【模型与方法】2025届高考物理二轮复习热点题型归类计算3 带电粒子在电磁场中的运动（原卷版）

计算3带电粒子在电磁场中的运动考点内容考情分析考向一电磁场偏转类问题带电粒子在复合场中的运动是力电综合的重点和高考的热点，常见的考查形式有组合场(电场、磁场、重力场依次出现)、叠加场(空间同一区域同时存在两种以上的场)、周期性变化的场等，近几年高考试题中，涉及本专题内容的频率极高，特别是计算题，题目难度大，涉及面广.考向二动态圆、磁聚焦问题考向三带电粒子在复合场中运动考向四有关电磁场的科技应用1.思想方法一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法二、“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题三、带电粒子在叠加场中运动的分析方法2.模型建构一、常见的基本运动形式电偏转磁偏转偏转条件带电粒子以v⊥E进入匀强电场带电粒子以v⊥B进入匀强磁场示意图受力情况只受恒定的静电力只受大小恒定的洛伦兹力运动情况类平抛运动匀速圆周运动运动轨迹抛物线圆弧物理规律类平抛运动规律、牛顿第二定律牛顿第二定律、向心力公式基本公式L＝vt，y＝eq\f(1,2)at2a＝eq\f(qE,m)，tanθ＝eq\f(at,v)qvB＝eq\f(mv2,r)，r＝eq\f(mv,qB)T＝eq\f(2πm,qB)，t＝eq\f(θT,2π)sinθ＝eq\f(L,r)做功情况静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功二、动态圆与磁聚焦(一)动态放缩法适用条件速度方向一定、大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径与粒子速度大小有关轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法(二)定圆旋转法适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝eq\f(mv0,qB)的圆上界定方法将半径为r＝eq\f(mv0,qB)的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法(三)平移圆法适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线界定方法将半径为r＝eq\f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法（四）磁聚焦、磁发散点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图所示。平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图所示。三、现代科技质谱仪的原理和分析1.作用测量带电粒子质量和分离同位素的仪器。2.原理(如图所示)(1)加速电场：qU＝eq\f(1,2)mv2；(2)偏转磁场：qvB＝eq\f(mv2,r)，l＝2r；由以上两式可得r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))，m＝eq\f(qr2B2,2U)，eq\f(q,m)＝eq\f(2U,B2r2)。回旋加速器的原理和分析1.加速条件：T电场＝T回旋＝eq\f(2πm,qB)；2.磁场约束偏转：qvB＝eq\f(mv2,r)⇒v＝eq\f(qBr,m)。3.带电粒子的最大速度vmax＝eq\f(qBrD,m)，rD为D形盒的半径。粒子的最大速度vmax与加速电压U无关。4.回旋加速器的解题思路(1)带电粒子在缝隙的电场中加速，交变电流的周期与带电粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，每经过电场一次，粒子加速一次。(2)带电粒子在磁场中偏转、半径不断增大，周期不变，最大动能与D形盒的半径有关。霍尔效应的原理和分析1.定义：高为h，宽为d的金属导体(自由电荷是电子)置于匀强磁场B中，当电流通过金属导体时，在金属导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。2.电势高低的判断：如图，金属导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，下表面A′的电势高。3.霍尔电压的计算：导体中的自由电荷(电子)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝qeq\f(U,h)，I＝nqvS，S＝hd；联立得U＝eq\f(BI,nqd)＝keq\f(BI,d)，k＝eq\f(1,nq)称为霍尔系数。速度选择器、磁流体发电机速度选择器若qv0B＝Eq，即v0＝eq\f(E,B)，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电荷，两极板间电压为U时稳定，qeq\f(U,d)＝qv0B，U＝v0Bd考向一电磁场偏转类问题（2024•安徽二模）如图甲，竖直面内有一小球发射装置，左侧有光滑绝缘圆弧形轨道ABC，A与圆心O等高，C处于坐标原点，y轴左侧有一水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度的大小E1=103V/m。现将带正电绝缘小球从A点由静止释放进入轨道，一段时间后小球从C点离开并进入y轴右侧，y轴右侧与直线DF（平行于y轴）中间范围内有周期性变化的水平方向电场，规定向右为正方向，交变电场周期T＝1.6s，变化规律如图乙。已知圆弧形轨道半径R=（1）小球在C点时的速度；（2）若小球在t＝0时刻经过C点，在t=32T（3）基于（2）中直线DF到y轴的距离，小球在不同时刻进入交变电场再次经过x轴时的坐标范围。

