北师大新版九年级下学期《2.5二次函数与一元二次方程》2019年同步练习卷

北师大新版九年级下学期《2.5二次函数与一元二次方程》2019

年同步练习卷

一.填空题(共12小题)

1.若关于x的一元二次方程-，+2分+2-3a=0的一根司21,另一根X2W-I,则抛物线〉

=-x+2ax+2-3a的顶点到x轴距离的最小值是.

2.若函数y=x2-3|x-l|-4x-3-b(6为常数)的图象与x轴恰好有三个交点，则常数6

的值为.

3.如图，抛物线>=亦2+法+(:与x轴相交于点A、B(m+2,0)与y轴相交于点C,点。

在该抛物线上，坐标为(m,c),则点A的坐标是.

4.将抛物线、=(x+1)(x-2015)+4向下平移单位，所得抛物线与x轴的两个交

点距离为2016.

5.若关于x的一元二次方程-/+2办+2-。=0的一根xi21,另一根％2忘-1,则抛物线y

=-X1+2ax+2-a的顶点到x轴距离的最小值是.

6.如图，点A(-2,5)在以(1,-4)为顶点的抛物线上，抛物线与x正半轴交于点2,

点M(x,y)(其中-2<x<3)是抛物线上的动点，则面积的最大值为.

7.如图，抛物线y=7-2x-3与x轴交于A、B两点,过8的直线交抛物线于E,且tan

ZEBA=X有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点。处，再以

3

1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s.

8.二次函数的图象如图所示，对称轴为x=2,若关于x的一元二次方程/+厩，

=0（/为实数）在-1〈尤<6的范围内无解，则f的取值范围是.

9.如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线y='x2+2x交无轴的负半轴于4以。为旋转

中心，将线段0A按逆时针方向旋转a（0°<aW360°）,再沿水平方向向右或向左平移

若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合

题意的a的值是.

10.如图，抛物线>=依2+区+。与X轴的一个交点A在点（-1,0）和（0,0）之间（包括

这两点），顶点B是矩形CDEF上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围

11.若关于x的二次函数=a?+2尤-5的图象与尤轴有两个交点，且其中有且仅有一个交点

在原点和A（1,0）之间（不含原点和A点），则。的取值范围是.

12.已知抛物线y=-，+〃a+4的顶点为。，它与x轴交于A和B两点，且A在原点左侧，

B在原点右侧，与y轴的交点为P,且以为直径的圆M截y轴所得的弦恰好以点

P为中点，则根的值为.

—.解答题（共38小题）

13.已知抛物线乙：>=上？+法-2与x轴相交于A、8两点（点A在点8的左侧），并与y

2

轴相交于点C.且点A的坐标是（-1,0）.

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，并求出△A8C的面积；

（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L',L'与x轴相交于A、B'两点（点4

在点的左侧），并与y轴相交于点C',要使△A3,C和△ABC的面积相等，求所

有满足条件的抛物线的函数表达式.

14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+6x-5的图象与尤轴交于A、8两点，

与y轴交于点C,其顶点为P,连接B4、AC、CP,过点C作y轴的垂线/.

（1）求点P,C的坐标；

（2）直线/上是否存在点。，使APB。的面积等于△B4C的面积的2倍？若存在，求出点

。的坐标；若不存在，请说明理由.

IC

15.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与无轴的交点坐标分别为A（1,0）,8（尤2,

以）（点2在点A的右侧）；②对称轴是彳=3；③该函数有最小值是-2.

（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；

（2）将该函数图象中尤＞尤2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试

（1）求证：不论相为何值，该二次函数的图象与尤轴总有公共点.

（2）若把该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象

的函数表达式为y=:,则"z=.

（3）若该二次函数的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,顶点为D当△ABC的面

积与的面积相等时，求相的值.

17.在平面直角坐标系尤Oy中，对称轴为直线x=l的抛物线y=尤+©与天轴交于点A

和点8,与y轴交于点C,且点B的坐标为（-1,0）

（1）求抛物线的解析式并作出图象；

（2）点。的坐标为（0,1）,点尸是抛物线上的动点，若是以CD为底的等腰三角

形，求点P的坐标.

6

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2123456X

-4

-5

-6

18.已知抛物线y=2，+fcv+c经过点A(2,-1).

