北师版九年级上册数学第一章特殊平行四边形教案教学设计

第一章特殊平行四边形

1.菱形的性质与判定（一）

教学目标：

经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形

的关系；

体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合

情推理能力；

在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力

教学过程：

本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：设置情

境，提出课题；第三环节：猜想、探究与证明；第四环节：性质应用与

巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。

第一环节课前准备

1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图

片。

2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。

第二环节设置情境，提出课题

【教学内容】

B

A

V

会

学生：观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。

教师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认

为它们有什么样的共同特征呢？

学生1:图片中有八年级学过的平行四边形。教师：请同学们观察，

彩图中的平行四边形与ABCD相比较，还有不同点吗？

学生2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相

等。

教师：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形

叫做菱形”。

【教学目的】

通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力。上课时让学生观

察图形，从直观上把握菱形的特点，从而给出菱形的定义，让学生明确菱

形不但是平行四边形，而且有其特点“一组邻边相等”。同时，要让学生

体会数学来源于生活，让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩，

从而提高学生学习数学的兴趣。

【注意事项】

学生在通过观察对比得到菱形定义的过程中，会提出菱形的许多

性质，如四条边相等、对角相等和对边平行等等，教师要对学生的答案进

行积极的有鼓励性的评价，激发学生的学习积极性，同时又要强调菱形不

仅是平行四边形，而且有其自身特点“一组邻边相等”，这样强化了菱形

的定义，又为下面的教学内容做好了铺垫。

第三环节猜想、探究与证明

【教学内容】

1、想一想

①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性

质。你能列举一些这样的性质吗？

学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交

流。

学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽

可能多的组员发言，并汇总结果。

教师活动：教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类

比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。对学

生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。

2、做一做

教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间

有什么位置关系？

(2)菱形中有哪些相等的线段？

学生活动：分小组折纸探索教师的问题答案。组长组织，并汇总结

果。

教师活动：教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得

到正确的结论。学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应

的结论，以便于后面的教学。

师生结论：①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在

的直线，两条对角线互相垂直。②菱形的四条边相等。

3、证明菱形性质

教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下

面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。

教师活动：展示题目

已知：如图1T,在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点0.

求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）ACXBD.

师生共析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就

可以证明菱形的四条边都相等了。

②因为菱形是平行四边形，所以点0是对角线AC与BD中

点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利

用“三线合一”来证明结论了。

学生活动：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握

相关定理。

证明：（1）•.•四边形ABCD是菱形，

.,.AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）.

又♦AB=AD

.*.AB=BC=CD=AD

（2）VAB=AD

...△ABD是等腰三角形

又•.•四边形ABCD是菱形

...OB=OD（菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABD中，

OB=OD

/.AOXBD

即AC1BD

教师活动：展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生

的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相

等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象。

【教学目的】

学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生的活

动过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引

导，尽量减少学生推理论证过程中的困难。

学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感

知上升到了理性认识，充分了解了菱形的本质特征。本环节让学生进行猜

想探究和证明，符合学生的认知规律。同时，操作活动得到的结论与逻辑

推理相结合，是对数学知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识

到理性认识的升华。

【注意事项】

在折纸过程中，教师要与学生探讨折纸的方法，明确折叠过程中的对

应点及相应的对称轴，对称轴是菱形对角线所在的直线，而不是菱形的对

角线，以便于学生正确迅速找出菱形中的对称关系。掌握数学知识，离不

开“实践f认识一再实践f认识”这个重要的数学学习方法，通过说理论

证可以使学生充分理解菱形的本质，对这样的过程学生也可以很好的掌

握，在这个过程中，教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨

性。

第四环节性质应用与巩固

【教学内容】

教师：通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面

我们利用这些性质来解决一些问题。

教师活动：展示题目

1、例1如图1-2,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,

NBAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长。

师生共析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60。，这样就可以得到等

边△ABD,BD=6,菱形的边长也是6。

②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的对角线互相平

分，可以得到0B=3,根据勾股定理就可以求出0A的长度；再一次根据菱

形的对角线互相平分，即AC=2OA,求出ACo

解：：四边形ABCD是菱

形

，AB=AD（菱形的四条边都相

等）ACXBD

（菱形的对角线互相垂直）

OB=OD=-BD=X6=3（菱形的对角线互相平分）

22

在等腰三角形ABC

中，

VZBAD=60°

AABD是等边三角

形

.*.AB=BD=6

在RtZ\A0B中,由勾股定理，得0A2+0B?=AB2

OA=YAB'-OB'==班

AC=20A=6y/3

2、随堂练习

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0.

