北师大数学八年级下册全册整册教案

1.1等腰三角形

第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质

=Z2,A。为公共边，若AB=AC,不符合

粤剧1®全等三角形判定定理，不能判定

1.复习全等三角形的判定定理及相关△ABQ2△AC。；C.VZ1=Z2,AD为公

性质；共边，若N8=/C,则

2.理解并掌握等腰三角形的性质定理△AB腥△ACO（AAS）;D.VZ1=Z2,AD

及推论，能够运用其解决简单的儿何问为公共边，若ABAD=ZCAD,则

题.（重点，难点）△ABD^AACD（ASA）：故选B.

方法总结：判定两个三角形全等的一般

方法有:$5$、$人$、人$人、人人$.要注意AAA,

一、情境导入SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三

探究：如图所示，把一张长方形的纸按角形全等时，必须有边的参与，若有两边一

照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展角对应相等时，角必须是两边的夹角.

开得到的△ABC有什么特点？［类型二］全等三角形的性质

画❷如图，△ABC丝△CD4,并且AB

二、合作探究=CD,那么下列结论错误的是（）

探究点一：全等三角形的判定和性质A.Z1=Z2B.AC=C4

［类型一］全等三角形的判定C.ZD=ZBD.AC=BC

例1如图，己知/1=/2,则不一定解析：^AABC^/^CDA,并且AB=

能使的条件是（）CD,AC和C4是公共边，可知N1和N2,

N£）和/2是对应角.全等三角形的对应角

相等，对应边相等，因而前三个选项一定正

确.AC和BC不是对应边，不一定相

等.「△ABC丝△CD4,AB=CD,：.Z1

和/2,N。和是对应角，Nl=/2,

ND=NB,；.AC和C4是对应边，而不是

A.BD=CDBC,:.A、B、C正确，错误的结论是D.故

B.AB=AC选D.

C.NB=NC方法总结：本题主要考查了全等三角形

D.NBAD=NCAD的性质；根据已知条件正确确定对应边、对

解析：利用全等三角形判定定理ASA,应角是解决本题的关键.

SAS,AAS对各个选项逐一分析即可得由答探究点二：等边对等角

案.A.VZ1=Z2,AD为公共边，若BD［类型—］运用"等边对等角“求角

=CD,则△ABO畛△ACD（SAS）;B.VN1的度数

AA

D

BC/Dk\

如图，AB=AC=AD,若/BADRE~C

=80°,则NBCC=()如图，在△ABC中，已知4B=AC,

A.80°B.100°ABAC和NACB的平分线相交于点D,Z

C.140°D.160°4£>C=125°.求N4CB和NBAC的度数.

解析：先根据已知和四边形的内角和为解析：根据等腰三角膨三线合一的性质

360°,可求NB+/BCD+N。的度数，再可得AE_LBC,再求出/C£>E,然后根据直

根据等腰三角形的性质可得NB=NACB,角三角形两锐角互余求出NQCE,根据角平

NACD=ZD,从而得到NBCD的分线的定义求出/ACB,再根据等腰三角形

值.,.•/BA£>=80°，;.NB+NBCD+ND两底角相等列式进行计算即可求出ZBAC.

=280°."JAB^AC^AD,：.ZB=ZACB,解：；AB=AC,AE平分NR4C,：.AE

ZACD=ND,；.ZBCD=280°4-2=±BC.VZADC=\25°,：.ZCDE=55°,

140°,故选C..•./OCE=90°—/C£>E=35°.又平

方法总结：求角的度数时，①在等腰三分NACB,：.ZACB=2ZDCE=70°.又

角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②,：AB=AC,；./B=/AC3=70°,Z

有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线BAC=180-(ZB+ZACB)=40°.

平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角方法总结：利用等腰三角形“三线合

互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互一”的性质进行计算，有两种类型：一是求

为邻补角的两角之和等于180°.边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上

［类型二］分类讨论思想在等腰三角的中线与其他两线互相重合；二是求角度的

形求角度中的运用大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角

颤I等腰三角形的一个角等于30°,的平分线或底边上的高与其他两线互相重

求它的顶角的度数.合.

解析：本题可根据等腰三角形的性质和［类型二］利用等腰三角形“三线合

三角形内角和定理求解，由于本题中没有明一”进行证明

确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨

论.

解：①当底角是30°时，顶角的度数为

180°-2义30°=120°；

②顶角即为30°.

