2025年北京理工大学附中中考数学零模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年北京理工大学附中中考数学零模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠AOC=34°，则∠DOE的度数是(

)A.34°

B.56°

C.66°

D.146°3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(

)A.a>−1 B.b>1 C.−a<b D.−b>a4.已知关于x的方程x2−4x+n=0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是(

)A.n<4 B.n≤4 C.n>4 D.n=45.一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，这三个球除颜色外完全相同.摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是(

)A.34 B.13 C.146.党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位.“二万八千亿”用科学记数法表示为(

)A.0.28×1013 B.2.8×1011 C.7.已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：

①分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；

②作直线MN交射线AP于点D，连接BD；

③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP于点C．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(

)A.∠CDB=72° B.△ADB∽△ABC

C.CD:AD=2:1 D.∠ABC=3∠ACB8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动(不与A、C、D重合)，满足DP=AQ，连结AP、CQ交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是(

)

①AP=CQ；②∠AEC的度数不变；③∠APD+∠CQD=180°；④CP2=AP⋅A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.分解因式：x3−x=

10.方程12x+3+111.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如表：册数/册12345人数/人25742根据统计表中的数据估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有______人.12.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象经过点P(2,m)，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，则点P在第______象限．13.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧BC=弧CD.若∠CBD=34°，则∠ABD的度数为______．14.如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为______．

15.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交AC于点D.若点D到BC的距离为1，则AC=______．16.某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种.经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了(12a+5)棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了(b−2)棵.第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植A种树苗______棵.第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数______种植B种树苗成活棵数(填“>”“<”或“=”)三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题5分)

计算：(−1)−318.(本小题5分)

先化简，再求值：a−33a2−6a÷(a+2−19.(本小题5分)

解不等式组：4(x−2)≤x−53x+12>x20.(本小题6分)

如图，在四边形ABCD中，∠DCB=90°，AD//BC，点E在BC上，AB//DE，AE平分∠BAD．

(1)求证：四边形ABED为菱形；

(2)连接BD，交AE于点O，若AE=6，sin∠DBE=35，求21.(本小题6分)

某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．

(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？

(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？22.(本小题5分)

4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生.统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析.下面给出了部分信息．

a.初一、初二年级学生得分的折线图

b.初三年级学生得分：10，9，6，10，8，7，10，7，3，10．

c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下：年级初一初二初三平均数88m中位数88.5n根据以上信息，回答下列问题：

(1)由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是______(填“初一”或“初二”)；

(2)统计表中m=______，n=______；

(3)由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：______(写出符合题意的序号)．

①平均数；②中位数；③众数；④方差．23.(本小题5分)

在平面直角坐标系xOy中，函数y=ax+b(a≠0)的图象经过点(−1,4)，与函数y=2x的图象交于点(1,m)．

(1)求m的值和函数y=ax+b(a≠0)的解析式；

(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=kx−k+2(k≠0)的值大于函数y=ax+b的值，且小于函数y=2x的值，直接写出k的取值范围．24.(本小题6分)

如图，AB为⊙O的直径，BD=CD，过点A作⊙O的切线，交DO的延长线于点E．

(1)求证：AC//DE；

(2)若AC=2，tanE=1225.(本小题5分)

小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线.如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．

通过测量得到球距离台面高度y(单位：dm)与球距离发球器出口的水平距离x(单位：dm)的相关数据，如表所示：

表1直发式x(dm)02468101620…y(dm)3.843.964m3.843.642.561.44…表2间发式x(dm)0246810121416…y(dm)3.362.521.68n02.003.203.603.20…根据以上信息，回答问题：

(1)表格中m=______，n=______；

(2)直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；

(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1______d2(填“>”=”或“26.(本小题6分)

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+m−2(m是常数)．

(1)求该抛物线的顶点坐标(用含m代数式表示)；

(2)如果点A(a,y1)27.(本小题7分)

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是线段AB上一个动点(不与点A，B重合)，∠ACD=α(0<α<45°)，以D为中心，将线段DC顺时针旋转90°得到线段DE，连接EB．

(1)依题意补全图形；

(2)求∠EDB的大小(用含α的代数式表示)；

(3)用等式表示线段BE，BC，AD之间的数量关系，并证明．28.(本小题7分)

对于线段MN和点P给出如下定义：点P在线段MN的垂直平分线上，若以点P为圆心，PM为半径的优弧MmN上存在三个点A，B，C，使得△ABC是等边三角形，则称点P是线段MN的“关联点”.例如，图1中的点P是线段MN的一个“关联点”.特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点P是线段MN的“强关联点”．

在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,0)．

(1)如图2，在点C1(1,−3)，C2(1,0)，C3(1,33)，C4(2,1)中，是线段OA的“关联点”的是______；

(2)点B在直线y=33x上.存在点P，是线段OA的“关联点”，也是线段OB的“强关联点”．

①直接写出点B的坐标；

②动点D在第四象限且AD=2，记∠OAD=α.若存在点参考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.B

6.C

7.C

8.D

9.x(x+1)(x−1)

