全国各地数学中考试题分类汇编17 二次函数的图象和性质2含答案

2010年全国各地数学中考试题分类汇编16

二次函数的图象和性质2

一、选择题

1.（2010福建福州）已知二次函数y=Ax2+Bx+C的图象如图所示，则下列结论正确的是

（）

A.a>0B.c<（）C.b2-4ac<0D.〃+/?+c>0

【答案】D

2.（2010河北）如图5,已知抛物线），=/+6+。的对称轴为尤=2,点4,B均在抛物线

上，且A3与工轴平行，其中点A的坐标为（0,3）,则点B的坐标为

A.(2,3)B.(3,2)

C.(3,3)D.(4,3)

【答案】D

3.（2010山东莱芜）二次函数y-ar2十c的图象如图所示，则一次函数y=的

图象不经过

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

4.（2010年贵州毕节）函数），=ac+/?和>=方2+加+。在同一直角坐标系内的图象大致是

5.（2010年贵州毕节）把抛物线）=r+云+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位,

所得图象的解析式为产/-3x+5,则（)

A.b=3fc=7B.b=6,c=3C.b=-9,c=-5D.b=-9,c=21

【答案】A.

6.（2010湖北荆门）二次函数严加+法+c的图象如图所示，下列结论错误的是

A.ab<0B.ac<0C.当x<2时，函数值随x的增大而增大;

当x>2时，函数值随x的增大而减小D.二次函数广加+反+c的图象

与工轴的交点的横坐标就是方程。/+法+片0的根，

【答案】B

7.(2010湖南株洲)二次函数丁二/-/以+3的图象与大轴的交点如图所示，根据图中信

息可得到m的值是.

【答案】4

8.(2010四川成都)把抛物线y=f向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为()

(A)y=x2+1(B)y=(x+l)2

(C)y=X1-l(D)y=(x-l)2

【答案】D

9.（2010山东潍坊）已知函数与函数》=一；工+3的图象大致如图，若》<），2，则自

33

C.-2<x<-D.xV-2或1〉一

22

【答案】C

10.（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x,x）记，函数y=2x+l的图象用E（x,

2x+l）记，……则E（x,/一2工+1）可以由E（x,小）怎样平移得到？

A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位

C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位

【答案】D

二、填空题

1.（2010湖南株洲）己知二次函数y=（x-2a『+（〃-l）为常数），当。取不同的值

时，其图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当4=-1,4=0，4=1,。=2时二次函数

的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=.

【答案】lx-1

2.（2010湖南郴州）将抛物线+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是

【答案】yr*12-1

三、解答题

1fQ>

1.（2010江苏泰州）如图，二次函数），=一一/+c的图象经过点D-V3,-,与工轴交

2\2>

于A、B两点.

⑴求c•的值；

⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线4c将四边形A3CO的面

积二等分，试证明线段被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；

⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、

。，使△AQPgZXABP?如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由.（图

②供选用）

图②

【答案】⑴・・,抛物线经过点。(一6,2)

2

A--X(-V3)2+C=-

22

/.c=6.

⑵过点力、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F,设AC与交点为M,

••・AC将四边形ABC。的面积二等分，即：SAAB^ADC：.DE=BF

又,:ZDME=ZBMF,ZDEM=ZBFE

:•△DEM/ABFM

:・DM=BM即AC平分8。

,•*c—6.,••抛物线为y=——x2+6

・・・A(-273,0)>B(2V3,0)

G9

・・・M是5。的中点AM

24

设AC的解析式为广履+分，经过A、M点、

36

-2标+/?=0；k=-----

10

逝9解得＜

——k+h=—

24

5

3739

直线AC的解析式为y=--------X4-----.

105

⑶存在.设抛物线顶点为M0,6),在RtzMQN中，易得AN=4有，于是以A点为圆心，AB=4g

为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q,连接AQ,再作N04B平分线AP交抛物线于P,

连接8P、PQ,此时由“边角边"易得"QPgAABP.