因此等腰三角形的顶角的度数为30。或@0如图，Z\ABC中，AB^AC,。为

120°.AC上任意一点，延长BA到E使得AE=A£>,

方法总结：已知的一个锐角可以是等腰连接。E,求证：DEYBC.

三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只解析：AF//DE,交BC于点F.利用

能是等腰三角形的顶角.分类讨论是正确解等边对等角及平行线的性质证明NBAF=

答本题的关键./以C.在aABC中由“三线合一”得AF_L

探究点三：三线合一8c.再结合AF//DE可得出结论.

［类型—］利用等腰三角形“三线合证明：过点A作AF〃QE,交BC于点

一”进行计算F.

"：AE=AD,：.ZE=AADE.

'：AF//DE,:.NE=/BAF,AFAC=

ZADE.3.三线合一：在等腰三角形的底边上

：.乙FAC.的高、中线、顶角的平分线中，只要知道其

又：AB=AC,J.AFLBC.中一个条件，就能得出另外的两个结论.

'：AF//DE,：.DEA.BC.

教巡恩

方法总结：利用等腰三角形“三线合

一”得出结论时，先必须已知一个条件，这本节课由于采用了动手操作以及讨论交流

个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以等教学方法，有效地增强了学生的感性认

是底边上的中线，也可以是顶角的平分识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因

线.解题时，一般要用到其中的两条线互相而本节课的教学效果较好，学生对所学的新

重合.知识掌握较好，达到了教学的目的.不足之

三、板书设计处是少数学生对等腰三角形的“三线合

1.全等三角形的判定和性质一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学

2.等腰三角形的性质：等边对等角和作业中进一步巩固和提高.

第2课时等边三角形的性质

1.进一步学习等腰三角形的相关性质，

了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上

的高，中线）的性质；

2.学习等边三角形的性质，并能够运（3D如图，在△ABC中，AB=AC,CD

用其解决问题.（重点、难点）1AB于点D,BE±AC于点E,求证：

DE//BC.

证明：因为AB=AC,所以NABC=

嬲嵋NAC8.又因为C£）_LAB于点D,BE1AC于

点E,所以/AEB=N4DC=90°,所以

一、情境导入NABE=ZACD,所以ZABC-NABE=

我们欣赏下列两个建筑物（如图），图中NACB—NACD,所以NEBC=NOC8.在

的三角形是什么样的特殊三角形？这样的

ZBEC=ZCDB,

三角形我们是怎样定义的，有什么性质？

△BEC与△CDB中，＜ZEBC^ZDCB,所

BC=CB,

以△BEC丝△COB,所以BQ=CE,所以AB

-BD=AC-CE,即AD=AE,所以NAOE

天安门城楼西安半坡博物馆=又因为NA是和△ABC的

二、合作探究顶角，所以所以。E〃3C.

探究点一：等腰三角形两底角的平分线方法总结：等腰三角形两底角的平分线

（两腰上的高、中线）的相关性质相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等.

探究点二：等边三角形的相关性质

［类型—］利用等边三角形的性质求

角度

A

NDMB=/DME,

和△OME中，</DBM=NE,：.△

.DM=DM,

DMEq/XDMB.：.BM=EM.

是4c上一点，。是8C延长线上一点，连方法总结：证明线段相等可利用三角形

接BE,DE.若NABE=40°,BE=DE,求全等得到.还应明白等边三角形是特殊的等

/CEO的度数.腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合

解析：因为△ABC三个内角为60°,等边三角形.

N4BE=40°,求出/EBC的度数，因为［类型三］等边三角形的性质与全等

BE=DE,所以得到NEBC=N。，求出/£>三角形的综合运用

的度数，利用外角性质即可求出/CEZ)的度

数.

解：ABC是等边三角形，ABC

=ZACB=60Q,"：ZAB£=40°，,ZEBC

=/ABC-/ABE=60°—40°=20°.：BE

=DE,：.ZD=ZEBC=20°,：.ZCED=@DAABC为正三角形，点M是边BC

/AC3-NO=4(r.上任意一点，点N是边C4上任意一点，且

方法总结：等边三角形是特殊的三角BM=CN,BN与AM相交于Q点，求

形，它的三个内角都是60。，这个性质常常的度数.

应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟解析：先根据已知条件利用SAS判定

练掌握.△ABMm2BCN,再根据全等三角形的性质

求得NAQN=NA8C=60°.

