2025版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式教案文新人教A版

PAGEPAGE1第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式一、学问梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．(2)商数关系：tanx＝eq\f(sinx,cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα常用结论1．同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的改变．二、习题改编1．(必修4P19例6改编)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)≤α≤π，则tanα＝()A．－2 B．2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：选D.因为cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).2．(必修4P20练习T4改编)化简eq\f(1－cos22θ,cos2θtan2θ)＝．解析：eq\f(1－cos22θ,cos2θtan2θ)＝eq\f(sin22θ,cos2θ·\f(sin2θ,cos2θ))＝sin2θ.答案：sin2θ一、思索辨析推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对随意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosθ＝eq\f(1,3).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、易错纠偏eq\a\vs4\al(常见误区)(1)不留意角的范围出错；(2)诱导公式记忆不熟出错．1．已知cos(π＋α)＝eq\f(2,3)，则tanα＝()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(\r(5),2) D．±eq\f(2\r(5),5)解析：选C.因为cos(π＋α)＝eq\f(2,3)，所以cosα＝－eq\f(2,3)，则α为其次或第三象限角，所以sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\f(\r(5),3).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(±\f(\r(5),3),－\f(2,3))＝±eq\f(\r(5),2).2．若sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则sin(7π－α)＝，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝．解析：由sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,2)，得sinα＝eq\f(1,2)，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)－2π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)eq\f(1,2)同角三角函数的基本关系式(多维探究)角度一公式的干脆应用(1)(2024·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，则tanα＝()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)(2)已知α是三角形的内角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sinα＋cosα的值为．【解析】(1)因为cosα＝－eq\f(3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).故选D.(2)由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，且sinα>0，cosα<0，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，所以cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5).【答案】(1)D(2)－eq\f(\r(10),5)eq\a\vs4\al()利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是娴熟驾驭同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二sinα，cosα的齐次式问题已知eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.【解】由已知得tanα＝eq\f(1,2).(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(5,3).(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋2＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋2＝eq\f(13,5).eq\a\vs4\al()关于sinα与cosα的齐n次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tanα，求关于sinα与cosα的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sinα±cosα，sinαcosα之间的关系已知α∈(－π，0)，sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求sinα－cosα的值；(2)求eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)的值．【解】(1)由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，平方得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(1,25)，整理得2sinαcosα＝－eq\f(24,25).所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(49,25).由α∈(－π，0)，知sinα<0，又sinα＋cosα>0，所以cosα>0，则sinα－cosα<0，故sinα－cosα＝－eq\f(7,5).(2)eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)＝eq\f(2sinα（cosα＋sinα）,1－\f(sinα,cosα))＝eq\f(2sinαcosα（cosα＋sinα）,cosα－sinα)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).eq\a\vs4\al()sinα±cosα与sinαcosα关系的应用技巧(1)通过平方，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之间可建立联系，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(留意依据α的范围选取正、负号)．(2)对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，可以知一求二．1．(2024·长春模拟)已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，则cosα－sinα的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4) D．eq\f(3,4)解析：选B.因为eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，所以cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，所以cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，所以cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).故选B.2．若3sinα＋cosα＝0，则eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)的值为．解析：3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－eq\f(1,3)，eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(1＋tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2),1－\f(2,3))＝eq\f(10,3).答案：eq\f(10,3)3．已知θ为第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，则tanθ＝．解析：由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)诱导公式的应用(典例迁移)(1)sin(－1200°)cos1290°＝．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋2cos（π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin（π－θ）)等于．【解析】(1)原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin60°cos30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4).(2)由题可知tanθ＝3，原式＝eq\f(－cosθ－2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(－3,1－tanθ)＝eq\f(3,2).