北师版九年级上册初中数学全册公开课教案

1.1.1菱形的性质

学习目标

了解菱形的基本性质，掌握其特征.

学习难点

掌握菱形的性质.

教学过程

一、复习

平行四边形有何特征？如何识别一个四边形是平行四边形？

在学生思考、交流的过程中，老师适时进行指导.

二、创设问题情境，导入新知

出示可伸缩的衣帽架实物.

老师在演示的过程中提问：图中的基本图形你熟悉吗？

学生大多回答是平行四边形，让一个同学用尺量出这个平行四边形的邻边的长度（发现邻边

相等这个特性）接着老师告诉学生，这种邻边相等的平行四边形，与一个角是直角的平行四边形

一样也是一种特殊的平行四边形，这是今天我们要研究的课题.

教师板书：菱形.

那究竟什么是菱形呢？

学生在思考、交流中，老师适时地进行指导，把正确的定义板书在黑板上：一组邻边相等的

平行四边形叫做菱形.

这里的“平行四边形”不能写成“四边形”.“一组邻边相等的四边形，不一定是菱形”.这

点务必加以强调.

如果要用四边形下菱形的定义就应该是“四边都相等的四边形是菱形”.

三、学生动手操作

1.画一个△ABC,取BC的中点M,把aABC绕着M,旋转180°后得一个AA'B'C',AA#

B'C'与AABC拼成一个怎样的图形？（平行四边形）那么菱形也可以看作什么样的三角形通

过绕着那一边的中点旋转180，后与原三角形拼成的？

2.画一个等腰AABC,取底边BC中点M,把aABC绕着M旋转180・°后的三角形与原三角形

拼成一个怎样的图形？(菱形)要说明它菱形，就应讲出根据来.•请一个同学说出根据：“它是

邻边相等的平行四边形”.如图所示.

4令”

B

3.观察图，思考：

(1)图中有哪些三角形是等腰三角形？

(2)图中有哪些直角三角形？

在学生交流的基础教师板书：

(1)AABC,Z\A'BC,△ACA，,△ABA，都是等腰三角形.

(2)AACM,△CMA',△ABM,ABMA,都是直角三角形.

让学生想一想后继续操作.

菱形是中心对称图形，这点大家是不会怀疑的，刚才的操作已经说明了这一点，•那么菱形

是不是轴对称图形呢？•大家都知道菱形可以把等腰三角形绕着底边中点旋转180°后所得的三

角形与原三角形拼成的.由于等腰三角形是轴对称图形，•所以我们也可以判断出菱形也是轴对

称图形.

请大家想一想：

(1)直角△ACM,直角△CMA',直角△ABM,直角ABMA'的形状、大小是否相同？

(2)如何用剪刀的办法，得到一个菱形的纸片呢？如图所示.

请大家按如下步骤操作：

(1)将一张矩形纸对折再对折；

(2)用尺在折后的矩形的一角上画一条直线;

(3)用剪刀沿着这条线剪下，打开.你发现这是一个什么样的图形.

(•如果在另一角画直线剪下的是两个等腰三角形要拼起来才可完成上面的四边形，究竟在

哪一角画线，请思考后再动手.)

根据以上的操作与思考，你发现菱形它有哪些性质吗？

教师让学生用语言进行表达出来，用边、角、对角线的顺序来阐明.

教师板书：

菱形性质：

1边)：对边平行、四边都相等.

(角):对角相等.

［对角线)：对角线互相垂直平分，且平分各内角.

由于菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的一切性质，上述的对边平行、对边相等、

对角相等、对角线互相平分，就是平行四边形的性质，而邻边相等、对角线互相垂直，是它与平

行四边形不同的特殊性质.上述的菱形性质是两种性质的总和.

同时菱形还是轴对称图形，它的对称轴有两条，是两条对角线所在的直线，它是中心对称图

形，其对称中心，就是它两条对角线的交点.

四、范例分析，加深理解

例2在菱形ABCD中，BAD=2/B.如图所示.

试说明△ABC是等边三角形.

学生观察图形并对照条件，进行思考、交流.