（2024•洛阳一模）如图所示，Q是x正半轴上的一点，其横坐标为x0（未知）。在xOy的第一象限，x≤x0的区域内存在大小为E、沿y轴负方向的匀强电场。速率为v0的带正电荷的粒子，从P点沿y轴负方向射入电场后，通过O点时速率为2v0；从P点沿x轴正方向射入电场后恰好从Q点射出。若将区域内的电场换成垂直xOy平面向外的匀强磁场，同样让该粒子从P点沿x轴正方向射入，粒子也恰能从Q点射出。不考虑重力的作用，求磁感应强度的大小。

（2024•罗湖区校级模拟）亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的圆形线圈。如图所示，两线圈通入方向相同的恒定电流，线圈间形成平行于中心轴线O1O2的匀强磁场，沿O1O2建立x轴，一足够大的圆形探测屏垂直于x轴放置，其圆心P点位于x轴上。在线圈间加上平行于x轴的匀强电场，粒子源从x轴上的O点以垂直于x轴的方向持续发射初速度大小为v0的粒子。已知粒子质量为m，电荷量为（q＞0），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，电场和磁场均沿x轴正方向，不计粒子重力和粒子间相互作用。若未加电场，粒子可以在线圈间做匀速圆周运动。（1）若未加电场，求粒子做圆周运动的半径r；（2）加入电场后，沿x轴方向左右调节探测屏，求粒子打在探测屏上的点距探测屏圆心P点的最远距离D；（3）加入电场后，沿x轴方向左右调节探测屏，若要使粒子恰好打在探测屏的圆心P点，求此时P点与粒子源间的距离d。

考向二动态圆、磁聚焦问题（2024•郑州三模）如图所示，有一足够大绝缘平板MN水平放置，平板上O点处持续向上方各方向发射带电小球。射出小球的质量为m，电荷量为+q，小球速度大小均为v0。在距离MN上方L处平行放置一足够大光屏，光屏中心O正对平板上的O点。在平板和光屏之间有竖直向上的匀强电场，电场强度为E=2mg（1）求小球打在光屏上的速度大小；（2）求小球打在光屏上的范围面积；（3）将电场强度调整为E2，同时在平板和光屏之间加上垂直纸面向里的匀强磁场，若在纸面内射出的小球打在光屏两侧到O′的最远距离均为3

（2024•重庆模拟）质谱仪是检测和分离同位素的仪器。如图，速度选择器的磁感应强度为B1，方向垂直纸面向里，电场强度为E。分离器中磁感应强度为B2，方向垂直纸面向外。离子室内充有大量氦的同位素离子，经加速电场加速后从速度选择器两极板间的中点O平行于极板进入，选择出的部分离子通过小孔O进入分离器的磁场中，在底片上形成3个有一定宽度分别对应23He、24（1）求沿直线运动通过速度选择器，并打在感光区域中心P点离子的速度，v0及比荷qm（2）以速度为v＝v0±Δv从O点射入的离子，其在速度选择器中的运动可视为速度为v0的匀速直线运动和速度为Δv的匀速圆周运动的合运动，感光板上要出现3个有一定宽度的感光区域，求该速度选择器极板的最小长度L；（3）在（2）的情况下，为能区分3种离子，求该速度选择器的极板间最大间距d。

（2024•重庆模拟）如题图所示，两个相同的光滑弹性竖直挡板MN、PQ固定在纸面内，平行正对且相距足够远，矩形MNQP区域内（含边界）充满竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E。紧邻MN板右侧有一匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁场右边界为半圆，圆心为MN板的中点O。现有一带负电小球在纸面内从M点射入磁场，速度大小为v、方向与MP的夹角为θ，恰好能在磁场中做匀速圆周运动，且第一次飞出磁场时速度恰好水平。已知重力加速度为g，MN＝PQ＝d＜3（1）求该小球第一次与MN板碰撞前在磁场中运动的路程；（2）求该匀强磁场的磁感应强度大小B；（3）若该小球能通过N点，求θ的大小，以及该小球第二次离开矩形MNQP区域前运动的总时间。