(1)若抛物线的对称轴为x=l,求b,c的值.

(2)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；

(3)设抛物线顶点为尸，若0、A、尸三点共线(。为坐标原点)，求b的值.

19.如图，抛物线y=-工？+云+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(-

1,0),点C(0,2)

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若。是抛物线位于第一象限上的动点，求△3CQ面积的最大值及此时点。的坐标.

20.观察表格：根据表格解答下列问题:

ax+bx+c-3

(/)a=,b=,c=；

(2)在如图的直角坐标系中画出函数y=a/+bx+c的图象，并根据图象，直接写出当x取

什么实数时，不等式ax1+bx+c>-3成立；

(3)该图象与x轴两交点从左到右依次分别为A、B,与y轴交点为C,求过这三个点的外

接圆的半径.

21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线-5/x+3交y轴于点A,交直线x=6于点艮

（1）填空：抛物线的对称轴为尤=，点8的纵坐标为（用含。的代数式表

示）；

（2）若直线A3与x轴正方向所夹的角为45°时，抛物线在x轴上方，求a的值；

（3）记抛物线在42之间的部分为图象G（包含A、B两点），若对于图象G上任意一点

P（xp,坊），总有y°W3,求a的取值范围.

22.已知二次函数y=x2-6x+（2m+l）与无轴有交点.

（1）求相的取值范围；

（2）如果该二次函数的图象与x轴的交点分别为（xi，0）,（无2，0）,且2肛X2+XI+M>20,

求m的取值范围.

23.如图，已知抛物线y=-f+bx+c与天轴交于点A（-1,0）和点2（3,0）,与y轴交

于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,。是抛物线的顶点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出点C和点。的坐标；

（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且SMBP=4SACOE，求尸点坐标.

(1)求这个二次函数的函数解析式；

(2)若抛物线交x轴于A,8两点，交y轴于C点，顶点为求以A、B、C、O为顶点

的四边形面积.

25.阅读下面材料：

如图1,在平面直角坐标系尤Oy中，直线yi=ax+6与双曲线•交于A(1,3)和B(-

x

3,-1)两点.

观察图象可知：

①当尤=-3或1时，力=丫2；

②当-3<x<0或x>l时，X>”，即通过观察函数的图象，可以得到不等式依+6>”的

x

解集.

有这样一个问题：求不等式X3+4?-X-4>0的解集.

某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式xW-x-4>0的解集进行了探

下面是他的探究过程，请将(2)、(3)、(4)补充完整:

（1）将不等式按条件进行转化:

当x=0时，原不等式不成立;

当尤＞0时,原不等式可以转化为，+4尤-1＞8；

X

当x＜0时,原不等式可以转化为1＜且；

（2）构造函数，画出图象

设g=，+4—1,y4=1,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象.

X

双曲线y4=W■如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线为=，+4天-1；（不用列表）

x

（3）确定两个函数图象公共点的横坐标

观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足为=了4的所有x的值

为;

（4）借助图象，写出解集

结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式-尤-4＞0的解集为.

26.已知尸（-3,加和。（1,m）是抛物线＞=2，+灰+1上的两点.

（1）求b的值；

（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+l=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若

没有，请说明理由；

（3）将抛物线＞=2x2+6尤+1的图象向上平移左（左是正整数）个单位，使平移后的图象与x

轴无交点，求上的最小值.

27.某班“数学兴趣小组”对函数y=/-2|x|-3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，

请补充完整

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：

x…-3-5-2-101253…

y…0-工m-4-3-4-3-工0

其中，m=.

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分,

请画出该函数图象的另一部分.

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质.

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程尤2-2|x|-3=0有个实数根;

②方程/-2|x|-3=-3有个实数根；

(1)用含匕的代数式表示a；

(2)求证：二次函数＞=0^+6尤-b-2的图象与龙轴始终有2个交点；

(3)设二次函数＞=0?+法+6-2的图象与尤轴的另一个交点为BG,0).

①若f为整数，求整数b的值.

②当b取仇时，/分别为小攵，若仇＜历，试判断小攵的大小关系，并说明理由.