师生共同分析：

要说明△ABC是等边三角形，可以从以下几条入手:

(1)说明AB=BC二AC;

(2)说明NBAC二NACB=/ABC;

(3)说明AABC中，有两个角都等于60°.

从第一条途径出发：我们知道四边形ABCD是菱形，即可获得AB=BC,•现在只差AB=AC

或BC=AC.

要知道CB=AC,就要说明/ABC二/CAB;

要知道BA二AC,就要说明/ABC=/ACB.

由于AD//BC,即可得到/DAB+/ABC=180",

故3NABC=180°,ZABC=60°.

那么/BAD=120°.

由于菱形对角线平分内角.

故NBAC=60",

即/BAC=/ABC=60°.

刃R么AB=AC.

这样就可以得到4ABC是等边三角形.

从笫二条途径出发：就要从三个角入手，上面分析已得到：ZBAC=ZABC,由于BA=BC,

故/BAC=/BCA.

那么/BAC=ZABC=ZBCA.

这样aABC是等边三角形就可获得说明，从第三条途径出发，•第一条途径分析中已获得了.

解：由于四边形ABCD是菱形，

所以AB=BC,AD//BC.

即/B+/BAD=180°,ZBAC=/BAC.

又/BAD=2/ABC.

所以3/ABC=180°,

即NABC=60°.

因为/BAC+ZBCA+ZABC=180°,

故/BAC+/BCA=120°.

刃卜么2/BAC=120

即NBAC=60°,ZBCA=60°.

因此三角形ABC为等边三角形.

也可以说△ABC是一个角等于60°的等腰三角形，所以AABC为等边三角形.

五、随堂练习，巩固新知

教材随堂练习

六、全课小结，提高认识

1.菱形有哪些特征？它与矩形的特征有何异同点？

2.如何识别一个四边形是菱形？

1.1.2菱形的判定

学习目标

1.经历菱形的判定定理的发现过程。

2.掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”。

3.掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。

4.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力.并根据平行四边形、矩形、菱

形的从属关系，向学生渗透集合思想.

学习难点

菱形的判定定理.

教学过程

㈠、复习引入

1、提问

菱形的定义和性质。

定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形。

性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，

对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角

判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？

定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题）

（二卜创设情境，引入新课

1、合作学习：

学生拿出准备好的长方形纸片，按图的方法对折两次，并沿（3）中的斜线剪开，展开剪下的部

分，猜想这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？为什么？

剪出的图形四条边都相等，根据这个条件首先证它是平行四边形，再证一组邻边相等，依定义即

知为菱形.

结论：菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形（板书）

（三）、交流互动，探求新知

1、已知：如图，在C7ABCD中，BD1AC,。为垂足。

求证：DABCD是菱形

启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等。

证明：:四边形ABCD是平行四边形，

/.AO=CO（平行四边形的对角线互相平分）。

/BD1AC,

/.AD=CD

「.OABCD是菱形（菱形的定义）。

结论：菱形判定定理2:对角线互相叁直的平行四边形是菱形。

2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？

启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等。

结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

3、例2:如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD,BC分别交于点E,F,求

证：四边形AFCE是菱形。

启发：已知对角线互相垂直，还需什么条件就能说明四边形是菱形？

一说明是平行四边形

证明：四边形ABCD是矩形，

・,.AE/FC（矩形的定义）

.•.Z1=Z2

又「/AOEu/COF,AO=CO

/.△AOE^ACOF

/.EO=FO

二.四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

5C/EF1AC

二•四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

（四）、应用新知，巩固练习

1、课本随堂练习

2、思考题：如图，Z\ABC中，/A=90°,/B的平分线交AC于D,AH、DF都垂直于BC,H、

F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。

A

(五)、课堂小结，布置作业

1、本节的主要内容是：

菱形常用的判定方法归纳为(学生讨论归纳后，由教师板书):

1).一组邻边相等的平行四边形.

2).四条边相等的四边形.

3).对角线互相垂直的平行四边形.

4).对角线互相垂直平分的四边形

2、想一想：说明平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系.

1.2.1矩形的性质

学习目标：

(1)掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系；

(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明；

(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力.