已知AB=5cm,A0=4cm求BD的长.

师生共析：从图中可以知道AC与BD互相垂直，可以构成直角AAOB,

因为AB=5cm,A0=4cm,这样就可以运用勾股定理求出0B；又因为菱形的

对角线互相平分，BD为0B的两倍，这样就可以很方便的求出BD的数值

了。

解：：四边形ABCD是菱形

.,.AC1BD（菱形的对角线互相垂

直）

在Rtz\AOB中，由勾股定理，得

999

AO+B0=AB

•'BO=JAB--=Vs*—4*=3

四边形ABCD是菱形

；.BD=2BO=2X3=6（菱形的对角线互相平

分）

所以，BD的长是

6cm.

【教学目的】

学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前

面所学知识进行了更加深入的认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培

养了学生的主动探索能力，激发了学生学习的兴趣。

【注意事项】

在此活动中，教师应重点关注以下方面：（1）学生是否提出了不同

的解题方法，这种方法的优点和缺点分别是什么；（2）学生的几何语言

是否准确、规范、严谨；（3）给学生充分的独立思考时间和交流时间，

让学生在合作交流的过程中完成题目，理解所学的知识。

第五环节课堂小结

【教学内容】

本节课我们探讨了菱形的定义、性质，我们来共同总结一下：

1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的

直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。

3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推

理。

【教学目的】

教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获；培养学生的归纳能

力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及

总结能力。

【注意事项】

学生们畅所欲言自己的收获，老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓

励，及时引导学生归纳总结本节的知识。

第六环节布置作业：

课本习题1.1知识技能1、2、3数学理解4

1.菱形的性质与判定（二）

1.知识目标:

理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的

问题。

2.能力目标：

(1)经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初

步的符号感，发展抽象思维.

(2)经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理能

力和初步的演绎推理的能力；

(3)在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的

思想，提高学生的能力。

3.情感与价值观要求

(1)积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.

(2)通过“实验一猜想一证明一应用"的数学活动提升科学素养.

4.教学重点

(1)菱形判定定理的证明.

(2)菱形判定定理的应用.

5.教学难点

学生独立完成证明的过程，增强学生对待科学的严谨治学态度。

教学过程分析

本节课设计了六个环节：第一环节，课前准备；第二环节，温故知

新；第三环节，展示交流，引导探究；第四环节，独立证明，交流提高；

第五环节，实际应用，练习巩固；第六环节，课堂小节，回顾思考；第七

环节，作业布置。

第一环节：课前准备

活动内容：制作菱形

(1)在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；

(2)想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形.

(3)利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.

活动目的：通过制作棱形的过程学生可以体会菱形的判定条件，从而

为课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫。同时以这种比较有趣的形式对

这部分知识进行自主预习，激发学生对本节知识的学习兴趣，激发学生的

积极性和主动性。

活动的注意事项：

（1）长方形纸片（也可以用三角形纸片，详见“拓展资源”文

件夹中的相关内容.）；

（2）记录制作过程以备在课堂上演示讲解；

（3）方法越多越好.

第二环节：温故知新

活动内容：通过练习复习上节课探究过的菱形的性质

活动目的：通过课件中的问题回顾上节课探究过的菱形的性质定理，

从而为本节课课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫。同时以这种比较有

趣的形式对这部分知识进行自主预习，激发学生对本节知识的学习兴趣，

激发学生的积极性和主动性。

活动的注意事项：

鼓励学生主动讲解、相互补充完成本部分内容.

第三环节：展示交流，引导探究.

活动内容：利用实物投影或者课件，请学生说明自己制作的菱形的过

程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的

四边形是菱形（菱形的尺规作图）”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例

资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与

菱形的性质之间的关系。

用实物投影、课件、板书等方式罗列发现的学生资源：

（1）对角线垂直的平行四边形是棱形

（2）四条边相等的四边形是菱形请学生交流大体思路

（3）菱形的尺规作图

（4）利用长方形纸剪折菱形

活动目的：菱形的性质学生刚刚学完，也经过了严格的证明，学生对

问题证明的分析和格式要求有一定的认知，教师引导学生认识判定定理与

性质定理是互逆定理后，可以让学生独立思考，逐步锻炼学生的推理论证

能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作

风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。

活动注意事项：

（1）在学生的展示过程中教师要能及时扑捉学生资源；

（2）展示交流时，应当鼓励学生提出自己的意见，鼓励学生多提“为

什么”，鼓励学生质疑，从而使学生认识到证明的必要性。

（3）如果学生资源不足，教师可以运用课件展示教材上的课例。

第四环节：教师引导，独立证明

活动内容：组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线垂直的平行

四边形是菱形”和

“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。

（一）对角线垂直的平行四边形是菱形

已知：如图1-3,在0ABCD中，对角线AC与BD交于点0,ACXBD.