2.(201()福建福州)如图，在AABC中，ZC=45°,BC=1(),高40=8,矩形EFPQ的一

边QP在BC边上,E、/两点分别在A8、AC上，A。交E尸于点”.

AH=EF

(1)求证:~AD~~RC;

(2)设EF=x,当“为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；

(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形臼子。以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速

运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为/秒，矩形臼小。与△ABC重叠部分的面

积为S,求S与，的函数关系式.

【答案】解：(1)•・•四边形以了。是矩形，・•.EF//QP.

・•・/\AEF^/\ABC.

XVADA.BC,:.AHA.EF.

・AHEF

•*AD=^C

AUvA

(2)由(1)得管AH=*.

oiuJ

4

・•・EQ=HD=AD-AH=8一交

444

/.S矩形EFPQME/7•EQ=x(8—gx)=-5/+8x=—5(x—5)2+20.

4

・・・・・当时，矩形"PQ有最大值，最大值为

.-^J<0,x=5S2().

(3)如图I,由(2)得Er=5,EQ=4.

・•・ZC=45°,・•・是等腰直角三角形.

・•・PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9.

分三种情况讨论：

①如图2.当0W/V4时，

设ERPF分别交AC于点M、N,则△MFN是等腰直角三角形.・•.FN=MF=t.

:・S=S矩形EQQ—SRSM卬=20—52=—1/2+20；

②如图3,当4Wf<5时,则ME=5—f,QC=9-t.

・・・S=S梯形EMCO=M(5一八+(9-r)]X4=—4：+28；

③如图4,当5W/W9时，设EQ交AC于点K,则Kg0C=9一九

•*-S=SziK°c=1(9—r)2=1(r-9)2.

4

第21题图2第21题图3第21题图4

综上所述:S与/的函数关系式为:

--r+200<r<4),

2

S=<-4t-28(4<r<5),

2

1(/-9)(5</<9).

3.(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中，点〃在直线y=2x上，过点〃作尤轴的

垂线，垂足为A，OA=5.若抛物线y=*+/?x+c过。、A两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若A点关于直线)=2x的对称点为C,判断点。是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)如图2,在(2)的条件下，G)Oi是以3c为直径的圆.过原点。作。。的切线OP,

P为切点(点P与点C不重合).抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与。01相切?

若存在，求出点。的横坐标；若不存在，请说明理由.

(2)点C在该抛物线上.

理由：过点。作CO_Lx轴于点。，连结OC,设AC交05于点E.

,/点8在直线)，=2x上，IB(5,10)

・・•点A、。关于直线y=2x对称，

・•・OBLAC,CE=AE,BCJ_OC,OC=OA=5,BC=BA=]0.

又•・,轴，由勾股定理得。8=5小.

SRL^OAB=^AE•OB=^OAAB,

乙乙

・•・AE=2小，・•・AC=4小.

■:ZOBA+ZCAB=9(J°,NCAD+NCAB=90°,/.ZCAD=ZOBA.

又丁ZCDA=ZOAB=90°,/./\CDA^/\OAB.

・CDADAC.

••~OA=~AB=~OB••C£>=4,AO=8C(-3,4)

当x=-3时,y=7X9—1x(-3)=4.

5

-X上

，点c在抛物线y=7^6

(3)抛物线上存在点。使得以PQ为直径的圆与。O1相切.

过点产作PELx轴于点F,连结01P,过点。|作轴于点儿

・•・CD//O\H//BA.1C(-3,4),3(5,10),

・•・Oi是3c的中点.・•・由平行线分线段成比例定理得AH=O"=夕0=4,

・・・OH=OA-AH=\.同理可得O|H=7.・,•点。的坐标为(1,7).

'/BCA.OC,：.OC为。Oi的切线.

又〈OP为。Oi的切线,・•・0C=0P=0]C=0]P=5.