29.己知关于尤的一元二次方程4."+2(m-1)尤-，〃=0

(1)求证该方程必有两个异号实数根；

(2)二次函数y=4，+2(m-1)x-m(m＞0)的图象与x轴的两个交点分别是A和B(A

在B的左边)，与y轴的交点为C,原点为。，若」——L=OC-1,求这个二次函数的

0A0B

解析式.

30.某班“数学兴趣小组”对函数＞=-?+2|%|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下,

请补充完整.

(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请

画出该函数图象的另一部分.

(3)观察函数图象，写出两条函数的性质.

(4)进一步探究函数图象发现：

①方程-，+2|x|+l=0有个实数根；

请补充完整.

(1)由于自变量x的取值范围是全体实数，则可列得下表.根据表中数据，在如图所示的

①；

②.

(3)进一步探究函数图象发现：

①函数y=/-2|x|+l,当x=时，y取最小值，最小值为；

②因为函数图象与x轴有两个交点，所以y=0,即方程7-2|尤|+1=0有个不相等

的实数根；

③方程2|尤|+1=1有个不相等的实数根.

6

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2123456X

-4

-5

-6

32.已知二次函数y=，+()t-5)x+1-k,其中左为常数.

(1)求证：无论化为何值，抛物线与x轴总有两个交点；

(2)若函数y=，+()l-5)x+1-女的图象不经过第三象限，求左的取值范围.

33.在平面直角坐标系xOy中，抛物线>=g2+6加廿几(m>0)与％轴交于A,B两点(点

A在点5左侧)，顶点为C,抛物线与y轴交于点O,直线5C交y轴于且△ABC与

△AEC这两个三角形的面积之比为2：3.

(1)求点A的坐标；

(2)将△ACO绕点。顺时针旋转一定角度后，点A与B重合，此时点。的对应点。恰好

也在y轴上，求抛物线的解析式.

■»

x

34.已知函数y=mx-(2m-5)x+m-2的图象与x轴有两个公共点.

(1)求机的取值范围，写出当机取值范围内最大整数时函数的解析式；

(2)题(1)中求得的函数记为Q,当wWxW-1时，y取值范围是iWyW-3外求"值.

35.如图，在矩形OA8C中，OA=8,OC=4,。4、0c分别在x轴与y轴上，。为OA上

一点，且CD=AD

(1)求点。的坐标;

(2)若经过8、C、。三点的抛物线与x轴的另一个交点为E,请直接写出点E的坐标;

(3)在(2)中的抛物线上位于x轴上方的部分，是否存在一点尸，使△P8C的面积等于四

边形。的面积？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

36.有这样一个问题：探究函数、=与-左的图象与性质.

x2

小东根据学习函数的经验，对函数＞=今-L的图象与性质进行了探究.

x2

下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题:

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出

的点，画出该函数的图象;

(4)进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是(-2,3)，结合函数

2

的图象，写出该函数的其它性质(一条即可).

(5)根据函数图象估算方程2-」=2的根为.(精确到0.1)

V22

y

.5

4X

37.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=，-4x+3与无轴交于点A、2（点A在点2的左

侧），与y轴交于点C.

（1）求直线BC的表达式；

（2）垂直于y轴的直线/与抛物线交于点尸（xi，月），。（皿，＞2），与直线BC交于点N（X3,

为），若修Vx2Vx3，结合函数的图象，求%1+元2+入3的取值范围.

38.已知二次函数y=，-（a-1）x+a-2,其中。是常数.

（1）求证：不论。为何值，该二次函数的图象与无轴一定有公共点；

（2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A,与x轴交于8,。两点，与y轴交于C点，

求四边形ABC。的面积.

39.已知函数y=-无'+Cm-1）x+mGn为常数）.

（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是.

A.OBAC.2D1或2

（2）求证：不论相为何值，该函数的图象的顶点都在函数＞=（无+1）2的图象上.

（3）当-2WmW3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.

40.已知二次函数y=--2渥-3（根为常数）.

（1）求证：不论相为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；

(2)如果把该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共

点，试求机的值.

41.已知一元二次方程/-4机氏'+4〃?2+2%-4=0,其中加为常数.

(1)若该一元二次方程有实数根，求机的取值范围；

(2)设抛物线y=，-4mx+4m2+2机-4的顶点为点。为坐标原点，当机变化时，求线

段长度的最小值.

