高中数学规则型问题的解答策略

［正文］

定义：规则型问题，是指在题设中只提供了变量所遵循的抽象的规则而没有

提供具体解析式的问题，如抽象函数问题，抽象不等式问题，抽象数列问题，以

及新信息题等都属于这类问题，其出题形式则大、小题都可能。由于这类问题能

够较好地考查学生的各种数学能力和学习潜力，因此在近年的高考卷中以及高考

模拟卷中频频出现，成为考生的一只拦路虎。

规则型问题具有抽象性、概括性以及情境陌生性的特点，因此学生对此类问

题难免产生“空对空”的无处下手的感觉。不过，一物降一物，如果对规则型问

题的共同特点进行深入研究，找到它的''命门”，就会发现这类问题并不可怕。

下面分类举例说明。

一、抽象函数型问题

抽象函数问题，不给出解析式，只给出函数的解析式/(X)所满足的一些条件,

要求解题者解决问题。在这里，解析式是抽象的，而解析式/所满足的一些

条件这个规则是具体的，解题者的做法就是充分地利用这个规则，通过对解析式

进行繁衍、变形、赋值等技术手段得到答案。

【例题1］(2008,四川非延考区，9)函数/(x)满足/(x>/(x+2)=13,若

/⑴=2,则/(99)=()

132

A.13B.2C.一D.

2

【解析1由规则/(x)•/(x+2)=13,有/(x+2)•/(X+4)=13,f(x)=/(x+4),

，/(x)的周期T=4。Z./(99)=/(4x24+3)=/(3),再由规则

1313

〃x)"(x+2)=13赋值，令x=l得/(1)"(1+2)=13,.•."3)=5,即/(99)=彳.

选C。

【例题2】(2008陕西，11)定义在R上的函数/(%)满足

/(x+y)=,f(x)+/(y)+2冲⑴=2,则/(—2)等于()

A.2B.3C.6D.9

【解析】：这里主要的规则是/(x+y)=/(x)+/(y)+2q,赋值，令x=y=0得/(0)=0,

又赋值，4x=-l,j=K#/(l-l)=/(l)+/(-l)+2x1x(-1),/(-1)=0；再赋

值，令x=y=—1,得/(一2)=2,选A。

【例题3】(2001全国高考)设/(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=l

对称。对任意冷X260,1,都有/(芯+%2)=/(西)・/缶)，且/⑴=2。

8求佃，咽，

⑵证明/(尤)是周期函数。

【解析】：⑴•.,对任意石,光2e0,；,都有/(玉+々)=/(%)・/(%2)，

・•.对于任意问0,1］都有於)=呜+升/部［升佃>0o

故令x=l得/(1)

又令V得吗卜［，削S"外痣。

⑵证明：•..函数/(X)的图象关于直线尤=1对称，•♦./(l+x)=/(l—x),以X—1代

替X,得〃力=〃2-切；再以T代替X,得/(T)=〃X+2)。又因为/(x)是

定义在R上的偶函数，x)=/(x),.,./(x+2)=/(x)。

因此/(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期。

【例题4】设/(x)满足f(x)-2fx,求/(x)的解析式。

【解析】：既然/⑶在定义域内满足规则/(X)-2/(口=*……①，因此将x换成;

仍然成立，得/(£|一2/(同=^……②，联立①②消去/(£|,解得

二、抽象不等式型问题

抽象不等式，不给出具体的不等式，只给出这个不等式所满足的一些条件，

要求你解决问题。在这里，不等式是抽象的，而不等式所满足的一些条件这个规

则是具体的，你的做法就是充分地利用这个规则，通过对不等式所满足的一些条

件进行利用，通常是利用变形、赋值等技术手段得到答案。

【例题5】(2008,山东实验中学)若函数/(x)是定义在(0,+oo)上的增函数,

且对一切满足/(肛)=/(x)+/(y)，则不等式的解集为

/(X+6)+/(X)Y2/(4)()

A.(-8,2)B.(2,-H»)C.(0,2)D.[2,+oo)

【解析】：由已知/(x+6)+/(x)=[(x+6>W=/(d+6x)Y2/(4)=/(16),又/(x)

是定义在(0,+oo)上的增函数，

x2+6xY16

.*.<x+6>0=0Y尤Y2,选C。

X>0

【例题6](2007天津)设函数/(幻是定义在(-oo,3]上的减函数，已知不等式

f(cr-sinx)</(a+l+cos?x)对xeR恒成立，求实数”的取值范围。

【解析工由已知得下列不等式组对xeR恒成立，

a2-sinx<3,(1)