学习重难点：

掌握矩形的性质定理，会用性质定理进行有关的计算与证明

学习过程：

一、自主学习：

1、平行四边形活动框架在变化过程中，何时平行四边形的面积最大？这时这个平行四边形的内

角是多少度？

》的评

2、矩形的定’人.中叫做矩形。

3、矩账是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，还具有一般平行四边形不具

有的特殊性质。

特殊性质:

定理1：

定理2:

二合乍探究:

1、与同伴合作证明定理1、定理2.

求证:

明:

2、小明同学在研究矩形的性质时发现，矩形488的对角线AC将矩形分成两个全等的三角形,

在RtZ\ABC中，B。与AC之间存在特殊的大小关系。你知道是什么关系吗？并说明理由。（互相

交流）

归纳：直角三角形斜边上的中

入学以致用:

如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O,ZAOD=120°,AB=2.5,求对角线的长。

三课堂检测：

1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等

C.对角线相等D.对角线互相平分

2.矩形ABCD的两条对角线相交于点O,/AOB=60°,AB=4cm,则矩形的面积是

3.若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（）

A.22B.26C.22或26D.28

4、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,则斜边上的中线等于

5、若矩形的一条对角线与一边的夹隹是40°,则两条对角线相交所成的锐角是

1.2.2矩形的判定

学习目标：

1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；

2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使

学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

学习重难点：能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的数学问题。

学习过程：

一、自主学习：

用几何语言叙述矩形的性质:

边：

角：

对角线：

二究：

【探究一】矩形的判定方法一：

1、根据矩形的定义，你怎样判定一个四边形是矩形？

2、用几何语言叙述:

A

【探究二】矩形的判定方法二:

1、一个四边形至少有几个角是直角对，这个四边形是矩形？说说你的理由。

已知：

AD

求证：四边形ABCD是矩形。

证明：

2^归纳：B

3、用几何语言叙述:

【探:究三】矩形的判定方法三:

1、如图，在6BCD中，AC=BD,则四边形ABCD为矩形吗？请证明。

2、归纳：________________________________________________

3、用几何语言叙述：

三、

0

BC

1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的条件

兔____________________________

2.在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某

合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）

A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角线是否垂直D.测量其内角是否有三个直角

3.已知：如图，的四个内角的平分线分别相交于点石、F、G、H.求证：四边形EFGH

是矩形.

1.3.1正方形的性质与判定（1）

教学目标

知识与技能：

了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理.

过程与方法：

经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说

理的基本方法.

情感态度与价值观：

培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值.

重难点、关键

重点：探索正方形的性质定理.

照点：掌握正方形的性质的应用方法.

关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.

教学准备

教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架.

学生准备：复习平行四边形、矩胖、菱形性质，预习本节课内容.

学法解析

1.认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，•在取得一定的经验的基础

上，认知正方形.

2.知汉线索：

/矩形\

知识线索：平行四边形正方形3.学习方式：采用自导自主学习的

\/

菱形方法解决重点，突破难点.

教学过程

一、合作探究，导入新课

【显示投影片】

显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）.

【活动方略】

教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：

1.同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？•四个角呢？

2.正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？

3.正方形具有哪些性质呢？

学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知：1.•正方形四条边

都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）.

实验活动：教师拿出矩形按左图折叠.然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的

矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90”，

这样的特殊菱形也是正方形.

教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图:

学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有

菱形的一切性质，归纳如下：

正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形性质：

（1）边的性质：对边平行，四条边都相等.

（2）角的性质：四个角都是直角.

(3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角.

(4)对称性：是轴对称图形，有四条对称轴.

【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问，突破难点.

二、实践应用，探究新知

【课堂演练】(投影显示)

演练题1:如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O,MN//AB,•且

分别与OA、OB相交于M、N.

求证：(1)BM=CN;(2)BM1CN.

思路点拨：本是证明BM=CN,根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON

是否全等.(2)在(1)的塞础上完成，欲证BM_LCN.只需证/5+/CMG=90°就可以了.