求证：C7ABCD是菱形

证明：四边形ABCD是平行四边形

/.0A=0C

XVACXBD

；.BD是线段AC的垂直平分线

，BA=BC

...四边形ABCD是菱形（菱形定义）

（二）四条边相等的四边形是菱形

已知：如图1-5,四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.

求证：四边形ABCD是菱形

证明：,.,AB=CD,AD=BC

...四边形ABCD是平行四边形

又：AB=BC

...四边形ABCD是菱形（菱形定义）

活动目的：菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定

的关系有一定的认识，再对比性质定理的证明进行，同时，通过教师引导

和独立思考，培养学生遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。

在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每

个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学

生相互帮助共同进步。

活动注意事项：

可以通过分组的形式，让学生选择自己要证明的判定定理，加入那个

小组，每个小组去证明一个定理，这样不仅有利于学生的合作交流，同时

还能合理安排课堂时间，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去；同

时，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，鼓励发现更多的方

法来证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行

讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应该关注学生

的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新

的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。

第五环节：实际应用，练习巩固

活动内容：小组合作完成教材中的两个习题

1.教材P7随堂练习

画一个菱形，使它的两条对角线长分别是4cm、6cm.

2.教材P8知识技能1

已知：如图，在。ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC

相较于点E、0、F.

求证：四边形AECF是菱形

活动目的：运用刚刚证明的两个判定定理解决问题，进一步发展学生

的推理能力，同时，通过对教材P7随堂练习的解决，让学生找寻不同的解

题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在

一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，

最大化地提高学生能力。

活动注意事项：

（1）在小组合作过程中教师要能及时发现学生资源，及时点明共性的

问题；

（2）鼓励学生提出自己的意见，采用不同的思路解决问题，并能运用

本节课的知识解释其中的道理。

（3）强调证明过程书写的规范性;

（4）教材P8知识技能1

此题完成证明过程后，应当点明可以采用类似方法用长方形纸制作菱

形，与第一环节呼应起来。

第六环节：课堂小结

活动内容：学生互相交流菱形的性质与判定定理，何时该选用性质定

理，何时选择判定定理，菱形与平行四边形的关系，遇到菱形实际题目时

如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。

活动目的：鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收

获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需

要严谨的作风这一点有深刻的认识。

活动注意事项：鼓励学生互相补充，畅所欲言，不要由老师替学生总

结，特别要关注一些在数学学习中有困难的学生，要通过这个环节来给他

们树立信心，同时帮助他们发现困难以便今后更好的解决困难。

第六环节：作业布置

1.教材P8知识技能2

此题要求有能力的同学分别运用本节课学习的菱形的两条判定定理

进行证明.

2.教材P8数学理解3

1.菱形的性质与判定（三）

1.知识与技能目标

能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱

形面积的求法。

2.过程与方法目标

经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思

想方法。

3.情感与态度目标

在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在

学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能

力。

教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：知识

应用；第三环节：拓展提高；第四环节：效果检测；第五环节：课堂小

结；第六环节：因人作业。

第一环节：知识回顾

内容：同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判

定，你能完成下面几个题目吗？

1.如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6,请回答下列问题：

图

(1)其余三条边AD、DC,BC的长度分别是多少？

(2)对角线AC与BD有什么位置关系？

(3)若NADC=120°,求AC的长。

2.如图2所示：在。ABCD中添加一个条件使其成为菱形:

添加方式

1:

添加方式

2：____________________________________________________________

目的：通过一些简单题目的设计，帮助学生回顾菱形的相关性质及判

定方法，学生从题目入手，不会显得那么古板枯燥，不仅能回顾相关知识

而且能激发学生学习兴趣。

效果：学生通过题目很好地回顾了相关知识，为后续的学习打下了基

础。

第二环节：知识应用

1.典型例题：

例3如图3,四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为

10cm.求：

(1)对角线AC的长度；

(2)菱形ABCD的面积.