：.四边形OPOC为正方形.・•.NCOP=90°.・•.NPOF=/OCD.

又V/PFD=/ODC=90°，:.W'

设直线O\P的解析式为y="+8(原()).

把01(1,7)、尸(4,3)分别代人尸"+8,

一

k+b=Q,3

得4解得彳

4k+b=3.,25

b=­•

3

425

直线OiP的解析式为y=—1X+天.

若以PQ为直径的圆与G)Oi相切，则点Q为直线。产与抛物

415

2-

铲+-2-5n-6

线的交点，可设点。的坐标为(〃?，〃)，则有〃=T6,??

=7/W2—TA/.整理得加2+3机一5()=(),

解得机=错误！

・••点。的横坐标为错误!或错误!.

4.（2010江苏无锡）如图，矩形力筋的顶点力、8的坐标分别为（-4,0）和（2,0）,叱26.设

直线4c与直线产4交于点£

（1）求以直线产4为对称轴，且过。与原点。的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一

定过点E\

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为A；V是该抛物线上位于C、/V,之间的一动

点，求/C协V面积的最大值.

【答案】解：（1）点。的坐标（2,2g）.设抛物线的函数关系式为y-a（x-4）2+tn,

16a+机=0J3

4a+m=2v363

，所求抛物线的函数关系式为》=-且（X-4『+她

63

-4k+b=0,解得2=正,力=友

设直线力。的函数关系式为），=尿+b,则

2k+b=2\[333

・•・直线/C的函数关系式为y=YL+九5,・・・点E的坐标为（4,

33

把尸4代入①式，得＞=一正（4-4）2+迪=空，，此抛物线过E点.

633

（2）（1）中抛物线与力轴的另一个交点为N（8,0）,设材（必y）,过"作..盼J_x轴

于Gy则S&NS&KG+S梯形W—SAC«N=—(8—x)丁4—(y+-2)—x(8—2)x2\/3

222

3y+V3x-8V3=3(--?+^^x)+V3x-8V3=--/+5\[ix-Sy/i

632

22

当A=5时，SzXOA有最大值——■

2

5.（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y=—,d+x+3与x轴交于点A、B,与y轴

4

相交于点C,顶点为点O,对称轴/与直线8c相交于点£,与x轴交于点色

（1）求直线NC的解析式；

（2）设点尸为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作。凡

①当点尸运动到点〃时，若G）P与直线相交，求〃的取值范围；

4x/5

②若尸士,是否存在点〃使。P与直线8c相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在,

5

请说明理由.

bAac—b2

提示：抛物线）=依2+法+以。工0）的顶点坐标,对称轴％=—2

、2〃’4。)2a

【答案】解（1）令）=0,求得A点坐标为（-2,0）,B点坐标为（6,0）；

令x=0,求得。点的坐标为（0,3）

6Z+b=01

设3C直线为丫=履+江把从。点的坐标代入得：解得攵=--，b=3

b=32

故3c的解析式为：产-;x+3

（2）①过点。（2,4）作〃G/8C于点G,因为抛物线的对称轴是直线产2,所以点£的

坐标为（2,2）,所以有所'=2,FB=4,EB=2y^,DE=2,从图中可.知，RtDEGRtBEF,

解得〃G=勺但故当r>士无，点，运动到点〃时，。户与直线8C

所以有:

55

相交

②由①知，直线BC上方的点〃符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y=-lx

2

12o

y——x+x+3

+〃，把点D的坐标代入，求得«=5,所以联立：I4解得两点（2,4）

y=--x+5

I2

为D点，（4,3）也符合条件。

设在直线6。下方到直线灰的距离为^的直线龙与x轴交于点机过点秋作MNLBC千

点M所以赵性士也，又tan/NBM="~=—所以NAe①，BM=4,所以点"与点尸

50B25

重合。设直线ni为厂-,x+b把点/的坐标，代入得：0=-'x2+b得6=1,所以直线

22

m的解析式为：y=--x+1

2

）,=二八"

联立方程组：\4解得：X=3±J17

所以适合要求的点还有两点即(3-717,士近)与(3+J万，土典)

22

4^5

故当厂、一,存在点〃使。尸与直线相切，符合条件的点尸有四个，即是0(2,4),

5

-1+V17(3+如，%叵)的坐标.