42.已知：二次函数>=办2+云的图象经过点M(1,”)、N(3,71).

(1)求6与。之间的关系式；

(2)若二次函数>=«?+嬴的图象与x轴交于点A、B,顶点为C,△ABC为直角三角形，

求该二次函数的关系式.

43.已知二次函数y=/-2/m-+m2+M/+l的图象与无轴交于A、B两点，点C为顶点.

(1)求机的取值范围；

(2)若将二次函数的图象关于无轴翻折，所得图象的顶点为D若8=8.求四边形AC2D

的面积.

44.如图，二次函数>=以2-2以+3(aWO)的图象与x、y轴交于A、B、C三点，

其中A2=4,连接BC.

(1)求二次函数的对称轴和函数表达式；

(2)若点M是线段2C上的动点，设点M的横坐标为"z,过点M作轴交抛物线于

点N,求线段MN的最大值；

(3)当OWxWt时，则3WyW4,直接写出f的取值范围.

45.某班“数学兴趣小组”对函数y=/-2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下.

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：

x…-3.8-27012A3••

22

y•••3_5_m-10-10_5_3…

4|4

其中，m=.

(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分,

请你画出该函数图象的另一部分.

(3)观察函数图象，写出一条性质.

(4)进一步探究函数图象发现：

①方程X?-2\x\=Q有个实数根；

②关于x的方程?-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是.

46.已知二次函数yi=ax2+bx+c的图象可以由二次函数”=-2x2的图象平移得到且经过点

(2,-10)和(0,6).

(1)求二次函数的表达式，并写出此函数图象顶点〃的坐标；

(2)求二次函数yi=ax2+Zzr+c的图象与x轴交点坐标；

(3)若以2+6x+c=Z有两个不相等的实数根，则写出上的取值范围为；

(4)若小WxW根+4时，-10WyiW8,则根的值为.

47.已知二次函数>=如2一心+〃-2(〃>0,机力0)的图象经过A(2,0).

(1)用含n的代数式表示机；

(2)求证：二次函数一力x+w-2的图象与x轴始终有2个交点；

（3）设二次函数y=»?/一加+〃一2的图象与x轴的另一个交点为BG,0）.

①当“取"1，"2时，f分别为“，『2，若试判断“，念的大小关系，并说明理由.

②若f为整数，求整数”的值.

48.如图，二次函数y=cz?+6x+c的图象与X轴交于A、8两点，交y轴于C点，其中8点

坐标为（3,0）,C点坐标为（0,3）,且图象对称轴为直线x=L

（1）求此二次函数的关系式；

（2）尸为二次函数y=o?+6x+c在无轴下方的图象上一点，且SMBP=SA4BC，求P点的坐

标.

49.在平面直角坐标系xOy中，抛物线>=加，-2机x+〃z-2（机力0）的顶点为A,与x轴交

于B,C两点（点2在点C左侧），与y轴负半轴交于点D

（1）求点A的坐标；

（2）连接A。并延长交x轴于E,若ADDE=4：5,求抛物线的解析式和2,C两点的坐

50.已知：抛物线y=o?-2(a-1)x+a-2(。＞0).

（1）求证：抛物线与无轴有两个交点;

（2）设抛物线与X轴有两个交点的横坐标分别为XI，X2,（其中X1>X2）.若y是关于。的

函数，且y=QX2+%l，求这个函数的表达式;

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使3a2+1,则自变量a的取值范围

为.

>'A

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345x

-1

-2

-3

-4

-5

北师大新版九年级下学期《2.5二次函数与一元二次方

程》2019年同步练习卷

参考答案与试题解析

填空题(共12小题)

1.若关于x的一元二次方程-x2+2ax+2-3a=0的一根尤121,另一根尤2W-1,则抛物线y

=-；+2办+2-3a的顶点到x轴距离的最小值是—.

一至一

【分析】先根据关于x的一元二次方程-/+2磔+2-4=0的一根另一根MWT求

出a的取值范围，再得出抛物线y=-x+1ax+1-3a顶点的纵坐标表达式，把a的取值

代入即可

【解答】解：•关于x的一■兀二次方程-，+2砒+2-。=0的~■根为21,另~■根彳2忘-1,

.]-l+2a+2-3a>0

j-l-2a+2-3a>0

5

,抛物线y=-无2+2ax+2-3a—-(x-a)2+a2-3a+2.

