数学(四)2024-2025学年高一上学期数学期末综合冲刺卷

数学(四)2024-2025学年高一上学期数学期末综合冲刺卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高一（1）班一、选择题（每题5分，共30分）要求：从四个选项中选出正确答案。1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的图像的对称轴是：A.x=2B.x=-2C.y=2D.y=-22.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的几何意义是：A.z在实轴上B.z在虚轴上C.z在直线y=x上D.z在直线y=-x上3.已知数列{an}满足an=2an-1+1，且a1=1，则数列{an}的通项公式是：A.an=2^n-1B.an=2^n+1C.an=2^nD.an=2^n-24.若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且f(1)=0，f(2)=0，则a的取值范围是：A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤05.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=50，S10=150，则公差d的值为：A.2B.3C.4D.56.若函数f(x)=x^3-3x+2在区间[0,2]上单调递增，则f(x)在区间[0,2]上的最大值是：A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，共25分）要求：直接写出答案。1.若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且f(1)=0，f(2)=0，则a的值为______。2.已知数列{an}满足an=2an-1+1，且a1=1，则数列{an}的通项公式为______。3.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为______。4.若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且f(1)=0，f(2)=0，则a的取值范围是______。5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=50，S10=150，则公差d的值为______。6.若函数f(x)=x^3-3x+2在区间[0,2]上单调递增，则f(x)在区间[0,2]上的最大值是______。三、解答题（每题10分，共40分）要求：解答下列各题，写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤。1.已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的导数f'(x)，并说明f(x)在哪些区间上单调递增或递减。2.设数列{an}满足an=3an-1-2an-2，且a1=1，a2=2，求该数列的前n项和Sn。3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，公差d=2，求Sn的表达式。4.若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且f(1)=0，f(2)=0，求a、b、c的值。四、证明题（每题10分，共20分）要求：证明下列各题，写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤。1.证明：若函数f(x)=x^3-3x+2在区间[0,2]上单调递增，则f(x)在区间[0,2]上的最小值大于等于0。2.证明：对于任意的正整数n，数列{an}满足an=2an-1+1，且a1=1，则数列{an}是单调递增的。五、计算题（每题10分，共20分）要求：计算下列各题，写出必要的文字说明、计算过程或代数运算步骤。1.已知等比数列{bn}的首项b1=3，公比q=2，求第10项b10和前10项的和S10。2.若函数f(x)=(x-1)/(x+2)在区间[-1,3]上有极值点，求该极值点的坐标。六、应用题（每题10分，共20分）要求：解答下列各题，结合实际问题进行分析，写出必要的文字说明、解题步骤或应用过程。1.某商店为了促销，对商品进行打折销售。若商品原价为100元，现在进行x折优惠（0<x<10），求实际销售价格P(x)与折扣率x之间的关系，并求出最大销售利润时的折扣率。2.设某城市人口增长率r为每年5%，现有人口为100万，求多少年后该城市人口将超过200万。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：函数f(x)=x^2-4x+3是一个二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。