【活动方略】

教师活动：操作投影仪.组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完

之后，再请两位学生上台演示，交流.

学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问.

证：(1)•二.四边形ABCD是正方形，

/.ZCOB=ZBOM=90°,OC=OBo

,/MN#AB,/.Z1=Z2,ZABO=Z3,

又「/I=・/ABO=45°,/.Z2=Z3:/.OM=ON,

「.△CON@△BOM,.\BM=CN.

(2)由(1)知△BOM・94CON,

.*.Z4=Z5,Z4+ZBMO=90°,

Z5+ZBMC=90°,ZCGM=90°,/.BM1CN.

演练题2:已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE二一AD,F为AB的中点,

4

求证：aCEF是直角三角形.

思路点拨：本要证/EFC=90°,从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解

决问题.这里应用到正方形性质.

【活动方略】

教师活动：用投影仪显示演练2,•组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析，并请同学上

讲台分析思路，板演.

学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题.

证明：设AB=4a,在正方形ABCD中，DC=BC=4a,AF=FB=2a,AE=a,DE=3a.

-.*/B=ZA=ZD=90°,由勾股定理得：

EF2+CF2=(AE2+AF2)+(CB2+BF2)=(a2+4a2)+(16a2+4a2)=25a2,

CE2=CD2+DE2=(4a)2+(3a)2=25a2,

.-.EF24-CF2=CE2.

由勾股定理的逆定理可知4CEF是直角三角形.

【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练，提高学生的应用能力.

三、课堂总结，发展潜能

【问题提出】

正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和

框图表示出来.

1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示）

边角对角线

平行四边形

矩形

菱形

正方形

2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定

平行四边形

矩形

菱形

正方形

1.3.2正方形的性质与判定（2）

教学目标：

1、知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论

证和计算.

2、经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐

步掌握说理的基本方法.

3、理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.

教学重点：掌握正方形的判定条件.

教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.

教学过程：

一、创设问情景，引入新课

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请

填入下图中.

定义依相垂直

四边相等若和_?

对角线互相垂直，平分一

通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特

殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱

形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.

1、怎样判断一个四边形是矩形。

2、怎样判断一个四边形是菱形。

3、怎样判断一个四边形是平行四边形？

4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

议一议：你有什么方法判定一个四边多是正方形？

三个角是直角?

定义

四

形二、讲授新课

_事4A平行四边形—工►正彘

边二个判定定理寸角线f1.探索正方形的判定条件：

学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡

回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析

与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.

(1)直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个

角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；

(2)先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；

(3)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.

后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个

方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形

是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.

上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边

形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体

条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断

2.正方形判定条件的应用

【例1】判断下列命题是真命还是假金题？并说明理由.

(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；

(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；

(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；

(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

师生共析：

(1)是真命，.因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个

角为90°,所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命.

(2)真命题，由.四个角相等可知母个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直下判定这个矩形

是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.

(3)假命，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是

正方形.如下图，满足AO二CO,BO=DO且AC_LBD但四边形ABCD不是正方形.

(4)假命题，它可能是任意四边形.如上图，AC1BD且AC二BD,但四边形ABCD不是正方形.

(5)真命。

方法一：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直

的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.

方法二：对角线平分平行四■透形►

一4菱形I

对角线垂直

]—►正方形

平行四边形

—►矩形

对角线相等

方法三：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱

形又是矩形的四边形就是正方形.

总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命成

立的判定依据，以便灵活应用.

【补充例题】如下图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且/EAF=45°,试说明

EF=BE+DF.

师生共析：要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延

长线上，然后就能证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决.

像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法.

解：将AADF旋转到△ABC,则△ADFZZXABG

/.AF=AG,ZADF=/BAG,DF=BG

■/ZEAF=45°且四边形是正方形，/.ZADF+ZBAE=45°,

ZGAB+ZBAE=45°,即/GAE=45°,/.AAEF^AAEG(SAS),

/.EF二EG=EB+BG=EB+DF。

讨论：你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗？说出你的做法.

你怎么检验它是一个正方形呢？小组讨论一下.

三、随堂练习

教材P24随堂练习

通过练习进一步巩固正方形的判定方去的应用.