［类型二］利用等边三角形的性质证解：•.•△ABC为正三角形，...NA8C=

明线段相等ZC=ZBAC=60°,A8=B。.在aAMB和

AB=BC,

△BNC中，V'ZABC=ZC,.•.△AMBg

BM=CN,

颤J如图：已知等边△ABC中，。是△BNC(SAS),

AC的中点，E是BC延长线上的一点，且:.NBAM=NCBN,：.NBQM=NABQ

CE=CD,DMA.BC,垂足为M,求证：BM+ZBAM=ZABQ+/CBN=ZABC=

=EM.60°.

解析：要证BM=EM,由题意证方法总结：等边三角形与全等三角形的

△8DW会△££)〃即可.综合运用，一般是利用等边三角形的性质探

证明：连接：在等边△4BC中，究三角形全等.

。是AC的中点，AZDBC=^ZABC=^X三、板书设计

1.等腰三角形两底角的平分线(两腰上

60°=30°,ZACB=60°：：CE=CD,：.的高、中线)的相关性质

/CDE=NE.,:NACB=NCDE+NE,：.等腰三角形两底角的平分线相等；

Z£=30°,：.ZDBC=ZE=30°：：DMX.等腰三角形两腰上的高相等；

BC,:.NDMB=NDME=90°,在ADMB等腰三角形两腰上的中线相等.

2.等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，并且每

个角都等于60°.定义、性质.让学生在探索图形特征以及相

关结论的活动中，进一步培养空间观念，锻

炼思维能力.让学生在学习活动中，进一步

本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新

进一步认识等边三角形.学习等边三角形的意识.

第3课时等腰三角形的判定与反证法

i.掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；（重点）

2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明.

投卷嵋

一、情境导入

某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然

后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，

测得为30度，这时，地质专家测得8c的长度是50米，就可知河流宽度是50米.

同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等

于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定.

二、合作探究

探究点一：等腰三角形的判定（等角对等边）

［类型一］确定等腰三角形的个数

画EI如图，在△ABC中，AB=AC,NA=36°,BD、CE分别是NABC、NBC。的角

平分线，则图中的等腰三角形有（）

A.5个B.4个

C.3个D.2个

解析：共有5个.（1）；4B=AC,...△ABC是等腰三角形；（2）；BD、CE分别是NABC、

N5C。的角平分线，NEBC=；NABC,是等腰三角形，，N

EBC=ZECB,...△8CE是等腰三角形；（3）：N4=36°,AB=AC,：.^ABC=ZACB=^

(180°-36°)=72°.又是NA8C的角平分线，：.ZABD=^ABC=36°=AA,：./\ABD

是等腰三角形；同理可证△©£>£和△BCQ也是等腰三角形.故选A.

方法总结:确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，

再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数.

［类型二］判定一个三角形是等腰三角形

面❷如图，在△ABC中，24c8=90°,C£>是AB边上的高，AE是254C的角平分

线，AE与CO交于点F,求证：4CE尸是等腰三角形.

解析：根据直角三角形两锐角互余求得/ABE=N4C£),然后根据三角形外角的性质求

得NCEF=NCFE,根据等角对等边求得CE=CF,从而求得△(；£1尸是等腰三角形.

解：：在△ABC中，ZACB=90°,二NB+/BAC=90°CO是AB边上的高，

ZACD+ZBAC=90°,；.NB=NACD是NBAC的角平分线，AZBAE=ZEAC,

：.ZB+ZBAE^ZAEC,ZACD+ZEAC^ZCFE,即NCEF=NCFE,：.CE=CF,.*.△

CE尸是等腰三角形.

方法总结：”等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，

只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立.

［类型三］等腰三角形性质和判定的综合运用

A

碰J如图，在△ABC中，48=4C,点。、E、尸分别在AB、BC、AC边上，且BE=

CF,BD=CE.

(1)求证：△。历是等腰三角形；

(2)当/A=50°时，求NOEF的度数.

解析：(1)根据等边对等角可得NB=/C,利用“边角边”证明△8OE和△CEF全等，

根据全等三角形对应边相等可得。E=EF,再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等

三角形对应角相等可得NBOE=NCE£然后求出/BM+NCEF=NBEZ)+/BOE,再利

用三角形的内角和定理和平角的定义求出NDEF.