解:⑴•••四边形ABCD是菱形,

/.AC±BD,BPZAED=90°,

DE=BDX10=5(cm)

...在Rt^ADE中，由勾股定理可得:

JE=^AD2-DE2=g-52=1%7孙

.♦.AC=2AE=2X12=24(cm).

(2)S菱形ABCD=SAABD+SACBD

=2XSAABD=2XXBDXAE

o

=BDXAE=10X12=120(cm).

目的：通过例3让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对

于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形

成比较好的解题思路。

效果：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不

规范；对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论交流点拨后

学生能接受这种方法。在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线

有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点。

2.变式训练：如上图3,四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为

12cm,AC长为16cm.求：

(1)菱形的边长；

(2)求菱形一条边上的高。

目的：变式训练的设计，是想让学生更加深入地掌握菱形的相关性

质，同时对于第二问，学生必须灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一

半，这一结论求出面积进而求出一边上的高。

效果：学生对于第一个问题解决比较顺畅，书写较例3规范多了，但

对于第二问仍然有疑问，教学时注意引导。

3.方法启迪：

同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经

验？

目的：学生完成典型例题后及时总结经验是帮助学生形成解题思路的

好办法，教师借助这一环节既帮助学生梳理了思路，同时对于学习还有困

难的学生是一个好的学习机会。

效果：学生对解决菱形性质类题目有了自己的思路，同时在例题和变

式训练中有问题的同学通过思路的梳理与解析，也基本能掌握解题的方

法。

4.知者加速与补读帮困：

知者加速1：已知菱形的周长为40cm,一条对角线长为16cm,则这个菱形

的面积是cm".

目的：对于数学学科的学习，大多数数学老师我想都有这样的感受，

无论是新授课还是复习课，学生掌握知识的差异太大了，为了不让掌握较

快的同学（我们称为“知者”）在陪读中浪费大量的时间，自然分材教学

主张这部分同学能够先行一步，课堂上能尽可能多的掌握知识（我们称为

“加速”）o

正是因为数学每一节课的知识点都比较集中，数学课堂上对于学困生

的帮助才比较容易操作。教师在面向全体学生实施教学后，对掌握较慢接

受能力较差的同学（我们称为“补读生”）应及时帮困。

效果：知者加速的操作主要是从熟练掌握知识点和拓宽学生知识面两

个方面来进行的。“知者”学完新授知识以后，最主要的任务还是熟练掌

握知识点，此时教师应可以通过典型例题的反复练习提高学生对于知识点

熟练程度为后面的灵活运用打好基础。当“知者”已经掌握知识点以后，

教师就应该及时通过变式训练或增加难度，拓宽学生的知识面，提高学习

兴趣。

通过补读帮困让学习有困难的这部分同学能够在数学课上尽可能地掌

握知识，以树立学习数学的信心。

第三环节：拓展提高

1.如图4,两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形

吗？为什么？

图M

2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使NA成

为菱形一个内角吗？

目的：很多学生在玩耍的时候经常玩纸条，学生非常熟悉这一背景，

但是他们很少发现其中的数学知识，这样也能引起学生的兴趣，同时通过

这一题目对于菱形的相关判定方法也进行了巩固。

效果：学生学习的兴致非常高，讨论积极，通过学生讨论、教师点拨

后对问题基本理解。

第四环节：效果检测

1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm,它的一条对角线BD长

10cm,贝！J

NABC=0,AC=cm.

2.如图7,四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点0,

AC=4cm,BD=8cm,则这个菱形的面积是cm.

3.已知，如图8,在四边形ABCD中，AD=BC,点E、F、G、H分别是

AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（）

A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形

4.已知：如图9,在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点,

且BE=BF,

求证：(l)AADE^CDF；(2)NDEF=NDFE.

图S

知者加速2：已知：如图10,在Rt^ABC=90°,NBAC=60°,BC的

垂直平分线分别交BC和AB于点D、E,点F在DE延长线上，且AF=CE,求

证：四边形ACEF是菱形.