四、课时小结

师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方

形判定方法的应用.

书设计:

2.1.1认识一元二次方程（一）

课题2.1.1认识一元二次方程课型新授课

1.要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。通过“未铺地建区域有多宽”，

“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模

教学目标型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2.通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归

纳分析的能力。

教学重点一元二次方程的概念

教学难点如何把实际问题转化为数学方程

本课通过丰富的实例：未铺地卷区域有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学

生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学

学情分析生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的

理解。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现

实世界的一个有效数学模型。

教学后记

教学内容及过程

教师活动学生活动

一、通过实例引入新课

1.在开始新的一个单元的时候，要向学生1.认真听讲，对本单元（一元二次方程）有了

讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好

样可以让学生对本单元的内容做到整体把准备。

握和概览。2.进入良好的学习状态，在教师的引导下顺

2.进人本单元的第一节：认识一元二次方利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了

程？板书课题，明确本节课的中心任务。学生的兴趣；

3.播放“未铺地毯区域有多宽”的课件，3.很有兴趣地观看课件，对“未铺地空区域

说明题目的条件和要求，课件要求制作得有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但

精美并且可以清楚得显示出各个量之间的大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，

关系。新的任务与原来的认知结构发生冲突。

4.给学生时间思考：如何明确并用数学式4.对照图形(示意图)认真思考，找到各个元

子表示出题目中的各个量？素的数量关系。

5.让学生回答他们的答案是什么，给予点5.回答：长为8—2x。宽为5—2x,根据题意

评，让学生核对答案，可以以学生举手示可得方程(8—2x)(5—2x)=18。

意的方式掌握全班的情况。6.正整数是学生最熟悉的内容，五个连续整

6.继续进行下二个问题：板书P31的等式，数的性质引发了学生的兴趣和探究的欲望，受

提出问题：你还能找到其他的五个连续整到前面题目的启发，可能会想到可以通过设未

数，使前三个数的平方和等于后两个数的知数列方程来求解。

平方和吗？8.回答老师的问题；做对的同学举手示意，

8.让学生说出自己的答案，点评，其他学方便老师掌握情况。

生核对自己的答案。可以以学生举手示意9.对于这个问题学生也很感兴趣，有的猜测

的方式掌握全班的情况。可能梯子底端滑动的距离和梯子顶端滑动的

9.简单点评上面两个问题的解答情况，转距离一样，都是1米，但不能充分说明。

入下一个问题。播放“梯子的底端滑动多

少米”的课件，说明题意，课件制作得要10.不知道1米对不对，到底是多少米，产生

求可以清楚看出滑动的线段。了想一探究竟的欲望，为后面的学习做好了心

10.设置悬念：有的同，学猜测是1米，到理准备。按照老师的要求，比较顺利地把填空

底是多少，我们后面来看一看。为后续学题补充完整。

习做好铺垫。11.回答老师的问题，基本正确，做对的同学

11.让学生说出他们的答案，点讦，其他举手示意，方便老师掌握情况。

学生核对自己的答案；可以以学生举手示12.受到老师的表扬和鼓励，自信心及学习的

意的方式掌握全班的情况。兴趣都大增，以很好的状态投入到下面的学习

12.肯定学生的表现：大家自己的探索已中。

经很好地打开了第二章“一元二次方程”1.观察三个方程的特点，但因为问题的指向

的大门，相信同学们这一章会学得很好。性不是很明确，因此有些茫然。2.得到启发，

二、一元二次方程的概念从未知数的个数、未知数的最高次数出发观察

1.板书刚刚得到的三个方程，让学生观察它们的共性，容易看出它们都只有一个未知

它们有什么共同的特点？数，最高次数是2。

2.给学生必要的提示：我们曾经学习了一3.回答：都只含有一个未知数，未知数的最

元一次方程，同学们可以类比着它的要点高次数是2。

来看看这些方程有什么特点。4.继续观察三个方程的特点，容易看出它们

3.让学生用自己的语言回答这三个方程有都是整式方程，把式子展开，经过移项、合并

什么共性。同类项等化成相似形式的式子，经过交流学生

4.肯定学生的回答，让学生继续观察它们认识得更加清楚。

还有没有其他的共性?比如：从整式和分式5.回答：都是整式方程，并且都可以化成一

的角度，展开整理后的形式的角度。可以个二次加一个一次再加一个常数的形式。