BD=CE,

(1)证明："：AB=AC,，NB=NC.在△BDE和△<?£；/中，ZB=ZC,:.ABDE”

、BE=CF,

ACEF(SAS),：.DE=EF,△OEF是等腰三角形；

⑵解：:ABDE/ACEF,：.ZBDE=ZCEF,：.ZBED+ZCEF=ABED+

/BDE.•:NB+NBDE=ZDEF+NCEF,：.ZB^ZDEF.'：ZA==50°,AB=AC,ZB

=1x(180°-50°)=65°,:.NDEF=65：

方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是

证明线段相等、角相等的重要手段.

探究点二：反证法

【类型一】假设

颐1用反证法证明命题"三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这

个三角形中（）

A.有一个内角大于60。

B.有一个内角小于60°

C.每一个内角都大于60。

D.每一个内角都小于60。

解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角

都不小于或等于60。，即都大于60。.故选C.

方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全

部否定.

［类型二］用反证法证明一个命题

硝求证：△ABC中不能有两个钝角.

解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定

理相矛盾，所以原命题正确.

证明：假设aABC中能有两个钝角，即NA<90°,ZB>90°,ZC>90°,

所以/4+/8+NC>180°,与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因

此原命题正确，即aABC中不能有两个钝角.

方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及

步骤.反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则

结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况.如果只有一种，那

么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

三、板书设计

1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.

2.反证法

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；

（3）假设不成立，则结论成立.

歙魏恩

解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成

立所需要的条件.要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件.解题时学会分析，可以采

用执果索因（从结论出发，探寻结论成立所需的条件）的方法.

第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性

质

1.学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；（重

点、难点）

2.理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题.（难点）

一、情境导入

观察下面图形:

师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？

生：等边三角形.

师：对，等边三角形具有和谐的对称美.今天我们来学习等边三角形，引出课题.

二、合作探究

探究点一：等边三角形的判定

［类型一］三边都相等的三角形是等边三角形

@D已知a,6,c是△ABC的三边，且满足关系式J+c2=2浦+2a一2层,试说明AABC

是等边三角形.

解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解.

解：移项得a2+c2—2ab—2〃c+2/=0,

/+/—2ab+c?—2bc+『=0,

：.（a-h）2+（b~c）2=0,

...a-b=0且b—c=0,即4=6且6=0,

••c.

故△ABC是等边三角形.

方法总结：（1）几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；（2）有两边相等的三

角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.

［类型二］三个角都是60。的三角形是等边三角形

画❷如图，在等边△ABC中，/ABC与NACB的平分线相交于点O,iLOD//AB,OE

〃/1C试判定△OCE的形状，并说明你的理由.

解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得/OQ£=NOEQ=60°,再根据三

角形内角和定理得/OOE=60°,从而可得△OOE是等边三角形.

解：△ODE是等边三角形，

理由如下：:△ABC是等边三角形，...NABC=NACB=60°.

\'OD//AB,OE//AC,：.ZODE=ZABC=60°,ZOED=ZACB=60°.

AZDOE=180°一/OOE—NOE。=180°—60°—60°=60°.

:.NDOE=NODE=NOED=60；

二△ODE是等边三角形.

方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别

求出这个三角形的三个角都等于60°,从而判定这个三角形是等边三角形.

［类型三］有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

碰J如图，在△E8O中，EB=ED,点、C在BD上,CE=CD,BELCE,A是CE延长

线上一点，AB=8C.试判断△ABC的形状，并证明你的结论.

解析：由于EB=ED,CE=CD,根据等边对等角及三角形外角性质，可求得

NECB.再由8E_LCE,根据三角形内角和定理，可求得NECB=60°.又从而得

出△A8C是等边三角形.

解：△ABC是等边三角形.

理由如下：,:CE=CD,:./CED=ND.

又,//ECB=/CED+ZD.：.NECB=2ND.

'：BE=DE,：.NCBE=ND.：.NECB=2NCBE.：.NCBE=»ECB.

\'BE1CE,.,.NCEB=90°.

又,.,/ECB+NCBE+/CEB=180°,AZECB+|z£C£?+90°=180°,AZECB=

60°.

又•.•AB=8C,.'△ABC是等边三角形.

方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种

思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60。.(2)已知一

个三角形中有一个角等于60。，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明

另外两个角也等于60。；②证明这个三角形中有两边相等.

探究点二：含30°角的直角三角形的性质

［类型—］利用含30°角的直角三角形的性质求线段长

40B

颐J如图，在Rt/LABC中，ZACB=90°,NB=30°,CQ是斜边A8上的高，AD

=3cm,则AB的长度是（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

解析：在RtZ\ABC中，：C£>是斜边AB上的高，；.NAOC=90°,AZACD=ZB=

30°.在RtAACD中,AC=2AD=6cm,在RtZXABC中，A8=2AC=12cm.AAB的长度是12cm.