，抛物线的顶点坐标为(a,J-3a+2)

y=-/+2°尤+2-3a的顶点纵坐标为2-3a+J=(a-—)2--

24

25

当a=工时，抛物线y--x2+2ax+2-3a的顶点到x轴距离最小为|2-3a+o2|=-^-,

525

故答案为9.

25

【点评】本题考查的是抛物线与无轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与X轴的交点

之间的关系是解答此题的关・.

2.若函数y=，-3|x-l|-4x-3-b(6为常数)的图象与x轴恰好有三个交点，则常数6

的值为-6.

【分析】根据题意x=l时，y=0,由此即可解决问题.

【解答】解：当x>l时，函数解析式为y=/-7x-b,

当xWl时，函数解析式为-x-6-b,

•..函数y=/-3|x-l|-4x-3-6(6为常数)的图象与无轴恰好有三个交点，由图象可知，

.•.x=l时，y=0,

Al-7-/?=0,

:・b=-6.

【点评】本题考查抛物线与％轴的交点问题，解题的关键是理解％=1时，y=0,学会利用

函数图象解决问题，属于填空题中的压轴题.

3.如图，抛物线y=o?+6x+c与无轴相交于点A、B（加+2,0）与y轴相交于点C,点。

在该抛物线上，坐标为（m,c）,则点A的坐标是（-2,0）.

【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，

可得A点坐标.

【解答】解：由C（0,c）,D（m,c）,得函数图象的对称轴是苫=皿，

2

设A点坐标为（尤，0）,由A、2关于对称轴彳=皿，得

2

x+irrl-2=m

2T

解得尤=-2,

即A点坐标为（-2,0）,

故答案为：（-2,0）.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键.

4.将抛物线＞=（x+1）（%-2015）+4向下平移4单位,所得抛物线与x轴的两个交点

距离为2016.

【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律写出平移后抛物线的解析式，结合“这两个交

点之间的距离为2016”来求值.

【解答】解：设抛物线>=(x+1)(x-2015)+4向下平移机个单位长度后的抛物线解析式

为：y=(x+1)(x-2015)+4-m,BPy=x2-2014A--2011-m.

设该抛物线与无轴的两个交点横坐标分别为a、b,则

Q+Z?=2014,ab=-2011-m,

2=2=

所以2016=|a-b\=7(a-b)V(a+b)-4ab72014^4x7<01W))

解得777=4,

故答案为4.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加

下减.并用规律求函数解析式.

5.若关于x的一元二次方程-/+2ar+2-a=0的一根血21,另一根MW-1,则抛物线y

=-f+2at+2-a的顶点到x轴距离的最小值是—.

一且一

【分析】先根据关于尤的一元二次方程-/+2ar+2-a=0的一根彳61,另一根X2W-1求

出a的取值范围，再得出抛物线y=-，+2"+2-a顶点的纵坐标表达式，把a的取值代

入即可.

【解答】解：..‘关于x的一元二次方程-，+2办+2-。=0的一根制21,另一根

,即1-l+2a+2-a>0,解得-IWaWL

-2a+2-a》03

2

..,抛物线y=-x'+lax+l-a的顶点纵坐标=：&I上一；1)-&=2-a+cC',

-4

当a-—1时，2-a+J=2+l+l=4；

当a=L时，2--+X=AL,

3399

：4〉里

9

...顶点到X轴距离的最小值是独.

9

故答案为：叫.

9

【点评】本题考查的是抛物线与X轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与X轴的交点

之间的关系是解答此题的关键.

6.如图，点A(-2,5)在以(1,-4)为顶点的抛物线上，抛物线与x正半轴交于点8,

点M(x,y)(其中-2cx<3)是抛物线上的动点，则面积的最大值为▲在

一8

【分析】先利用顶点式求出抛物线解析式为y=(x-1)2-4,即y=/-2x-3,再解方程

X?-2x-3=0得到8(3,0),接着利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+3,

作MN〃y轴交AB于点N,如图，设MG,/-2L3)(-2<x<3),则NG,7+3),

1

利用SA4B“=SA4A«V+S4BAW可得至USAAB1tL"$/+刍+6,然后根据二次函数的性质求解.