考向三带电粒子在复合场中运动（2024•泉州模拟）如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy，y轴竖直向上。一个带正电小球A从O点以速率v0沿x轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小为g，A受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。（1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B；（2）若大量与A相同的小球仍从O点以速率v0在xOy平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度；（3）若撤去电场，小球仍从O点以某一速率沿y轴正方向射出，恰好不会打到地面。ⅰ．求小球从O点射出时的速率v1；ⅱ．已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。

（2024•泰州一模）高能微粒实验装置，是用以发现高能微粒并研究和了解其特性的主要实验工具。为了简化计算，一个复杂的高能微粒实验装置可以被最简化为空间中的复合场模型。如图甲所示，三维坐标系中，yOz平面的右侧存在平行z轴方向周期性变化的磁场B（图中未画出）和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场E。有一个质量为m、电荷量为q的带正电的高能微粒从xOy平面内的P点沿x轴正方向水平射出，微粒第一次经过x轴时恰好经过O点，此时速度大小为v0，方向与x轴正方向的夹角为45°。已知电场强度大小E=mgq，从微粒通过O点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，已知B0（1）求抛出点P到x轴的距离y；（2）求微粒从通过O点开始做周期性运动的周期T；（3）若t=t02

（2024•浙江二模）如图所示，直角坐标系第一象限内有一竖直分界线PQ，PQ左侧有一直角三角形区域OAC，其中分布着方向垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场，已知OA与y轴重合，且OA＝a，θ＝60°，C点恰好处于PQ分界线上。PQ右侧有一长为L的平行板电容器，板间距为a，上极板与左侧磁场的上边界平齐，内部分布着方向垂直纸面向里，强弱随y坐标变化的磁场，和竖直向下场强大小为E的匀强电场。该复合场能使沿水平方向进入电容器的电子均能沿直线匀速通过电容器。在平行板电容器右侧某区域，存在一垂直纸面向内、磁感应强度为2B0的匀强磁场（图中未画出），使水平通过平行板电容器的电子进入该磁场后会聚于x轴上一点。现有速率不同的电子在纸面上从坐标原点O沿不同方向射到三角形区域，不考虑电子间的相互作用。已知电子的电量为e，质量为m，求：（1）当速度方向沿y轴正方向时，能进入平行板电容器的电子所具有的最大速度是多少；（2）写出电容器内磁场的磁感应强度B随y坐标的变化规律；（3）若电子沿上极板边缘离开电容器后立即进入右侧磁场，在答题纸上画出纵坐标0＜y＜a区域内该磁场的左边界，并求出会聚点的横坐标。

考向四有关电磁场的科技应用（2024•江苏模拟）如图所示，真空中有一回旋加速器，半径为R0的两D形盒处于垂直纸面向外、磁感应强度大小为B1的匀强磁场中，左侧D形盒通过一水平管道与一个左右两侧都开有很小狭缝的圆筒相连，圆筒内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小恒为B2的匀强磁场。S处粒子源产生初速度不计的电子，在两D形盒狭缝之间的交变电场中被周期性加速，经过时间t，电子射出左侧D形盒，通过水平管道（未接触管壁）后进入圆筒，与圆筒下壁发生多次弹性碰撞，最后从圆筒的右侧狭缝离开。已知圆筒的半径为r、电子的比荷为em（1）求电子进入圆筒时的速度大小；（2）求交变电场的电压大小；（3）调节两D形盒处的磁场大小，可使电子与圆筒下壁碰撞不同的次数，当碰撞次数为n（n＝1，2，3，…）时，求对应电子在圆筒中运动的速率。

（2024•和平区二模）将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导体中垂直于电流和磁场方向会产生一个电势差，这一现象称为霍尔效应，此电势差称为霍尔电压。某长方体薄片霍尔元件，长为a、宽为b、厚为c，在霍尔元件中有沿x轴方向的电流强度为I，若霍尔元件中导电的载流子是自由电子，带电量为e，薄片处在沿﹣y方向磁感应强度为B的匀强磁场中，则在沿z轴方向产生霍尔电压UH；（1）请判断该霍尔元件图中前、后两个侧面，哪端的