第五环节：课堂小结

内容：通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？请从以

下三个方面进行总结：知识收获、方法收获、关注问题。总结完成后请小

组内进行交流。最后教师应对本节课方法上，解题思路上进行升华点拨。

目的：学生能从以上三个方面对本节课进行总结、反思，能起到巩固

所学知识，归纳学习方法，提高学生的归纳概括能力的作用。

效果：学生从以上三个方面进行了系统的总结与反思，同时通过小组

交流畅所欲言，既回顾了知识又帮助了同学。

第六环节：因人作业

必做题：课本P27知识技能第3题，第4题，第8题；选做题：如图

11,在四边形ABCD中，AD〃BC,E为BC的中点，BC=2AD,EA=ED=2,

AC与ED相交于点F.当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱

形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积.

图山

目的：教师根据学生掌握水平的不同把作业分为必做题和选做题，必

做题是学生必须掌握的题目，对于巩固本节课的基础知识能起到较好的作

用，选做题是对于学有余力的学生准备的，让他们在掌握基础的同时向更

高的目标迈进。

2.矩形的性质与判定（一）

1.知识与技能：

（1）掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。

（2）理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明；

(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分

析能力.

2.过程与方法：

(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；

(2)通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗

透运动联系、从量变到质变的观点.

3.情感态度与价值观：

(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索

性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的

思维价值。

(2)通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。

(3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透

集合的思想。

教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景，导入新课；第二

环节：分组讨论、探求新知；第三环节：层层递进，推理验证；第四环

节：乘胜追击，完善性质；第五环节：建构新知，发展问题；第六环节：

合作交流，解决问题；第七环节：反思交流，反馈提高。

第一环节：创设情景，导入新课

活动内容：1、平行四边形具有哪些性质？

2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变

化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考：

(1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗？

(2)在运动过程中四边形不变的是什么？

(3)在运动过程中四边形改变的是什么？

不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形

变：角的大小

（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。

（矩形）

矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形

活动目的：从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形

概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念

活动的注意事项：让学生观察从平行四边形到矩形的变化过程，事

实上是在学生已有的平行四边形相关认知的基础上建构，让他们认识到矩

形是平行四边形，但却是角度特殊的平行四边形。从而自然得到矩形定义

需满足两个条件。（1）平行四边形，（2）有一个角是直角。定义是本节

的关键点，因此观察过程不能省略。

第二环节：分组讨论，探究新知

活动内容：1.既然矩形是平行四边形，那么它具有平行四边形的哪些性

质？

在同学回答的基础上进行归纳：

性质

边角对角线对称性

类别

对边平行中心对称

矩形对角相等对角线互相平分

且相等图形

2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们

来进一步研究矩形的其他性质。

（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒

等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量

结果；

（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结

论是否仍然成立？

（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？

教师在学生口答的基础上，引导学生得出（板书）：

矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.

矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.

活动目的：让学生分组探索。教师可引导学生，根据研究平行四边形获得

的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，还可提醒学

生，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”，学生通过动手测量，动

脑思考，动口讨论，自主发现矩形的性质。

活动的注意事项：学生通过对比平行四边形的性质及观察从平行四边

形到矩形的变化的过程，再通过测量、观察和讨论，从边、角、对角线三

方面不难发现矩形的性质。学生自己讨论得出的结论会更让他们乐于接

受，而方法也在此过程中渗透给了学生。因此，教师不要觉得内容比较简

单，就越俎代庖，应该给学生留出足够的活动时间。

第三环节：层层递进，推理论证

活动内容：提问：怎样证明你的猜想？

（教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）

订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。

已知：如图，四边形ABCD是矩形，NABC=90°对角线AC与DB相交于点

Oo

An

求证：(1)NABC=NBCD=NCDA=NDAB=90°

(2)AC=BD

活动目的：根据新课标的精神，不仅要发展学生的合情推理能力，还要发

展学生的演绎推理能力。在上一环节观察，测量，猜测的基础上，学生较

易得出结论。但结论是否真的正确，必须经过严谨的证明。该环节旨在训

练学生规范写出推理过程。

活动的注意事项：特殊四边形这一部分，可以很好地发展学生的逻辑

推理能力。既然该环节旨在训练学生规范写出推理过程。那么在活动过程

中，就一定要先让学生独立完成，并挑两名学生板演，然后教师点评，最

后教师规范的写出推理过程，才可以达到训练的效果。

第四环节：乘胜追击，完善性质

活动内容：问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思

考。

①矩形是不是中心对称图形？如果是，那么对称中心是什么？

②矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？

结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？

归纳概括矩形的性质：

从边来说，矩形的对边平行且相等；

从角来说，矩形的四个角都是直角；

从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；

从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（)