(4,3)和(3-#7,)9

2

6.(2010年上海)如图8,已知平面直角坐标系xOy,抛物线)，=一/+以+c过点A(4,0)、

B(l,3).

(I)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;

(2)记该抛物线的对称轴为直线1,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线1的对

称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若

四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.

4

小y3

4-

2

3-

2-1

1-

O1~2~~3-4*

图8

【答案】解：(1)抛物线y=—云+c过点

f-16+4/?+c=0f/?=4

A(4,0)B(l,3).

-l+Z?+c=3c=0'

y=-x24-4x,y=-(x-2)2+4,对

称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,4)

(2)・・,直线EP〃OA,E与P两点关于直线元=2对称，・・・0E=AP,・••梯形OEPA为等

腰梯形,

・•・N0EP=NAPE,・・'0E=0F,工Z0EP=ZAFE,AN0FP=NAPE,・・.OF〃AP,

，四边形OAPF为平行四边形，・・•四边形OAPF的面积为20,・・・4("/-4附=20,

•・〃％=—1(舍1)〃力=5,••/2=-5.

7.(201()重庆恭江县)已知抛物线y=o?+bx+c(〃>())的图象经过点8(12,0)和C(0,

-6),对称轴为x=2.

(I)求该抛物线的解析式；

(2)点。在线段上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速

度匀速运动，同时另一动点。以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时

刻，使线段PQ被直线CO垂直平分？若存在，请求出此时的时间f(秒)和点。的运动速度;

若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的结论下，直线x=l上是否存在点M使，△MP。为等腰三角形？若存在，请

求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)方法一：:抛物线过点C(0,-6)

c=-6,即y=ax1+bx~6

1-2=21i

由《2a'解得：G--,b--

164

[144。+12匕-6=0

・・・该抛物线的解析式为)，=，d一_1工一6

-164

方法二：・・.48关于x=2友称

・•"(一8,0)设y=a(x+8)(x-12)

1

C在抛物线上，・・・-6=aX8X(T2),即。=一

16

该抛物线解析式为：y=-x2--x-6

164

(2)存在，设直线CO垂直平分尸0,

在RtZ\AOC中，AC=ylS2+62=\0=AD

・,•点。在抛物线的对称轴上，连结。。，如图:

显然NPDC=NQDC,

由已知NPZ）C=ZACD

：.ZQDC=ZACD,：.DQ//AC

DB=AB-AD=20-\0=\0

.♦.DQ为△ABC的中位线

：.DQ=^AC=5

AP=AD-PD=AD~DQ=10-5=5

••"=5+1=5（秒）

・•・存在/=5（秒）时，线段PQ被直线CO垂直平分

在RtZ\BOC中，BC=府+122=6方

：.CQ=3sf5

・••点。的运动速度为每秒9百单位长度.

(3)存在.如图，

过点。作QH_Lx轴于”，则QH=3,PH=9

在RtaPQ”中，@+3?=3痴

①当MP=MQ,即M为顶点，

设直线CQ的直线方程为y=br+h(ZWO),则:

氏田解得:k=3

b=-6

••y—3x-6

当工=1时，y=-3

・・・Mi(L-3)

②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点，

设直线工=1上存在点M(1,y),由勾股定理得:

42+)2=90,即y=±774

：.M2（1，凡）；M3（1,一旧）

③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.

