1A2B2的面积为8．

(1)求C的标准方程；

(2)若直线l与C的左、右两支分别交于M，N两点，且总有A2B219.(本小题17分)

在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“J延拓”.如数列1，2第一次“J延拓”后得到数列1，2，2，第二次“J延拓”后得到数列1，2，2，4，2.将数列a，b，c经过n次“J延拓”后所得数列的项数记为Pn，所有项的乘积记为Qn．

(1)给定数列−1，2，1，回答下列问题：

①求P2，Q2；

②若|Pn+Qn|>22025，求正整数n的最小值．

(2)已知数列a，b，c，其中a，b，c∈{−3,−2,−1,1,2,3}，求该数列经过参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.A

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.ACD

11.BCD

12.2

13.[414.[115.(1)证明：由正弦定理及bcosC=35a+ccosB，得sinBcosC=35sinA+sinCcosB=35sin(B+C)+sinCcosB，

整理得sinBcosC=4cosBsinC，

若cosC=0，则cosB=0，此时B=C=π2，这与B，C为△ABC的内角矛盾，

所以cosC≠0，

同理可得，cosB≠0，

将sinBcosC=4cosBsinC的两边同除以cosBcosC，得tanB=4tanC．

(2)解：由tanB=4tanC，知B,C∈(0,π2)，

因为sinC=55，所以tanC=12，tanB=2，

所以sinB=255，16.解：(1)如图，

以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标坐标系，

设DM=λDD1，λ∈[0,1]，

则A(0,0,0)，B1(1,0,2)，D(0,1,0)，

D1(0,1,2)，C(1,1,0)，M(0,1,2λ)，

∴AC=(1,1,0)，AM=(0,1,2λ)，B1D=(−1,1,−2)，

要使B1D⊥平面MAC，需满足B1D⋅AC=0,B1D⋅AM=0,

由B1D⋅AM=1−4λ=0，解得λ=14．

∴当M是棱DD1上靠近点D的四等分点时，有B1D⊥平面MAC．

(2)设DMDD1=BNBC=λ，λ∈[0,1]，则N(1,λ,0)，M(0,1,2λ)，

17.解：(1)当a=1时，f(x)=ex−lnx+1，x>0，f′(x)=ex−1x，

令t(x)=ex−1x，∴t′(x)=ex+1x2>0，

即f′(x)在区间(0,+∞)上单调递增．

又f′(12)=e−2<0，f′(1)=e−1>0，

∴∃x0∈(12,1)，使得f′(x0)=0．

当x∈(0,x0)时，f′(x)<f′(x0)=0；当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>f′(x0)=0，

∴f(x)在区间(0,x0)上单调递减，在区间(x0,+∞)上单调递增，

x=x0是f(x)的唯一极小值点，无极大值点，

∴f(x)的极值点个数为1．

(2)令g(x)=f(x)−(2−a)x−a=eax−lnx−(2−a)x，x∈(1,+∞)，

∴原命题等价于函数g(x)在区间(1,+∞)上有两个零点．

∵g′(x)=aeax−1x−(2−a)，

当a≤0时，g′(x)<0恒成立，∴g(x)在区间(1,+∞)上单调递减，g(x)至多有一个零点，不合题意；

当a>0时，令ℎ(a)=eax−lnx−(2−a)x，

∴ℎ′(a)=xeax+x>0，∴ℎ(a)在区间(0,+∞)上单调递增，

又a∈Z，∴ℎ(a)≥ℎ(1)=e−lnx−x．

令m(x)=ex−lnx−x，x∈(1,+∞)．

∴m′(x)=ex−1x−1，易知m′(x)在区间(1,+∞)上单调递增，

∴m′(x)>m′(1)=e−2>0，∴m(x)在区间(1,+∞)上单调递增，m(x)>m(1)=e−1>0，

从而g(x)=ℎ(a)≥m(x)>0恒成立，故g(x)在(1,+∞)上无零点，不合题意．

综上所述，不存在整数a，使得f(x)的图象与y=(2−a)x+a的图象在区间(1,+∞)上有两个交点．

18.解：(1)由题意得e=1+(ba)2=2,12⋅2a⋅2b=2,

解得a=b=1，

∴双曲线C的标准方程为x2−y2=1．

(2)①证明：∵直线A2B2的方程为y=−x+1，A2B2平分∠MA1N，

∴直线A2M，A2N关于直线A2B2对称，

∴两直线的斜率之积kA2MkA2N=1．

直线l的斜率显然存在，设l的方程为y=kx+m，

设点M(x1,y19.解：(1)①数列−1，2，1第一次“J延拓”后得到数列−1，−2，2，2，1，

第2次“J延拓”后得到数列−1，2，−2，−4，2，4，2，2，1，

∴P2=9，Q2=−512．

②数列−1，2，1第n次“J延拓”后得到数列，记为A1,A2,A3,⋯,APn和第n+1次“J延拓”后，每两项之间添加1项，

共添加了(Pn−1)项，∴总项数Pn+1=Pn+(Pn−1)=2Pn−1，故Pn+1−1=2(Pn−1)∵P1=5，∴{Pn−1}是首项为4，

公比为2的等比数列，Pn−1=4×2n−1=2n+1，即Pn=2n+1+1，第n+1次“J延拓”后，每相邻两项之间插入这两项的乘积，

∴在计算所有项的乘积时，因子Ai(i=2,3,…,Pn−1)共出现了3次，A1，APa共