22

【解答】解：设抛物线解析式为y=a(尤-1)2-4,

把A(-2,5)代入得a(-2-1)'-4=5,解得a—1,

，抛物线解析式为y=(x-1)2-4,即y=x-lx-3,

当y=0时，x-2x-3=0,解得xi=-1,X2=3,则8(3,0),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

把A(-2.5),B(3,0)代入得[-2k+b=5,解得尸-1,

[3k+b=0lb=3

直线AB的解析式为y=-x+3,

作MN〃y轴交AB于点N,如图，设MG,八2-3)(-2<x<3),则N(37+3),

：.MN=-t+3-(Z2-2/-3)=-f+t+6

S4ABM=SAAMN^S/\BMN

=L-5'MN

2

=-"+2+6

22

=-L)2+125

228

.•.当f=L时，△ABM面积有最大值，最大值为坨.

28

故答案为坨.

8

【点评】本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数>=62+灰+。6,C是常数，a

WO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质

和三角形面积公式.

7.如图，抛物线>=7-2尤-3与尤轴交于A、B两点，过3的直线交抛物线于E,且tan

NEBA=鱼,有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段8E上的点。处，再以

3

1.25单位/s的速度沿着。E爬到£点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是反s.

—9—

【分析】过点E作无轴的平行线，再过。点作y轴的平行线，两线相交于点如图，利

用平行线的性质和三角函数的定义得到tan/”£D=tan/E54=Ul=q,设DH=4m,

EH3

EH=3m,则DE=5m,则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用

的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，

再以1.25单位/s的速度沿着OE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D

点，再从。点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的

最小值为AQ的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，

然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标，从而得到AQ的长,

然后计算爬行的时间.

【解答】解：过点E作无轴的平行线，再过。点作y轴的平行线，两线相交于点”，如图,

'：EH//AB,

：.ZHEB=ZABE,

tanZHED—tanZEBA=8，

EH3

设DH=4m,EH=3m,则。E=5〃z,

...蚂蚁从D爬到E点的时间=5K尸4(s)

1.25

若设蚂蚁从。爬到H点的速度为1单位/s,则蚂蚁从。爬到H点的时间=9q=4(s),

1

•••蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，

蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点。处，再以1.25单位/s的速度

沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到。点，再从D点以1单位

/s速度爬到X点的时间，

作AGYEH于G,则AD+DH^AH^AG,

：.AD+DH的最小值为AQ的长，

当y=0时，x-2x-3=0,解得肛=-1,》2=3,贝(-1,0),B(3,0),

直线BE交y轴于C点，如图，

在RtZXOBC中，VtanZCBO=^L=-l,

0B3

；.OC=4,则C(0,4),

设直线BE的解析式为y^kx+b,

C4

把2(3,0),C(0,4)代入得俨+b=0,解得k=-y,

IXb=4

直线BE的解析式为y=-&+4,

3

f2(-J-

y=x-2x-3/

解方程组得"-J或:则瓦点坐标为(-I,@1),

行得x+4ly=0339

3[y9

：.AQ=^-,

9

64

...蚂蚁从A爬到G点的时间=2-=强(s),

19

即蚂蚁从A到E的最短时间为@4.

9

故答案为@1.

9

【点评】本题考查了二次函数与无轴的交点：把求二次函数y=o?+区+cQ,6,c是常数，

aWO）与x轴的交点坐标化为解关于龙的一元二次方程.解决本题的关键是确定蚂蚁在

DH和DE上爬行的时间相等.

8.二次函数y=f+6尤的图象如图所示，对称轴为x=2,若关于x的一元二次方程f+bx-

=0（f为实数）在-1〈尤＜6的范围内无解，则f的取值范围是r＜-4或⑥12.

【分析】根据抛物线的对称轴方程可求出抛物线的解析式,要使关于尤的一元二次方程x+bx

7=0（f为实数）在-1＜尤＜6的范围内无解，只需直线y=f与抛物线＞=/+法在-1

＜x＜6的范围内没有交点，只需结合图象就可解决问题.