过点。作QE_L），轴于E,交直线x=l于凡则尸（1,-3）

设直线工=1存在点M（1,），）由勾股定理得：

（y+3）2+52=90,即产一3士病

MA（1，—3+A/65）；A/5（1>—3—y/65）

综上所述，存在这样的五个点：Mi（l,—3）；M2（1,，五）；M3（1，-74）;M4（1,-

34-765）；M5（1,-3->/65）

8.（2010山东临沂）如图，二次函数>=/+办+人的图象与％轴交于A（_g,o）,以2,0）两

点，且与），轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断A48C的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、。、3四点为顶点的四边形是等腰梯形，

请直接写出。点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若

【答案】解：根据题意，将A（--,0）,B（2,0）代入y=-x?+ax+b中,

2

~—a+h=O,

得「a2

-4+2o+b=0.

_3

解这个方程，得

h=\.

3

所以抛物线的解析式为y=-x24--x+1.

2

当x=0时、y=l.所以点C的坐标为（0,1）。

所以在△AOC中，AC=yjo^^OC-=.

在ABOC中，BC=yJOB2+OC2=45.

1c5

AB=OA+OB=-+2=-.

22

i25

因为AC2+BC2=-+2=—=A52.

44

所以4ABC是直角三角形。

（2）点D的坐标是（1,1.

V

（3）存在。一

由（1）知，AC±BC,

①若以BC为底边，则BC〃幽如图（1）所示，可求得

直线BC的解析式为

V=--X+1.

2

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直

线AP的解析式为y=-gi+。，

将A（--,0）代入直线AP的解析式求得b=-所以

24

图1

直线AP的解析式为），=

24

311

因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-X2+-X+1=--X--.

224

解得玉=|%=—g（不合题意，舍去）.

53

当x=一时，y=----.

22

52

所以点P的坐标为（一，一二）.

22

②若以AC为底边，贝UBP〃AC,如图（2）所示，可求得

直线AC的解析式为

y=2x+l.

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直

线BP的解析式为y=2x4-/?,

将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线

BP的解析式为y=2x-4.

因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的

纵坐标相等，即-X2+』X+1=2X-4

2

图2

解得内二一^,工2二2（不合题意，舍去）.

当x=-|•时，y=-9.

所以点P的坐标为（--,-9）.

2

535

综上所述，满足题目的点P的坐标为（一，-一）或（・一，・9）

222

.9.（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰用△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,

点。为坐标原点，点、C、4分别在X、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点4、C及点8（-3,

0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是线段8C上一动点，过点。作A8的平行线交AC于点E,连接AP,当

△APE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGO的面积与（2）中aAPE的最

大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)由题意知：A(0,6),C(6,0),

设经过点A、B、C的抛物线解析式为产ax?+bx+c

6=c

则；＜0=9。一3b+c

J0=36ci+6b+c

1

a——

3

解得：\b=\

c=6

・,・该抛物线的解析式为y=/+x+6

(2)如图：设点P(x,0),

VPE/7AB,.,.△CPE^AABC,

・,^ACPE_(6\2

^△ABCBC

又,*,SAABC=—BCX0A-27

2

・S^CPE=(6・X2

27~9~

2

：.SACPE=(6^21=1X-4X+12

S%BP」BPX0A=3X+9

2

设AAPE的面积为S

1),1,3、227

则S=SAABC-SAABP—SACPE=一+工+6=一§。一万)+—

327

当*二一时，S最大值为—

24

3

・••点P的坐标为（-，（））

2

（3）假设存在点G（x,y）,使aAGC的面积与（2）中4APE的最大面积相等.

27

在（2）中，4APE的最大面积为一，过点G做GF垂直y轴与点F.

4

①当y>6B寸，SAAGC二S梯形GFOC-SAGFA—SAAOC=~（x+6）y——x（y-6）——X6X6

444

=3x+3y-18

27

即3x+3yT8二—»

4

1、

又•・•点G在抛物线上，），=一一JT+x+6,

3

[27

.•.3x+3（-+x+6）-18=

93915327

解得：x,=-,x2=-,当x=2时，y=—,当x=±时，y=—.