<(a+l+cos2x<3,(2)

a2-sinx>a+l+cos2x(3)

由（1）得。243+$111》=>一夜三04血；由（3）^a<2-cos2x^>a<\\

由（2）^a2-a>l+sinx+cos2x=-sin2x+sinx+2=-sinj;——+一,

I2）4

a2-a>—=>4a2-4a-9>0=>«>或者a<-^

422

(1)、(2)、(3)取交集得ae—6；J。

三、抽象数列型问题

所谓抽象数列，其实主要是指递推数列，题目只告诉你递推关系式，要求你

得出通项公式。其实数列本来就是特殊的函数，递推公式就相当于抽象函数问题

里面的/(x)与/(y)所满足的条件关系式。只不过在这里，通项公式是抽象的，

而递推关系式这个规则是具体的，你的做法就是利用递推关系式这个规则，通过

递推、构造、累乘、累加、赋值等技术手段得到答案。这里仅举两个例子，更多

内容建议建议参看有关利用递推关系式求数列的通项公式的专题。

【例题7】(2008全国一19).在数列｛q｝中，6=1,6用=2%+2".

(1)设％=券。证明：数列也｝是等差数列；(H)略。

【解析](1)•."用=2凡+2",.•.黄=含+1，即％=为+1,

则也｝为等差数列，4=1,b„=n,。“=〃2"-二

【例题8】设数列｛%｝是首项为1的正项数歹力且5+1)//—也“2+。用%=0

(n=l,2,3…),则它的通项公式是%=______(2000年全国高考15题).

[解析1：原递推式可化为：[("+l)a„+,-nan](a„+l+a,)=0

则"=]_,&=2,幺=3an_n-\

,•>%+|+%>0,

%〃+1%2a2324an-\〃

逐项相乘得："=即%=▲.

a｝nn

在这里，我们先把条件式(〃+1)为/一〃62=0通过因式分解进行化

简，得到4"=/一，它就是本题的主要规则了。由它而得到的一系列式子，都

%〃+1

是利用这个规则进行赋值的结果。

四、新信息型问题

新信息题又叫新定义题，其特点是：提供一个新的定义或者新的逻辑运算关

系或者新的算法流程给解答者，要求解答者现场学习现场运用，意在考核学生的

知识迁移能力和继续升造学习的潜力。新的定义或者新的逻辑关系运算或者新的

运算流程其实就是一个新的规则，解答者的任务就是现场领会这个规则并且利用

其当场解决问题。

【例题9】(2008,湖南文，15)设国表示不超过x的最大整数(如

[2]=2,目=1)。对于给定的〃eN*，定义第="(L)二(“二!0”[1,+8),则

L」|_4」"x(x-l)...(x-[x]+l)L'

3

cl=；当x42,3)时，函数C；的值域是。

【解析】：这是一道具有“把关”作用的小题，问题里面有两个新规则需要解题

者学习理解，一个是[x]的意义，另一个是C；的意义，接下来只要按照这个规则

去操作就行了。

由题意[目=1，所以C：=gg。xe[2,3）,二[%]=2,

2

x-g)-;e[2,6),二C；e1g,28

【例题10]（2006广东，10）对任意的两个实数对（见。）和（c,d）,规定:

(a,〃)=(c,d)当且仅当a=c,b=d；运算“③”为：

(a,b)®(c,d)=(ac—bd,be+ad),运算"㊉"为:(a,6)㊉(c,d)=(a+c,b+d)。

设p,geR,若(1,2)额〃闯)=(5,0),那么(1,2)㊉(p,q)等于()

A.(0,-4)B.(0,2)C.(4,0)D.(2,0)

p-2q=5,P=l，

【解析】：♦.•(l,2)(8)(p,q)=(5,0)=(p-2d2p+q),

2〃+q=0,q=-2.

(1,2)㊉(p,q)=(1+p,2+q)=(2,0)，选D。

【例题11】（2008年福建，理16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对

任意都有0+。,。一。,",2€2,除数（匕。0）,

b

则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域；数集

F={a+b&也是数域。有下列命题：

①整数集是数域；②若有理数集QeM,则数集

M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个

数域。

其中正确命题的序号是o（把你认

为正确命题的序号都填上）

【解析】：这道题目所占据的位置为填空题最后一

题，其意义在于“把关”，起到一个区分考生层次的

作用。虽然数域属于高等数学内容，对于高中生来

讲是个新概念，但是只要认真阅读，理解其意义，

按题目提供的规则去分析，则不难解决一

①对除法如工定Z不满足，所以排除，

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