2025年重庆市西南大学附中高考数学二诊试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年重庆市西南大学附中高考数学二诊试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|y=ln(x−1)}A.(1,2] B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)2.已知向量a=(1,2)，b=(λ,−1)，c=(2,−5)，若(a+A.−52 B.−32 C.3.已知3+i是关于x的方程x2−ax+b=0的一个根，a∈R，b∈R，则a+b=(

)A.−4 B.4 C.16 D.−164.已知cos(α−π6)−sinα=4A.1825 B.725 C.−75.已知圆C：x2+y2−4x−2y−4=0，直线l：A.4 B.2 C.6 D.26.某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有(

)A.72种 B.36种 C.24种 D.18种7.如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=33,∠BAC=π6，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点PA.77 B.277 8.已知函数f(x)=x2−x2.若数列{an}的前n项和为SnA.23 B.12 C.20 D.45二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11

B.若随机变量ξ，η满足η=3ξ−2，D(ξ)=3，则D(η)=9

C.一组数据(xi,yi)(1≤i≤15,i∈N∗)的线性回归方程为y=3x+2，若x−=2，则y−=8

D.某学校要从1210.已知x，y均为正数，且x+4y=xy，则下列选项正确的有(

)A.xy≥16 B.4x+y≥25

C.1x−4+111.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠CAB=90°，AC=AB=AA1=2，点M，A.异面直线AC1与A1M所成的角为45°

B.B1C⊥A1B

C.若点P是A1C1的中点，则平面BNP截直三棱柱所得截面的周长为453+2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(ax+1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a13.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=−f(2−x)，当x∈[0,1)时，f(x)=2cosπx，函数g(x)=x−1(−1≤x≤3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为______．14.项数为m的数列{an}满足ai∈{0,1}(i=1，2，…，m)，当且仅当ai−1=ai+1时ai=0(其中i=1，2，…，m，规定：a0=am，am+1=a1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了400名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：

单位：人数学成绩语文成绩不优秀优秀不优秀18090优秀5080(1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？

(2)以顾率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有X位学生的语文成绩优秀，求随机变量X的分布列以及数学期望．

附：P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828χ16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosC+b=0，b=24c.

(1)求cosC；

(2)若△ABC的面积为14，D是BC17.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，AD//BC，AF/​/BE，AD⊥AB，AB⊥AF，AD=AB=2BC=2BE=2，且AF>1．

(1)已知点G为AF上一点，且AG=1，证明：BG/​/平面DCE；

(2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为89，求点C到平面BDF的距离．18.(本小题17分)

在平面直角坐标系中，点M到定点F(4,0)的距离与点M到直线l：x=1的距离之比为2，点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)已知点P(1,m)，m≠0，A，B为曲线C的左、右顶点.若直线PA，PB与曲线C的右支分别交于点D，E．

(ⅰ)求实数m2的取值范围；

(ⅱ)求|19.(本小题17分)

定义：若函数f(x)图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线y=f(x)在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线y=f(x)的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”．

(1)直线y=2x是否为曲线f(x)=x3+1x的“双重切线”，请说明理由；

(2)已知函数g(x)=ex−2e,x≤0,lnx,x>0,求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程；

(3)已知函数ℎ(x)=sinx，直线PQ为曲线y=ℎ(x)的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为参考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.D

9.ACD

10.ABC

11.BCD

12.2

13.5

14.11615.解：(1)零假设H0为：学生的数学成绩与语文无关，

由题χ2=400(180×80−90×50)2270×130×230×170=1452005083=28.566>3.841，

所以依据α=0.05的独立性检验，推断零假设H0不成立，即认为学生的数学成绩与语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于5%；

(2)由题意可知数学不优秀的学生中语文成绩优秀的概率为90180+90=13，

随机变量x的取值有0，1，2，3，4，5，由已知X～B(5,13)，

则P(X=0)=C5X012345P

32

80

80

40

101所以E(X)=5×1316.17.18.解：(1)设M(x,y)，

由题意知(x−4)2+y2=2|x−1|，

化简得曲线C的方程为：x24−y212=1；

(2)(i)由题意，A(−2,0)，P(1,m)，m≠0，

可设直线PA方程为x=ty−2，其中t=3m，

由x=ty−23x2−y2=12⇒(3t2−1)y2−12ty=0⇒yD=12t3t2−1，

因为D在右支上，

所以yP⋅yD>0⇒12mt3⋅9m2−1>0⇒3627m2−1>0⇒0<m2<27，

设直线PB方程为x=ny+2，n=−1m，

由x=ny+2319.解：(1)f(x)=x3+1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

求导得f′(x)=3x2−1x2，直线y=2x的斜率为2，

令f′(x)=3x2−1x2=2，解得x=±1，

不妨设切点P(−1,−2)，Q(1,2)，

则点P处的切线方程为y+2=2(x+1)，即y=2x，

点Q处的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，

所以直线y=2x是曲线f(x)=x3+1x的“双重切线”．

(2)函数g(x)=ex−2e,x≤0lnx,x>0，求导得g′(x)=ex,x≤01x,x>0，

显然函数y=ex在(−∞,0)上单调递增，函数y=1x在(0,+∞)上单调递减，

设切点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则存在x1<0<x2，使得f′(x1)=f′(x2)，

则在点P处的切线方程为y−(ex