让司桌两个进行交流。6.听取老师的点评和说明，进一步理清自己

5.让学生用自己的语言陈述他们的新发的思路。

现。7.认真体会老师的思路，老师是如何总结抽

6.允许学生用自己的语言表述，对学生的象概括的。记下一元二次方程的要点和定义。

回答要善于引导，让学生的认识更清楚。8.认真听讲，掌握一般的一元二次方程的形

7.对学生所说的各个情况进行总结，尤其式和二次项系数不为。的要点，清楚二次项、

注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的一次项、常数项以及二次项和一次项系数的含

要点，给出一元二次方程的要点和定义。义。

8.给出一般的一元二次方程的形式，强调9.顺利指出三个方程的二次项、一次项、常

二次项系数不为0的要点，说明二次项、数项以及二次项、一次项的系数。

一次项、常数项和二次项以及一次项系数10.总结本节内容，记下作业。

的含义。

9.让学生指出三个方程的二次项、一次项

常数项和二次项、一次项的系数。

10.复习总结，布置作业。

板书设计：

一、一元二次方程的概念

_二、例题

三、练习

一元二次方程(二)

课题2.1.2认识一元二次方程(二)课型新授课

1.探索一元二次方程的解或近似解；

教学目标2.培养学生的估算意识和能力；

3.经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力.

教学重点探索一元二次方程的解或近似解.

教学难点培养学生的估算意识和能力.

教学方法分组讨论法

教学后记

教学内容及过程学生活动

一、创设现实情境，引入新课回答下列问题：什么叫一元二次方

前面我们通过实例建立了一元二次方程，并通过程？它的一般形式是什么？一般形

观察归纳出一元二次方程的有关概念，大家回忆式：ax2+bx+c=0(a0)

一下。2、指出下列方程的二次项系数，一

二、教室地面的宽x(m)满足方程次项系数及常数项。

估算教室未铺地建区域的宽(1)2x2—x+l=0(2)—x2+l=0

教室未铺地毯区域的宽x(m),满足方程(8-(3)x2—x=0(4)—^3x2=0

2x)(5—2x)=18,(8—2x)(5—2x；=18,

你能求出X吗？即222-13x十11=0.

(l)x可能小于。吗？说说你的理由；X不可能小注:x>o,

于0,因为X表示区域的宽.度。8—2x>0,

(2)x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？5—2x>0.

(3)完成下表从左至右分别11,4.75,0,—4,—7,-

9

x00.511.522.5区域宽度1米，另，因8—2x比5—2x

(8-2x)(5-2x)多3,将18分解为6X3,8—2x=6,x=l

(4)你知道教室未铺地空区域的宽x(m)是多少(x十6/十72=102,

吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。

即x2十12x-15=0.

三、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程

所以1VxV2.

(X+6)2+72=102

x的整数部分是1,

也就是x?+12x—15=0

所以x的整数部分是1,十分位是1.

(：)小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确

吗？为什么？

X00.511.52

(2)底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m

X2+12-8.5.2

吗？为什么？-15-213

x—15755

(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

所以1<X<1.5

(4)x的整数部分是几？十分位是几？

进一步计算

注意：(1)估算的精度不适过高。［2)计算时提倡

X1.11.21.31.4

使用计算器。

x2+l

四、课堂练习

2x一-0.590.842.293.76

课本P34随堂练习

15

五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数

所以l.l<x<1.2

的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗？

因此x的整数部分是1,十分位是1

五、课时小结

本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次

方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思

想——“夹逼”思想.

六、课后作业

板书设计：

一、教室地面的宽x(m),满足方程(8-

2xX5-2x)=18

二、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程

——

(x■⑹的勺正

三、练习

nnJ、A

2.2用配方法求解一元二次方程

学习内容：配方法

学习目标：

1、会用开方法解形如(x+m产=〃(〃N0)的方程，理解配方法；

2、会用配方法解二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程；

3、体会转化的数学思想方法.