对称轴的公式为x=-b/2a，其中a是二次项系数，b是一次项系数。在这个函数中，a=1，b=-4，所以对称轴是x=-(-4)/(2*1)=2。2.C解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，意味着z到点1和点-1的距离相等。这个条件表明z位于直线y=x上，因为这是x轴和y轴对称的点。3.A解析：通过递推关系an=2an-1+1，我们可以逐步计算出数列的前几项来观察规律。计算得到a2=2*1+1=3，a3=2*3+1=7，以此类推，可以发现数列的通项公式是an=2^n-1。4.A解析：因为函数图像开口向上，a必须大于0。同时，f(1)=0和f(2)=0意味着x=1和x=2是函数的根，所以函数可以表示为f(x)=a(x-1)(x-2)。由于开口向上，a的值必须大于0。5.B解析：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，其中a1是首项，d是公差。由S5和S10，我们可以列出两个方程来解出a1和d，得到a1=3，d=2。6.B解析：函数f(x)=x^3-3x+2是一个三次函数，我们需要找到它的导数f'(x)=3x^2-3，然后确定导数的符号变化来确定函数的单调性。导数在x=1时由负变正，因此x=1是极小值点，f(1)=1-3+2=0，所以最大值在x=2时取得，f(2)=8-6+2=4。二、填空题1.a的值为正数解析：根据题意，a必须大于0，因为函数开口向上。2.数列{an}的通项公式为an=2^n-1解析：通过递推关系和观察数列的前几项，我们可以发现这个通项公式。3.复数z的实部为负数解析：由于|z-1|=|z+1|，z的实部必须等于1，否则距离不会相等。4.a的取值范围是a>0解析：根据题意，函数图像开口向上，因此a必须大于0。5.公差d的值为2解析：通过解等差数列的前n项和的方程，我们可以得到公差d的值。6.f(x)在区间[0,2]上的最大值是4解析：通过分析函数的单调性和极值点，我们可以确定最大值。三、解答题1.f'(x)=3x^2-3，单调递增区间为x>1或x<-1，单调递减区间为-1<x<1。解析：通过求导数并分析导数的符号变化，我们可以确定函数的单调区间。2.数列{an}的前n项和Sn=3^n-1。解析：通过递推关系和等比数列的求和公式，我们可以得到数列的前n项和。3.Sn=n/2(2*3+(n-1)*2)=n(n+2)。解析：通过等差数列的求和公式，我们可以直接得到Sn的表达式。4.a=1,b=-6,c=4。解析：通过解二次方程的根和开口向上的条件，我们可以得到a、b、c的值。本次试卷答案如下：四、证明题1.证明：若函数f(x)=x^3-3x+2在区间[0,2]上单调递增，则f(x)在区间[0,2]上的最小值大于等于0。解析：由于f(x)在区间[0,2]上单调递增，我们知道f'(x)=3x^2-3在这个区间上始终大于0。因此，f(x)在[0,2]上没有极小值点。又因为f(x)是一个连续函数，且在端点x=0和x=2处，f(0)=2和f(2)=4，所以f(x)在[0,2]上的最小值必须大于等于0。2.证明：对于任意的正整数n，数列{an}满足an=2an-1+1，且a1=1，则数列{an}是单调递增的。解析：假设对于某个正整数k，an=2an-1+1成立，我们需要证明an+1=2an+1也成立。由于an=2an-1+1，我们可以得到an+1=2(2an-1+1)+1=4an-1+3。因为an-1>0（由假设得出），所以4an-1+3>2an-1+1，即an+1>an。因此，数列{an}是单调递增的。五、计算题1.已知等比数列{bn}的首项b1=3，公比q=2，求第10项b10和前10项的和S10。解析：第10项b10=b1*q^(10-1)=3*2^9=1536。前10项的和S10=b1*(q^10-1)/(q-1)=3*(2^10-1)/(2-1)=3*(1024-1)=3071。2.若函数f(x)=(x-1)/(x+2)在区间[-1,3]上有极值点，求该极值点的坐标。解析：首先求导数f'(x)=[(x+2)-(x-1)]/(x+2)^2=3/(x+2)^2。导数在x=-2时无定义，因此极值点可能在区间[-1,3]的端点。计算f(-1)=(-1-1)/(-1+2)=-2，f(3)=(3-1)/(3+2)=1/2。因此，极值点的坐标是(-1,-2)和(3,1/2)。六、应用题1.某商店为了促销，对商品进行打折销售。若商品原价为100元，现在进行x折优惠（0<x<10），求实际销售价格P(x)与折扣率x之间的关系，并求出最大销售利润时的折扣率。解析：实际销售价格P(x)=100*x/10=10x。利润P(x)=P(x)-原价=10x-100。为了找到最大利润，我们需要找到P(x)的最大值。由于P(x)是一个线性函数，其最大值在x=10时取得，此时利润为0。因此，最大销售利润时的折扣率