故选D.

方法总结：运用含30。角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三

角形.

［类型二］与角平分线有关的综合运用

H0如图，NAOB=30°,OP平分/AOB,PC〃。/1交OB于C,PO1.OA于。，若

PC=3,则PQ等于()

A.3B.2

C.1.5D.1

DA

解析：如图，过点P作PEA.OB于E,'：PC//OA,：.ZAOP=ZCPO,：.NPCE=NBOP

+NCPO=NBOP+/AOP=30°.又；PC=3,.*.PE=£PC=TX3=15；NA0P=NB0P,

OP=OP,ZOEP=ZODP,：./\OPE^/\ODP,；.PQ=PE=1.5.故选C.

方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线

构造含30°角的直角三角形.

［类型三］利用含30°角的直角三角形解决实际问题

某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以

美化环境，已知4c=50m,AB=40m,N8AC=150°,这种草皮每平方米的售价是a元，

求购买这种草皮至少需要多少元？

解析：作BZ)_LCA交CA的延长线于点。.在RtZXABQ中，利用30°角所对的直角边是

斜边的一半求B。，即△ABC的高.运用三角形面积公式计算面积求解.

解：如图所示，过点B作BC_LCA交CA的延长线于点D；/8AC=150°,

2

=30°.；AB=40m,：.BD=^AB^2Qm,：.S&ABC^X50X20=500(m).•这种草皮每平

方米a元，.•.一共需要5004元.

方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质求8。的长，正确的

计算出aABC的面积.

三、板书设计

1.等边三角形的判定

三边都相等的三角形是等边三角形；

三个角都是60°的三角形是等边三角形；

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

2.含30°角的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

本节课借助于教学活动的展开，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通

过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，有助于学生思维能力的

提高.不足之处是部分学生综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进

一步的训练得以提高.

1.2直角三角形

第1课时直角三角形的性质与判定

中均为直角三角形，D选项中/A=/8=

3NC,即7ZC=180",三个角没有90°

1.复习直角三角形的相关知识，归纳角，故不是直角三角形.故选D.

并掌握直角三角形的性质和判定；方法总结：在判定一个三角形是否为直

2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，角三角形时要注意直角三角形中有一个内

能够运用其解决问题.（重点，难点）角为90°.

［类型二］直角三角形的性质的应用

（3B如图①，/\ABC中，ADVBC于

D,CE_L4B于E.

一、情境导入

古埃及人曾经用下面的方法画直角：将

一根长绳打上等距离的13个结，然后按如

图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们

认为其中一个角便是直角.你知道这是什么

道理吗？（1）猜测N1与N2的关系，并说明理由.

（2）如果NA是钝角，如图②，（1）中的结

论是否还成立？

解析：（1）根据垂直的定义可得

和△BCE都是直角三角形，再根据直角三角

形两锐角互余可得/l+/B=90°,N2+

NB=90°,从而得解；（2）根据垂直的定义

二、合作探究可得ND=NE=90°,然后求出N1+N4

探究点一：直角三角形的性质与判定=90°,N2+N3=90°,再根据N3、Z4

［类型一］判定三角形是否为直角三是对顶角解答即可.

角形解：⑴N1=/2.；AOJ_8C,CE1.AB,

©B具备下列条件的aABC中，不是...△A8O和△8CE都是直角三角形，.INI

直角三角形的是（）+NB=90°,Z2+ZB=90°,Z1=

A.NA+NB=/CZ2；

B.Z4-ZB=ZC（2）结论仍然成立.理由如下：

C.ZA：ZB：NC=1：2：3'：BD±AC,CE±AB,：.ZD^ZE=90°,

D.ZA=ZB=3ZC.,.Zl+Z4=90°,N2+N3=90°,VZ

解析：由直角三角形内角和为180°求3=/4（对顶角相等），；./1=/2.