学习重点：

利用配方法解一元二次方程.

学习难点：

把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2=n(n20)的形式.

学习过程：

一、复习旧知，引入新课

1、解下列方程：

(1)X2=4(2)(X+3)2=9

2、什么是完全平方式？

利用公式计算：

1

(1)(x+6)2(2)(x--)2

注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。

3、解方程：(梯子滑动问题)

X2+12X-15=0

目的：以三种不同类型的题目引导学生逐步深入地思考，通过前两个问题，引导学生复习开平方

和完全平方公式，通过后一个问题的回答让学生进一步体会上节课中用估计法解一元二次方程较

麻烦，激发学生的求知欲，为学习后面配方法作好铺垫。

二、探究新知

1、尝试练习:

(1)如果一个正方形的边长增加3cm后，它的面积变为64cm之，则原来的正方形的边长

为o若变化后的面积为48cm2呢？(小组合作交流)

(2)你会解下列一元二次方程吗？(独立练习)

2

x=5;(x+2>=5;x2+i2x+36=0

目的：让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫.

2、填上适当的数，使下列等式成立。(选4个学生口答)

(1)x2+12x十一(x十6)2

(2)x2-12x+—(x—)2

(3)x2+8x+=(x+)2

问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如产+所的式子如何配成完全

平方式？(小组合作交流)

目的：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填

空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一

次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握

配方法解一元二次方程做好充分的准备。

3、例题讲解：

例1：解方程：x2+8x—9=0

分析：先把它变成(x+m)2=n(n>0)的形式再用直接开平方法求解c

解：移项，得：X2+8X=9

配方，得：X2+8X+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方)

即：("4)2=25

开平方，得：x+4=±5

即：x4-4=5,或x+4=—5

所以：xi=l,x2=—9

例2:解决梯子底部滑动问题：x2+12x-15=0(仿照例1,学生独立解决)

解：移项得X2+12X=15,

两边同时加上62得,X24-12X+62=15+36,即（X+6>=51

两边开平方，得x+6=土

所以：再=V51-6,x2=—V51—6，但因为x表示梯子底部滑动的距离所以/=-J钉-6不

合题意舍去。

答：梯子底部滑动了（J灯-6）米。

提出问题：用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？（小组合作交流）

目的：通过对例1和例2的讲解，规电配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配

方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成（x+a）?=〃（〃之0）形式，同时通过例2

提醒学生注意：有的方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的

合理性，对结果进行取舍。由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的。最后

由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么？”引出配方法的定义。

三、课堂练习，巩固提高

用配方法解下列方程：

1.x2-10x+25=7;

2.x2+6x=l.

目的：通过练习，使学生基本都能用配方法解二次项系数为1、一次项系数为偶数的一元二次方

程，加深学生对“用配方法解简单一元二次方程”的理解。

四、课堂小结

这节课我们研究了一元二次方程的解去：

⑴直接开平方法.

⑵配方法.

2.3用公式法求解一元二次方程

教学目标

（一）教学知识点

1.一元二次方程的求根公式的推导；

2.会用求根公式解一元二次方程.

（二）能力训练要求

1.通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；

2.会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.

（三）情感与价值观要求

通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯.

教学重点

一元二次方程的求根公式

教学难点

求根公式的条件：b2-4ac>0

教学方法

话练相结合

教具准备

投影片五张

第一张：复习练习

第二张：试一试

第三张：小亮的推导过程

第四张：求根公式

第五张：例题

教学过程

I.巧设现实情景，引入课题

［师］我们前面学习了一元二次方程的解法.下面来做一练习以巩固其解法.

1.用配方法解方程2X2・7X+3=0.

［生甲］解：2X2-7X+3=0,

73

两边都除以2,得x25-x+］=0.

73

移项，得；X2-2X=-2,

7737

配方，得、2个+（一1）2=・5+（・：）2.

两边分别开平方，得

75

X-4=土1

75_L,

即x-4=4或x-4=4.

］_