A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相

平分

活动目的：在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称

性，在知道方法的条件下，学生完全可以通过自己的操作、观察、猜想，

最终得到矩形的对称特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也

很感兴趣。

活动的注意事项：在学习了矩形的性质后，一定要引导学生归纳总

结，把新学到的知识和自己的已有知识经验穿成串，从而让自己的认识升

华，形成自己的知识系统。

第五环节：建构新知，发展问题

活动内容：（1）提出问题：由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角

形？在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有

什么特殊的性质吗？你能借助于矩形加以证明吗？

（2）教师板书推论及推理语言：

定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

（3）练一练

已知AABC是RtA,ZABC=90°,BD是斜边AC上的中线.

⑴若BD=3cm,贝AC=cm;

（2）若NC=30°,AB=5cm,则AC=cm,BD=cm.

活动目的：先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学

数学，用数学”的目的。再通过习题，让学生掌握“在直角三角形中斜

边上的中线等于斜边的一半”这一性质，达到学以致用的目的，培养了学

生的应用意识。

活动的注意事项：“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一

半”，是直角三角形中的一个重要性质。在活动过程，一定要让学生理解

该定理的应用需满足两个条件：（1）直角三角形（2）斜边的中点。

第六环节：合作交流，解决问题

活动内容：例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点0,

NA0D=120°,AB=2.5cm,求矩形对角线的长。

证明：•.•四边形ABCD是矩形,

AC=BD（矩形的对角线相等）

0A=0C=2AC,0B=0D=2BD,

/.0A=0Do

VZA0D=120°,

AZ0DA=Z0AD=2(180°-120°)=30°。

又•••NDAB=90°（矩形的四个角都是直角）

.\BD=2AB=2X2.5=5.

活动目的：这个例题主要目的是应用矩形的边和对角线的性质来解决问

题。在学过矩形的性质后，如何熟练、灵活的应用矩形的性质解决实际问

题，就是关键。活动的注意事项：该例题中，学生要得出结论难度不

大，但是要简洁、清楚写出推理过程有一定的难度，教师在讲解时，要重

点训练，要把推理过程规范进行板书。

第七环节：反思交流，反馈提高

活动内容：1.本节课你学到了什么？

（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

（2）矩形的性质

（3）直角三角形的性质

（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条

对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可

化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。

2.自我检测。

（1）下列说法错误的是（）.