得三角形的每一个角的度数，再判断其形方法总结：本题考查了直角三角形的性

状.A中即2NC=180°,质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同

ZC=90°,为直角三角形，同理，B,C角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解

题的关键.解：此题应分两种情况进行讨论:

探究点二：勾股定理A

［类型—］直接运用勾股定理

(1)⑵

(1)当△ABC为锐角三角形时，在RtA

®©己知：如图，在△A8C中，ZACB48。中，BD=7AB，-AD?=715)—12?=9,

=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD，AB在Rt△ACD中，CD=yjAC2-AD2=

于。求：^/132-122=5,ABC=BD+CD=5+9=

(1)AC的长；14,.,.△ABC的周长为15+13+14=42；

(2)SAABC；(2)当AABC为钝角三角形时，在RtA

(3)C。的长.ABQ中，BD=^/AB2-AD2=^/152-122=9.

解析：(1)由于在△ABC中，ZACB=在Rl△ACD中，CD=y/ACf-AD2=

90°,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定^/132-122=5,；.BC=9-5=4,.;△ABC

理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的的周长为15+13+4=32.

面积公式即可求出SAMC；(3)根据CDAB=,当△ABC为锐角三角形时，△A8C

8cAe即可求出CD.的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，

解：(1);•在△ABC中，ZACB=90°,△ABC的周长为32.

AB=13cm,8c=5cm,.,.AC^A^-BC2^方法总结：在题目未给出具体图形时，

12cm；应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角

12形，凡符合题设的情况都要考虑，体现了分

(2)SZ2SA8C=1C3,AC=30cm-；

类讨论思想，这是解无图几何问题的常用方

(3)：SAA8C=；AC-BC=^CD-AB,：.法.

探究点三：勾股定理的逆定理

［类型一］判断三角形的形状

如图，正方形网格中有△ABC,

方法总结：解答此类问题，一般是先利若小方格边长为1,则AABC的形状为

用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示)

出同一个直角三角形的面积，然后根据面积

相等得出一个方程，再解这个方程即可.

［类型二］分类讨论思想在勾股定理

中的应用

®D在△A8C中，AB=\5,AC=13,

BC边上的高AO=12,试求△ABC周长.A.直角三角形

解析：本题应分两种情况进行讨论：(1)B.锐角三角形

当ZXABC为锐角三角形时，在RtAABD和C.钝角三角形

RtAACD中，运用勾股定理可将8。和CDD.以上答案都不对

的长求出，两者相加即为BC的长，从而可解析：•.•正方形小方格边长为1,：.BC

将△ABC的周长求出：(2)当△4BC为钝角=A/42+62=2VT3,AC=yj22+3>i=y［u,AB

三角形时，在RtAABZ)和RtAACD中，运=、1+82=痈.在△ABC中,-：BC2+AC2

用勾股定理可将8。和C£>的长求出，两者=52+13=65,AB2=65,：.BC2+ACi=

相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长AB2,.'.△ABC是直角三角形.故选A.

求出.方法总结：要判断一个角是不是直角，

先要构造出三角形，然后知道三条边的大NACZ)=90。,.'S四边舷4BCD=SZXABC+SAACD

小，用较小的两条边的平方和与最大的边的=1x6X8+|x10X24=144.

平方比较，如果相等，则三角形为直角三角

形；否则不是.方法总结：此题将求四边形面积的问题

［类型二］利用勾股定理的逆定理证转化为求两个直角三角形面积和的问题，既

明垂直关系考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体

画13如图，在正方形A8C。中，AE=现了转化思想在解题时的应用.

EB,AF=^AD,求证：CEVEF.探究点四：互逆命题与互逆定理

M写出下列各命题的逆命题，并判

断其逆命题是真命题还是假命题.

(1)两直线平行，同旁内角互补；

(2)垂直于同一条直线的两直线平行；

(3)相等的角是内错角；

证明：连接CF,设正方形的边长为4.(4)有一个角是60°的三角形是等边三

,••四边形ABC。为正方形，."8=BC=C£>角形.

=D4=4.;点E为AB中点，AF=^AD,解析：分别找出各命题的题设和结论将

其互换即可.

AE=BE=2,AF=\,。尸=3.由勾股定理得解：(1)同旁内角互补，两直线平行.真

£^=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2=命题；

42+32=25.V£F2+£C2：=FC2,:.ACFE是(2)如果两条直线平行，那么这两条直线

直角三角形，：.ZFEC=90°,即EF_LCE.垂直于同一条直线(在同一平面内).真命题；

方法总结：利用勾股定理的逆定理可以(3)内错角相等.假命题；

判断一个三角形是否为直角三角形，所以此(4)等边三角形有一个角是60°.真命

定理也是判定垂直关系的一个主要方法.题.

［类型三］运用勾股