222424

点G的坐标为

②当yV6时，如图：

SAAGC=SAGAF+S梯形GFOC-SAAOC=-x(6—y)+—>'(x+6)-18=3x+3y-18

22

27

即3x+3yT8二—，

4

1,

又•・•点G在抛物线上，)，二一一jr+x+6,

3

1、

・，・3x+3(-gX"+x+6)-18二工-

解得：％='9/=3二，当x=9二时，y=1—5,当x=3二时，y=2—7.

222424

915

又因为yV6,所以点G的坐标为（一，—）

24

综和①②所述，点G的坐标为（工3，,27）和,915、

2424

（3）解法2：可以向x轴作垂线，构成了如此下图的图形:

贝U阴影部分的面积等于SAAGC-SAGCE+S梯形AGFO—SAAOC

下面的求解过程略.这样作可以避免了分类讨论.

10.（2010江苏连云港）（本题满分8分）已知反比例函数的图象与二次函数），=〃2

+1的图象相交于点（2,2）

（1）求。和攵的值；

（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？

【答案】

《1》闪为二次鼎收与反比例顺我y-，交于点(2・2)・

所以2,4“+2・1・X之得<!■；....................................................................2分

2・亨•所以34・...................................................................................................4分

《2》反比例畸败的图象经过二次雨敷图象的U点............................5分

由《】〉知.二次嫉口如反比例随数的关系式分别是和•

因为y・：，+>£-1・1(/+4JT-4)>■+《Jr1+4x+4-8)

・"a+z/TlTa+z)—.6分

所以二次函数图象的演点坐标墨《一2・一2),.........................................................7分

g为,--2时.¥・，2・一2・所以反比例卡败困象也过二次随数图象的01点・……

11.(2010黄冈)(15分)己知抛物线y二公？+Z?X+C(Qw0)顶点为C(1,1)且过原点

O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=*作垂线，垂足为M,连FM(如图).

4

(I)求字母a,b,c的值；

(2)在直线x=l上有一点F(1,3),求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证

4

明此时4PFM为正三角形；

(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立，若存在请求

出I值，若不存在请说明理由.

【答案】(1)a=-1,b=2：c=0

(2)过P作直线x=l的垂线，可求P的纵坐标为,，横坐标为1+,道.此时，MP=MF

42

=PF=1,故AMPF为正三角形.

(3)不存在.因为当IV),xVl时，PM与PN不可能相等，同理，当x>l时，

44

PM与PN不可能相等.

12.(2010山东省德州)(己知二次函数〉二0？+Z?JI+C的图象经过点A(3,0),8(2,-3),

C(0,-3).

⑴求此函数的解析式及图象的对称轴;

(2)点。从8点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段8c向C'点运动，点。从。点出发以相同

的速度沿线段04向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动•设运动时

间为/秒.

①当/为何值时，四边形A5PQ为等腰梯形；

②设P。与对称轴的交点为M,过M点作_

X

x轴的平行线交于点M设四边形ANPQ

的面积为S,求面积S关于时间，的函数解析式,

并指出/的取值范围；当，为何值时，

S有最大值或最小值.

解得：a=\,b=-2.

/.y=x2-2x-3.

配方得：y=a—1)2-4,所以对称轴为x=l.

(2)由题意可知:BP=OQ=OAt.

•・•点B,点C的纵坐标相等，

：.BC//OA.

过点&点P作BD_LQ4,PEA.OA,垂足分别为。，E.

要使四边形A8PQ为等腰梯形，只需PQ=AB.

即QE=AD=].

又Q£=OE—OQ=(2-0.⑺-0.1r=2-0.23

A2-0.2/=1.

解得z=5.

即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形.

②设对称轴与BC,x轴的交点分别为EG.

・・•对称轴x=\是线段BC的垂直平分线，

：.BF=CF=OG=\.