A.矩形的对角线互相平分B.矩形的对

角线相等。

C.有一个角是直角的四边形是矩形D.有一个角是直角

的平行四边形叫做矩形

（2）已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为

120°,则矩形的边长分别

为。

活动目的：让学生对学习情况进行小结，主要包括：知识小结和学法小

结。通过小结，让学生梳理学习内容，明确本节课重点知识以及该掌握的

解题方法和技巧，使教师及时了解学生对本节课重点知识以及解题方法和

技巧的掌握情况，以便答疑补漏。及时的课堂检测，及时反馈学生学习

的效果便于进行课堂教学和优化。

活动的注意事项：教学时要注重使不同的学生都能得到发展，对于学

习程度较好的学生要增加思维深度，题目可以适当加调整，随学生水平的

不同稍作增减。对学习有困难的学生，则鼓励学生先运用自己的语言说明

理由，以帮助学生加深对所学结论的认识，逐步训练数学语言。

2.矩形的性质与判定（二）

教学目标为：

1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理

以及其他相关结论；

2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培

养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及

计算与证明在解决问题中的作用；

3.学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、

概括以及转化等数学思想方法；

4.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科

学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，提出问题；第二

环节：先猜想再实践，发展几何直觉；第三环节：再创情境，猜想实践；

第四环节：实际应用，范例教学；第五环节：反馈练习，注重参与；第六

环节：课堂小结，布置作业。

第一环节：创设情境，提出问题

活动内容：课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边

形的活动框架。在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两

个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什

么变化？

活动目的：通过这个活动，首先是学生能够主动地对平行四边形的相

关知识有一个系统的回顾和认知，让学生以一种比较有趣的形式对这部分

知识进行自主的复习，激发学生对本节知识的学习兴趣。同时，对平行四

边形进行归纳，可以使学生清楚地认识到平行四边形与特殊平行四边形之

间的关系，为后面连续几节研究特殊的平行四边形提供有力的支持。此

外，这个活动，也可以激发学生的积极性和主动性。

活动的注意事项：因为前面对平行四边形及菱形、矩形的学习，学生

回答问题比较有针对性，能概括地从“边、角、对角线”等几个方面回

答，较有条理。当然也有个别学生语言表述不到位，需老师同学适时点

拨、补充、鼓励。

第二环节：先猜想再实践，发展几何直觉

活动内容：根据上面的实践活动提出以下两个问题：

(1)随着的变化，两条对角线将发生怎样的变化？

(2)当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你

能得到一个怎样的猜想？

学生在小组中完成这个活动的过程中，会引发对于这两个问题的讨论，请

学生根据实践的结果对问题进行回答，再对比前面所学的平行四边形及菱

形的判定定理的证明过程，来思考如何证明矩形的判定定理。然后通过小

组合作，将定理的证明严格的完成，最后同学实物投影的形式，各小组之

间进行交流。

对比前一节学习的菱形和矩形的性质定理，引导学生对矩形独有的第

一个判定定理进行证明:

教师板书本题证明过程。

定理两条对角线相等的平行四边形是矩形。

(5)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；

(6)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证

进行分析；

(7)请学生交流大体思路；

(8)用规范的数学语言写出证明过程；

(9)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。

活动目的：矩形的性质学生已经非常熟悉，对比矩形的性质得到矩形

的判定，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题

思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通

过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合

作，在合作中让学生相互帮助共同进步。

活动注意事项：通过这个活动，学生能够很容易想出矩形的这个判定

定理，而且通过对比平行四边形和菱形的相关证明，不难证明。所以，教

师在这里可以放手让学生通过分组的形式，自主证明，这样不仅有利于学

生的合作交流，还能让学生多些时间来研究一题多解，开阔了学生的思

路，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。

同时，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，特别是有没

有更多的方法来证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其

他同学进行讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应

该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他

们是否有新的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。

对学生的证明要求不高，但需要学生画图，并写出已知求证，这对部

分学生来说有一定困难，教师在此时可以注意引导，让学生首先分析出定

理中的条件和结论，然后让学生仿照前面平行四边形和菱形的证明，写出

已知和求证，同时对他们做出分析，这个学生分析的环节是发展学生推理

论证能力的关键。

在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理由，同时，还要

关注学生的证明过程是否严谨清晰。

第三环节：再创情境，猜想实践

活动内容：

教师给出PPT中的情境二：李芳同学用四步画出一个四边形，“边、

直角、边--一直角、边----直角、边”，她说这就是一个矩形，她说的对

吗？为什么？

学生现猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明。

定理三个角是直角的四边形是矩形。

(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；

(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证

进行分析；

(3)请学生交流大体思路；

(4)用规范的数学语言写出证明过程；

(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。

活动目的：通过上面的一个判定定理的证明，学生已经学会如何分析

命题，找出条件和结论，画出图形，根据图形写出已知和求证，到现在为

止学生有两种证明一个四边形是矩形的方法，在这个环节中，应引导学生

对方法的适当选择，并通过实物投影的方式对比较严谨清晰的方法进行展

Zj\O

活动注意事项：通过这个活动，学生能够很容易想出矩形的这个判定

定理，而且通过对比平行四边形和菱形的相关证明，不难证明。所以，教

师在这里可以放手让学生通过分组的形式，自主证明，这样不仅有利于学

生的合作交流，还能让学生多些时间来研究一题多解，开阔了学生的思

路，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。

第四环节：实际应用，范例教学；

活动内容：

1.教师实际问题：

①如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？

②如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？

③如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？

请说明如何操作，并说明这样做的原因。

2.教师给出书中例二，学生进行分析，并解决这个问题，然后互相交流解

法。

例：如图在。/夕口中，对角线和功相较于点。，ZX”。是等边三

角形，AB=4,求£74?切的面积.

教师板书本例题

活动目的：运用刚刚证明的两个定理解决实际问题，进一步发展学生

的推理能力，将课本中的问题拆分成三个问题，发散学生思维，从而能将

平行四边形菱形和矩形联系起来，分析三者之间的区别和联系。在活动2

的证明中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻

体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的

理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。

活动注意事项：在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理

由，同时，还要关注学生的证明过程是否严谨清晰。

第五环节：反馈练习，注重参与

活动内容：

1.已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.

求证：四边形ABCD是矩形.

2.已知：如图，菱形”口中，对角线/C和劭相较于点0,

CM//BD,DM//AC.