【解答】解：•••抛物线y=x2+"的对称轴为尤=2,

.".x=--=2,

2

:.b=-4,

抛物线的解析式为-4尤.

当x=-1时，y=5；

当x=2时y=-4；

当x=6时y=12.

结合图象可得：

当y-4或f212时，直线y=f与抛物线y=/-4x在-1<尤<6的范围内没有交点，

即关于尤的一元二次方程,-4尤-r=0(/为实数)在-l<x<6的范围内无解.

故答案为-4或f，12.

【点评】本题主要考查了抛物线的性质、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思

想是解决本题的关键.

9.如图，在直角坐标系尤Oy中，若抛物线〉=1、2+2尤交无轴的负半轴于A,以。为旋转

2

中心，将线段0A按逆时针方向旋转a(0°<aW360°),再沿水平方向向右或向左平移

若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合

题意的a的值是30°或150°.

【分析】首先求出抛物线的顶点坐标以及A。的长，再利用平移的性质结合A。只是左右平

移，进而得出旋转的角度.

【解答】解：由题意可得：y=L』+2x=L(x+2)2-2,

-2x2

故抛物线的顶点坐标为：(-2,-2),

当y=0时，0=—(x+2)2-2

2

解得：xi=0,X2=4,

故A0=4,

,将线段。4按逆时针方向旋转a(0°<aW360°),再沿水平方向向右或向左平移若干个

单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处,

，旋转后对应点A'到x轴的距离为：2,

如图，过点A'作A'CUx轴于点C,

当/COA'=30°,

则CA，=工4，0=2,

2

故a为30°时符合题意，

同理可得：a为150°时也符合题意，

综上所述：所有符合题意的a的值是30°或150。.

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及旋转与平移变换，正确得出对应点的特点

是解题关键.

10.如图，抛物线y=a/+bx+c与％轴的一个交点A在点（-1,0）和（0,0）之间（包括

这两点），顶点8是矩形8跖上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是

【分析】顶点8是矩形CDE尸上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点8与C点重合，

可以知道顶点坐标为（2,-3）且抛物线过（-1,0）,则它与x轴的另一个交点为（5,

0）,由此可求出a；当顶点8与。点重合，顶点坐标为（4,-3）且抛物线过（0,0）,

则它与x轴的另一个交点为（8,0）,由此也可求a,然后由此可判断。的取值范围.

【解答】解：顶点8是矩形CDEF上，

当顶点B与C点重合，顶点坐标为（2,-3）,则抛物线解析式y=a（x-2）2-3,

2

a（-l-2）-3>0；解得：!《一

产（5-2产-34034

当顶点8与5点重合，顶点坐标为（4,-2）,则抛物线解析式（x-4）2-2,

由题意得：上（T-4）2-2>0,解得：（工

la（8-4）2-2<025"&8

:顶点可以在矩形内部，

：.a的取值范围是_2_WaW旦.

故答案为：

254

方法二：抛物线顶点B与尸重合，经过（0,0）时，开口最小，可得。=二

抛物线顶点8与E重合，经过（-1,0）时，开口最大，可得a=2,

25

：.a的取值范围是上-WaW上.

故答案为：

254

【点评】本题主要考查了抛物线的解析式>=办2+6尤+C中4、b、C对抛物线的影响，在对于

抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨

论，加以解决.

11.若关于X的二次函数="2+2工-5的图象与无轴有两个交点，且其中有且仅有一个交点

在原点和A（1,0）之间（不含原点和A点），则。的取值范围是。>3.

【分析】由已知条件关于x的二次函数y=J+2x-5的图象与x轴有两个交点可得到△>（）,

然后根据有一个交点的横坐标在0和1之间（不含。和1）列出关于a的不等式并解答即

可.

【解答】解：••・关于x的二次函数y=a/+2尤-5的图象与x轴有两个交点，

.♦.△=4+20a>0,

解得“〉-L.①

5

又•・,有一个交点的横坐标在0和1之间（不含0和1）,

・••当x=0时，y<0.

当x=l时，y>0,

即〃-3>0,

解得43.②

结合①②得到：。>3.

故答案为：a>3.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点.解答该题的关键是需要熟练掌握二次函数图象的

性质.

12.已知抛物线y=