2024-2025学年吉林省长春市经开三中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春市经开三中九年级（下）3月月考数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.计算：−2+5的结果是(

)A.3 B.−3 C.7 D.−72.据统计，2025年吉林省某生态保护区越冬候鸟达3.6×104只，3.6×104A.360 B.3600 C.36000 D.3600003.如图，由6个相同小正方体组成的几何体，其俯视图是(

)A.B.

C.D.4.某商场购进一批文创商品，进价为每件20元.当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件.设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为(

)A.y=(x−20)[160+20(28−x)] B.y=(x−20)[160−20(28−x)]

C.y=(28−x−20)(160+20x) D.y=(28−x−20)(160−20x)5.如图，在⊙O中，若圆周角∠ACB=130°，则圆心角∠AOB的度数为(

)A.50°

B.65°

C.70°

D.100°6.当x≤a时，二次函数y=x2−2x+3的最小值为6，则a的值为A.−1或3 B.−1 C.−1或1 D.1二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。7.分解因式：3a2−12=

8.关于x的一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为

．9.如图，在△ABC中，DE//BC，AD：DB=1：3，若DE=2，则BC的长为______．10.如图，在扇形AOB中，点C为OA的中点，OA=6，CD⊥AO交AB于点D，则图中阴影部分面积______.(结果保留π)11.如图，在平面直角坐标系中，一个含30°角的直角三角板OAB的顶点A的坐标是(2,23)，反比例函数y=kx经过OA中点C，交OB于点D，则三、计算题：本大题共1小题，共10分。12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC的边分别在y轴、x轴正半轴上，OA=6，OC=8，点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，点P不与点O重合，以OP为边在OC上方作正方形OPEF，设正方形OPEF与△AOC的重叠部分图形的面积为S(平方单位)，点P的运动时间为t(秒)．

(1)直线AC所在直线的解析式是______；

(2)当点E落在线段AC上时，求t的值；

(3)在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式；

(4)设边OC的中点为K，点C关于点P的对称点为C′，以KC′为边在OC上方作正方形KC′MN，当正方形KC′MN与△ABC重叠部分图形为三角形时，直接写出t的取值范围．

(提示：根据P点的运动，可在草纸上画出正方形KC′MN与△ABC重叠部分图形为不同图形的临界状态去研究)四、解答题：本题共10小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题6分)

计算：化简(1a+1−14.(本小题6分)

在桌子上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“+1”和“−1”，B盒里有三张卡片，分别标有“+2”“−2”和“+3”.这些卡片除数字外其他都相同.在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标，请用“画树状图”或“列表”的方法求这个点在第四象限的概率．15.(本小题6分)

如图，由地面上的D点测塔顶A和塔基B，仰角分别为60°和30°，已知塔基高出地面15米，求塔身AB的高．16.(本小题7分)

为了解学生课外阅读情况，某学校随机抽取部分学生进行调查，将每周课外阅读时间x(小时)分为A：0≤x<2；B：2≤x<4；C：4≤x<6；D：x≥6四类，绘制如下不完整的统计图．

(1)本次调查共抽取______名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)若该校共有2000名学生，估计每周课外阅读时间不少于4小时的学生人数．17.(本小题7分)

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

(1)求证：DE=DF；

(2)若DE=3，AB=6，求△ABC的面积．18.(本小题7分)

新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年A型车的销售总额为5000万元，今年每辆车的售价比去年减少2万元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少1000万元.求今年每辆A型车的售价．19.(本小题8分)

图①、图②、图③均是8x8的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹．

(1)在图①中作△ABC的中线CD．

(2)在图②中作△ABC的高线CE．

(3)在图③中作△ABC的角平分线CF．

20.(本小题8分)

如图1，已知学校在小明家和新华书店之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往新华书店.图2是小明步行时离学校的路程y(米)与行走时间x(分)之间的函数关系的图象．

(1)小明家到学校的距离为______米，图中a的值是______；

(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数表达式；

(3)经过多少分时，小明距离学校100米？21.(本小题10分)

【问题背景】

如图①，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE．

【特例研究】

(1)当点D在AB上，DE/​/BC时，BD与CE的数量关系为______；

【拓展探究】

(2)将△ADE绕点A旋转至图②位置，(1)中结论是否成立？说明理由；

【迁移应用】

(3)将△ADE绕点A旋转，当BD⊥DE时，若AB=23，AD=2，CE=22.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)，B(0,−4)．

(1)抛物线的解析式为______；

(2)抛物线的顶点坐标为______；

(3)若此抛物线上有3个点到直线y=n的距离等于18，求此3个点坐标；

(4)以M(a,0)，N(a+3,0)，P(a+3,−7)，Q(a,−7)四个点为顶点作矩形MNPQ，将此抛物线在矩形MNPQ内部(含边界)的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当d=3时，直接写出a参考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.D

6.B

7.3(a+2)(a−2)