又，：BP=OQ,

:・PF=QG.

又•：/PMF=/QMG,

:,MF=MG.

・••点M为PG的中点

,,S二S四边形A3PQ-SgPN，

二S四边形ABPG-SgpN♦

由S四亚=7（BF+AG）FG=—.

S>&BPN=-2BP,—2FG=—40

3

而

又802,。4=3,

・••点P运动到点C时停止运动，需要20秒.

A0</<20.

・•・当•当秒时,面积S有最小值3.

13.(2010山东莱芜)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y+hr+c交x轴于

42,0),8(6,0)两点，交)，轴于点。(0,2退).

(I)求此抛物线的解析式；

(2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点。，作。。与x轴相切，。。交y轴于点E、

尸两点，求劣弧”的长；

(3)P为此抛物项在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G,试确定P点的位

置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分.

(第24题图)

【答案】解：(1)・・,抛物线)，=。幺+〃龙+。经过点42,0),8(6,0),。(0,2百).

4。+2/?+c=06

<3&z+6Z?+。=0，解得力」行

3

c=2^/3

c=2百

2

・♦・抛物线的解析式为:y=-x-—43x+2y/3.

“63

(2)易知抛物线的对称轴是x=4.把，4代入y=2x得y=8,・,•点。的坐标为(4,8).V©

。与x轴相切，・・・。。的半径为8.

连结OE、DF,作。M_Ly轴，垂足为点M.

在RtZ\MFO中，FD=8,MD=4.AcosZMDF=-.

2

/.ZA/DF=60°,/.Z££>F=120°.

—12016

劣弧EF的长为：---x兀x8=—兀.

1803

(3)设直线AC的解析式为产"+A•・•直线AC经过点A(2,0),C(0,2A/3).

2k+b=0[k=—V3

L，解得/L.・•・直线AC的解析式为:y=-\[3x+2V3.

b=2C,=26

设点P(m,y/3m+26)(加<0),PG交直线AC于N,

63

则点N坐标为+273).VS居照：SAGVA=PN:GN.

3

・•・①若PN:GN=\：2,则PG:GN=3:2,PG=-GN.

2

即-in2--V3m+273=-(-+273).

632

解得：，川二一3,"22=2(舍去).当小二一3B寸，in2-—V3//1+2A/3=—V3.

632

・・・比时点尸的坐标为(—3,y73).......................10分

②若PN:GN=2：1,则PG：GN=3：1,PG=3GN.

即—m2--6m+2V3=3(-0n+273).

63

-m2--V3m+2V3=42V3.

解得：町=-12,m2=2（舍去）.当町二一12时,

63

・・・比时点P的坐标为（-12,4273）.

综上所述，当点P坐标为（-3,9百）或（一12426）时，

△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分.

14.（2010广东珠海）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（0为原点），点A、C分别在

x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在0C边上），使C点落在0A

边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.

⑴直接写出NABE、NCBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；

⑵过F点作FGJ_x轴，垂足为G,FG的中点为H,若弛物线y=ar2+Z?x+。经过B、IkD

三点，求抛物线的函数解析式；

（3）若点P是矩形内部的点，旦点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作

PM_LBC分别交BC和BD于点N、M,设h=PM-MN,试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并

画出该函数的简图，分别写出使PM<NM、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范围。

【答案】解：(1)ZABE=ZCBD=30°

在AABE中，AB=6

ARL

BC=BE=------------=4V3

cos30°

CD=BCtan30°=4

/.0D=0C-CD=2

・•・B(473,6)D(0,2)

设BD所在直线的函数解析式是尸kx+b

46k+b=6

3

b=2L/?=2

所以BD所在直线的函数解析式是y=^-x+2

(2)VEF=EA=ABtan30°=273ZFEG=180°-ZFEB-ZAEB=60°

XVFGXOA

AFG=EFsin60°=3GE=EFcos600二6O