10.x=−1

11.130

12.一

13.22°

14.10315.1+16.22

>

17.解：原式=−1+2−1−4+218.解：由于a2+3a−1=0

∴a2+3a=1

原式=a−33a(a−2)÷a19.解：4(x−2)≤x−5①3x+12>x②，

解不等式①得：x≤1，

解不等式②得：x>−1，

∴不等式组的解集是20.(1)证明：∵AD//BC，AB//DE，

∴AD//BE，∠DAE=∠AEB，

∴四边形ABED为平行四边形，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴BA=BE，

∴平行四边形ABED为菱形；

(2)解：∵四边形ABED为菱形，AE=6，

∴AO=OE=3，BO=DO，AE⊥BD，

在Rt△BOE中，sin∠DBE=OEBE=35，

∴BE=335=5，

∴BO=21.解：(1)设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元，

由题意得：2500x=2×2000x+30，

解得：x=50，

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

则x+30=80．

答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．

(2)设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球(50−a)个，

由题意得：50×(1+8%)(50−a)+80×0.9a≤3060，

解得：a≤20，

答：该校此次最多可购买2022.解：(1)由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一．

故答案为：初一；

(2)由题意得，m=110×(10×4+9+6+8+7×2+3)=8，

把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9，故中位数n=8+92=8.5，

故答案为：8，8.5；

(3)将其中的数据6改为9，则平均数、中位数和方差改变，众数不变．

故答案为：①②④．

23.解：(1)把(1,m)代入数y=2x得：m=2，

把(−1,4)，(1,2)代入y=ax+b得：

−a+b=4a+b=2，

解得a=−1b=3，

∴y=−x+3；

(2)在y=kx−k+2中，令x=1时，y=2，

∴函数y=kx−k+2图象过(1,2)，

如图：

由图可得，24.(1)证明：∵BD=CD，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DO=DA，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴DE//AC；

(2)解：如图，连接OC，过点O作OF⊥AC于点F，

∴∠OFA=90°，

由(1)知，DE/​/AC，

∴∠OFA+∠FOE=180°，

∴∠FOE=∠FOA+∠AOЕ=90°，

∵AB为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，切点为A，

∴AB⊥AE，

∴∠OAE=90°，

∵∠AOE+∠E+∠OAE=180°，

∴∠AOE+∠E=90°，

∴∠FOA=∠E，

在△FOA△AЕO中，

∠FOA=∠E，∠OFA=∠EAO=90°，

∴△FAO∽△AOE，

∴OFAE=AFOA，

∴AFOF=OAAE，

∵tanE=12，

∴OAAE=12，

∴AFOF=12，AE=2OA，

∵OA=OC，OF⊥AC，

25.解：(1)由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：m=3.96；

在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，

设这条直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，把(0,3.36)、(8,0)代入，得b=3.368k+b=0，

解得：k=−0.42b=3.36，

∴这条直线的解析式为y=−0.42x+3.36，

当x=6时，y=−0.42×6+3.36=0.84，

表格2中，n=3.84；

故答案为：3.96，3.84；

(2)y=−0.01(x−4)2+4；理由如下：

由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：“直发式“模式下，抛物线的顶点为(4,4)，

∴设此抛物线的解析式为y=a(x−4)2+4(a<0)，

把(0,3.84)代入，得3.84=a(0−4)2+4，

解得：α=−0.01，

∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y=−0.01(x−4)2+4；

(3)当y=0时，0=−0.01(x−4)2+4，

解得：x1=−16(舍去)，x2=24，

∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1=24；“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为(16,3.20)，

∴设这条抛物线的解析式为y=m(x−16)2+3.2 (m<0)，

把(8,0)代入，得0=m(8−16)2+3.2，

解得：m=−0.05，

∴这条抛物线的解析式为y=−0.05(x−16)2+3.2，

当y=0时，0=−0.05(x−16)2+3.2，

解得：x1=8，x2=24，

∴d2=24dm，

∴d1=d2，

故答案为：=．

26.解：(1)∵y=−x2+2mx−m2+m−2=−(x−m)2+m−2，

∴抛物线顶点坐标为(m,m−2)．

(2)∵抛物线顶点(m,m−2)在第四象限，

∴27.解：(1)补全图形如下：

(2)∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠ABC=45°，

∴∠CDB=∠A+∠ACD=45°+α，

∵∠CDE=90°，

∴∠EDB=∠CDE−∠CDB=45°−α；

(3)BC=2AD+BE，证明如下：

如图1，过点D作DM⊥AB，交AC于点F，交BC的延长线于点M，

则∠MDB=∠CDE=90°，

∴∠MDB−∠BDC=∠CDE−∠BDC，

即∠CDM=∠EDB，

∵∠MBD=45°，

∴∠M=∠MBD=45°，

∴DM=DB，

由旋转的性质得：DC=DE，

∴△DCM≌△DEB(SAS)，

∴CM=BE，

∵∠M=45°，∠ACB=90°，

∴∠CFM=90°−45°=45°，

∴∠CFM=∠M，

∴CF=CM，

∴CF=BE，

在Rt△FAD中，∠A=45°，

∴cosA=ADAF=22，

∴AF=2AD