8.4

9.8

10.6π−9

11.1

12.解：(1)设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，

如图1所示：

∵OA=6，OC=8，

∴点A、C的坐标分别为(0,6)，(8,0)，

将点A、C两点的坐标代入直线AC的解析式中得

b=68k+b=0，解得：k=−34b=6，

∴lAC：y=−34x+6；

(2)当点E落在线段AC上时，如图2所示：

∵OC=8，P从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点C运动，

∴0<t≤4，

∵EP/​/AO，

∴△CPE∽△COA，

∴EPAO=PCOC，即2t6=8−2t8，

解得：t=127；

(3)点P运动过程中正方形OPEF与△ABC的重叠部分图形的形状不同

分3种情况考虑，

①当0<t≤127时，如图3(a)所示，

S=(OP)2=(2t)2=4t2；

②当127<t≤3时，如图3(b)所示，

∵OP=OF=2t，PC=8−2t，AF=6−2t，

∴NP/​/AB，FM/​/BC，

∴△CNP∽△CAO∽△MAF，

∴PCNP=OCAO=FMAF，

∴NP=34PC=6−32t，FM=43AF=8−83t；

S=12BC⋅AB−12PC⋅NP−12FM⋅AF

=12×6×8−12(8−2t)(6−32t)−12(8−83t)(6−2t)

=−256t2+28t−24，

③当3<t≤4时，如图3(c)所示，

∵PQ//AO，

∴△CPQ∽△COA，

∴PQPC=AOCO，

∴PQ=34PC=6−32t，

S=12OC⋅OA−12PC⋅PQ

=12×8×6−12(8−2t)(6−32t)

=−32t2+12t，

(4)根据点P的运动，画出正方形KC′MN与△ABC重叠部分图形为

三角形时的临界点，

①当P点开始向右移动时，正方形KC′MN与△ABC重叠部分图形为

三角形，达到图4(a)所示情况不再为三角形，KC′=KN，

∵点13.解：原式=(1a+1−1a−1)⋅(a+1)(a−1)

=1a+1+1−1+2(+2,+1)(+2,−1)−2(−2,+1)(−2,−1)+3(+3,+1)(+3,−1)共有6种等可能的结果，其中这个点在第四象限的结果有：(+2,−1)，(+3,−1)，共2种，

∴这个点在第四象限的概率为2615.解：∵∠ADC=60°，∠BDC=30°，∠ACD=90°，BC=15米，

∴∠ADB=∠A=30°，

∴AB=BD=2BC=2×15=30(米)，

答：塔身AB的高为30米．

16.解：(1)本次调查共抽取的学生有：13÷26%=50(名)；

故答案为：50；

(2)C等级的人数有：50−4−13−15=18(名)，

补全条形统计图如下：

(3)根据题意得：2000×18+1550=1320(名)，

答：估计每周课外阅读时间不少于4小时的学生有17.(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴DE=DF．

(2)解：在△BAD和△CAD中，

AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，

∴△BAD≌△CAD(SAS)，

∵AB=6，DE=3，DE⊥AB于点E，

∴S△BAD=S△CAD=12×6×3=9，

∴S△ABC=2S△BAD=2×9=18，

∴△ABC的面积为18．

18.解：设今年每辆车的销售价格为x万元，

根据题意，得5000x+2=5000−1000x19.解：(1)如图①所示：CD即为所求；

(2)如图②所示：CE即为所求；

(3)如图③所示：CF即为所求．

20.解：(1)小明家到学校的距离为240米；

小明步行的速度是240÷6=40(米/分)，

小明家到新华书店的距离为240+480=720(米)，

则小明从家到新华书店所用时间为720÷40=18(分)，

∴a=18．

故答案为：240，18．

(2)设线段BC所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)．

将坐标B(6,0)和C(18,480)分别代入y=kx+b，

得6k+b=018k+b=480，

解得k=40b=−240，

∴线段BC所表示的y与x之间的函数表达式为y=40x−240(6≤x≤18)．

(3)当0≤x<6时，240−40x=100，

解得x=3.5；

当6≤x≤18时，40x−240=100，

解得x=8.5．

答：经过3.5分或8.5分时，小明距离学校100米．

21.解：(1)∵∠BAC=∠DAE，点D在AB上，

∴点E在AC上，

∵AB=AC，AD=AE，DE//BC，

∴AB−AD=AC−AE，即BD=CE，

故答案为：BD=CE；

(2)(1)中结论成立，理由如下：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD=CE；

(3)如图③，过点A作AH⊥BD于H，

∵AD=AE，∠DAE=90°，

∴∠ADE=45°，

∵BD⊥DE，

∴∠ADB=90°−45°=45°，

在Rt△ADH中，AD=2，∠ADB=45°，

则AH=DH=22AD=2，

由勾股定理得：BH=AB2−A22.解：(1)将点A(−1,0)，B(0,−4)代入抛物线表达式得：

c=−41−b+c=0，解得b=−3c=−4，

故抛物线的表达式为y=x2−3x−4；

故答案为：y=x2−3x−4；

(2)∵抛物线y=x2−3x−4=(x−32)2−254，

∴抛物线的顶点坐标为(32,−254)，

故答案为：(32,−254)；

(3)抛物线上有3个点距离为18，

∴顶点坐标到直线y=n的距离为18，

∴n=−254+18=−498，

∴另外两个点的纵坐标为−498+18=−6，

∴x2−3x−4=−6，解得x=1或2，

∴另外两点的坐标为(1,−6)，(2,−6)，

∴此3个点坐标为(32,−254)，(1,−6)，(2,−6)；

(4)由(2)知，抛物线的顶点坐标为(32,−254)，

以M(a,0)，N(a+3,0)，P(a+3,−7)，Q(a,−7)四个点为顶点作矩形MN