【答案】(1)eq\f(3,4)(2)eq\f(3,2)【迁移探究】(变问法)若本例(2)的条件不变，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin（－π－θ）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋θ)))＝．解析：由题可知tanθ＝3，原式＝eq\f(－sinθ＋sin（π＋θ）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,2)－θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(－sinθ－sinθ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(－2sinθ,－sinθ＋cosθ)＝eq\f(2tanθ,tanθ－1)＝eq\f(2×3,3－1)＝3.答案：3eq\a\vs4\al()(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减eq\f(π,2)的整数倍时，用公式去掉eq\f(π,2)的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等；②常见的互补的角：eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等．1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中肯定成立的是()A．cos(A＋B)＝cosCB．sin(A＋B)＝－sinCC．coseq\f(A＋C,2)＝sineq\f(B,2)D．sineq\f(B＋C,2)＝－coseq\f(A,2)解析：选C.因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，eq\f(A＋C,2)＝eq\f(π－B,2)，eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π－A,2)，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，coseq\f(A＋C,2)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(B,2)))＝sineq\f(B,2)，sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2).2．cos(－1020°)·sin(－1050°)＝．解析：cos(－1020°)sin(－1050°)＝－cos1020°sin1050°＝cos60°sin30°＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)3．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是．解析：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.答案：0核心素养系列10数学运算——三角函数式的化简与求值数学运算能让学生进一步发展数学运算实力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思索问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，求tan(α＋π)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))的值．【解】因为sinα＝eq\f(2\r(5),5)＞0，所以α为第一或其次象限角．tan(α＋π)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝tanα＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).(1)当α是第一象限角时，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(5,2).(2)当α是其次象限角时，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝－eq\f(5,2).综合(1)(2)知，原式＝eq\f(5,2)或－eq\f(5,2).eq\a\vs4\al()三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，敏捷地选用三角函数公式，完成三角函数运算．1．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))的值为()A．2eq\r(2) B．－2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4) D．±2eq\r(2)解析：选D.因为sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(1,3)，cosα＝±eq\f(2\r(2),3)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(cosα,sinα)＝±2eq\r(2).故选D.2．化简：eq\f(sin（π－α）＋sinαcosα,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))tanα)＝．解析：eq\f(sin（π－α）＋sinαcosα,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))tanα)＝eq\f(sinα＋sinαcosα,（1＋cosα）tanα)＝eq\f(sinα,tanα)＝cosα.答案：cosα[基础题组练]1．计算：sineq\f(11π,6)＋coseq\f(10π,3)＝()A．－1 B．1C．0 D．eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)解析：选A.原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,3)))＝－sineq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－1.2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，则θ等于()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D．eq\f(π,3)解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，所以tanθ＝eq\r(3)，因为|θ|＜eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,3).3．已知f(α)＝eq\f(sin（2π－α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋α))tan（π＋α）)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)解析：选A.f(α)＝eq\f(sin（2π－α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋α))tan（π＋α）)＝eq\f(－sinα·（－sinα）,sinα·tanα)＝eq\f(sin2α,sinα·\f(sinα,cosα))＝cosα，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).4．已知sinα＋cosα＝eq\r(2)，则tanα＋eq\f(cosα,sinα)的值为()A．－1 B．－2C.eq\f(1,2) D．2解析：选D.因为sinα＋cosα＝eq\r(2)，所以(sinα＋cosα)2＝2，所以sinαcosα＝eq\f(1,2).所以tanα＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα)＝2.故选D.5．设α是第三象限角，tanα＝eq\f(5,12)，则cos(π－α)＝．解析：因为α为第三象限角，tanα＝eq\f(5,12)，所以cosα＝－eq\f(12,13)，所以cos(π－α)＝－cosα＝eq\f(12,13).答案：eq\f(12,13)6．化简：eq\f(cos（α－π）,sin（π－α）)·sin(α－eq\f(π,2))·cos(eq\f(3π,2)－α)＝．解析：eq\f(cos（α－π）,sin（π－α）)·sin(α－eq\f(π,2))·cos(eq\f(3π,2)－α)＝eq\f(－cosα,sinα)·(－cosα)·(－sinα)＝－cos2α.答案：－cos2α7．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,2)＋α))＝eq\f(12,25)，且0＜α＜eq\f(π,4)，则sinα＝，cosα＝．解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,2)＋α))＝－cosα·(－sinα)＝sinαcosα＝eq\f(12,25).因为0＜α＜eq\f(π,4)，所以0＜sinα＜cosα.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5).答案：eq\f(3,5)eq\f(4,5)8．已知α为第三象限角，f(α)＝eq\f(sin（α－\f(π,2)）·cos（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).(1)化简f(α)；(2)若cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝eq\f(sin（α－\f(π,2)）·cos（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)＝eq\f(（－cosα）·sinα·（－tanα）,（－tanα）·sinα)＝－cosα.(2)因为cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，所以－sinα＝eq\f(1,5)，从而sinα＝－eq\f(1,5).又α为第三象限角，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，所以f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6