活动目的：通过2道练习题进一步巩固矩形的判定定理，提高学生的逻辑

推理能力。

活动注意事项：通过学生的板书，查看存在问题，查漏补缺。鼓励学生一

题多解，注重发散思维培养。

第六环节：课堂小节，作业布置

活动内容：学生互相交流矩形的判定定理，何时选择判定定理，矩形

与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难

时如何克服等。

活动目的：鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收

获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需

要严谨的作风这一点有深刻的认识。

活动注意事项：鼓励学生互相补充，畅所欲言，不要由老师替学生总

结，特别要关注一些在数学学习中有困难的学生，要通过这个环节来给他

们树立信心，同时帮助他们发现困难以便今后更好的解决困难。

作业布置不能一概而论，对于不同层次的学生，要注意提出不同的要

求。课后习题3.4的要求较低，要求学生都能独立完成，对于有能力的同

学，可以提出更高的要求，同时，对于数学学习存在困难的学生，应该要

求他们在课后，把课堂上讲过的题目进行再整理，加深印象。

2.矩形的性质与判定（三）

知识与技能：

①知识目标：能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判

定定理以及其他相关结论；提高实际动手操作能力。

②能力目标：经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能

力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及

计算与证明在解决问题中的作用；

过程与方法：通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨

的科

学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

情感态度价值观：通过课堂的自主探究活动，让学生感受合作学习的

成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学生学习数学的激情，树立

学好数学的信心。

教学过程

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习导入；第二环节：讲授

新课；第三环节：巩固提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作

业。

第一环节复习导入

1.如图1,矩形ABCD的两条对角线相交于点0,已知NA0D=120。，

AB=2.5cm,则NDA0=,AC=cm,.

2.如图2,四边形ABCD是平行四边形，添加一个条

件,可使它成为矩形。

目的：

1、通过两道题目复习矩形的性质和判定，复习旧知识为本节课的进行

热身。

2、学生回答解题时使用的方法，进一步为本节课的开展做铺垫。

第二环讲授新课

例3如图1-14,在矩形ABCD中，AD=6,对角线AC与BD交于点

0,AEXBD,垂足为E,ED=3BE.求AE的长.

图1-14

解：四边形ABCD是矩形,

.•.A0=B0=D0=2BD（矩形的对角线相等且互相平分）.

ZBAD=90°（矩形的四个都是直角）.

VED=3BE,

；.BE=0E.

又：AE±BD,

/.AB=AO.

.•.AB=AO=BO.

即aABO是等边三角形.

/.ZAB0=60°.

NADB=90°-ZAB0=30°.

在RtAAED中，

VZADB=30°,

.•.AE=AD=X6=3.

方法和目的：这里的证明首先可以让学生对矩形的性质和判定有更深

刻的认知，同时，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，

找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能

力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。

通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。

注意事项：九年级的学生在知识的掌握和思维上有一定的差异，教师

可以通过分组合作的形式完成本题的求解；本题的解法不是唯一的，采取

小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，特别是有没有更多的方法来

证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行讲

解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应该关注学生的

思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新的

想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。这样不仅有利

于学生的合作交流，同时还能合理安排课堂时间，让学生把精力投入到对

思想方法的研究上去。

例4如图1—15,在AABC中，AB=AC,AD为NBAC的平分线，AN为

△ABC外角NCAM的平分线，CE1AN,垂足为E.求证：四边形ADCE是矩

形.

E

BC

图1-15

证明：：AD平分NBAC,AN平分NCAM,

NCAD=2/AC,ZCAN=2ZCAM.

NDAE=NCAD+NCAN

=2(NBAC=NCAM)

1

=5X180°

=90°.

在AABC中，

：AB=AC,AD为NBAC的平分线，

/.ADXBC.

/.ZADC=90°.

XVCEXAN,

/.ZCEA=90°.

四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.

注意事项：本题在解决上一题的基础上，运用已有知识解决问题,

进一步发展学生的推理能力，通过证明，让学生体会转化的数学思想。在

例题4的证明中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能

力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分

层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。

第三环节巩固提高

在例题4中，若连接DE,交AC于点F(如图1-16)

(1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.

(2)线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.

D

图1T6

注意事项：本题的综合性比较强，对于不同层次的学生，本题的考虑方

法也会有区别，教师都应该鼓励学生大胆尝试，用自己的方法去试着解

决