高中数学第七章复数

f.第田章复数

DIQIZHANG7.2复数的四则运算

IB7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

E3IWE3S30(教师独具内容)

课程标准：1.掌握复数代数表达式的加、减运算法则.2.了解复数代数表达式的加、减运算的几何意义.

教学重点：复数代数表达式的加、减运算.

教学难点：复数加、减运算的几何意义以及应用.

核心概念掌握

◎

--知位导学---------------

知识点一复数的加法与减法

(1)复数的加减法运算法则

(a+Z?i)±(c+Ji)=1^1(a±c)+(/?±d)i.

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足吗交换律、画结合律,即对任何Zl,Z2,Z3GC,有Zl+

Z2=I更IZ2~I~Z1;(ZI+Z2)+Z3=131Z1+(Z2+Z3).

知识点二复数加'减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义

->—►—>—>

设OZ1,OZ2分别与复数a+bi,c+di对应，则OZi=(a,b),OZ2=(c,d).由

—>—>—>—>

平面向量的坐标运算法则，得OZi+OZ2=(a+c,b+e.这说明两个向量OZi与OZ2

的和就是与复数(a+c)+S+c/)i对应的向量.因此复数的加法可以按照向量加法

来进行.

(2)复数减法的几何意义

复数ZI—Z2是连接向量。Zl,OZ2的回一终点,并指向被减向量的向量Z2ZI所

—>

对应的复数.设zi=xi+yii,Z2=X2+y2i,则d=|ZiZ2|=|Z2Zi|=|zi—Z2|=|(xi+yii)

—(X2+y2i)|=|(Xl-X2)+(yi-y2)i|=7(X1—X2)2+-”)2.

(3)复平面内的两点间距离公式：J=B|ZI-Z2|.

其中Zl,Z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，△为Zl和Z2间的距离.

―>—>

如图：设复数Zi,Z2对应向量分别为OZi,OZ2,四边形OZ|ZZ2为平行四边

-->f—y--A

形，则与Zl+Z2对应的向量是画OZ,与Z1-Z2对应的向量是画Z2Z1.

新知拓展

复数模的两个重要性质

|Z2||W|zi土Z2|W|zi|+|Z2卜

(2)|ZI+Z2|2+|ZI~Z2|2=2|zi|2+2|z2|2.

O评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“x”)

(1)复数与向量一一对应.()

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.()

(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.()

(4)两个共轲虚数的差为纯虚数.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)计算：(3+5i)+(3-4i)=.

(2)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=.

―►-►―>

(3)已知向量OZi对应的复数为2—3i,向量OZ2对应的复数为3—4i,则向量Z0

对应的复数为.

答案(l)6+i(2)-Hi(3)1-i

核心素养形成

题型一复数的加、减运算

例1计算：(1)(3—算)+(—4一。一(3+4。；

(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).

［解］(1)原式=(3—4—3)+(—5—1—4)i=-4—10i.

(2)原式=(5-9+3)+(—7+8—2)i=-1—i.

金版点睛」

复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行

加、减运算.在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部.这种运算类似

于初中的合并同类项.

「跟踪训练1

计算：(1)(1+2i)+(—2+i)+(—2—i)+(l—2i)；

(2)(i2+i)+|i|+(l+i).

解(1)原式=(—l+3i)+(—2—i)+(l—2i)=(—3+2i)+(l—2i)=—2.

(2)原式=(—l+i)+-\Jo+12+(1+i)=—l+i+l+(l+i)=l+2i.

题型二复数加、减运算的几何意义

例2已知四边形A8CO是复平面内的平行四边形，且A,B,。三点对应的

复数分别是l+3i,—i,2+i,求点。对应的复数.

［解J解法一：设点。对应的复数为x+yi(x,yGR),

则D(x,y).

又由已知得A(l,3),B(O,-1),C(2,l),

AC中点为仔，2),80中点为修，写

2-2,

•.•平行四边形对角线互相平分，,

・<x=3,

•j=5.

即点。对应的复数为3+5i.

解法二：设点。对应的复数为尤+W(x,yGR).

―>

则对应的复数为(x+yi)—(l+3i)=(x—1)+。一3)i,

—►

又对应的复数为(2+i)—(一i)=2+2i.

—>—>

由已知得AO=BC,.\(x-l)+(y-3)i=2+2i,

fx-l=2,[x=3,

lv—3=2,1=5,

即点。对应的复数为3+5i.

［条件探究］若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为l+3i,-i,2+

i,求第四个顶点对应的复数.

解设l+3i,—i,2+i对应A,B,C三点，。为第四个顶点，则①当四边形

A8CO是平行四边形时，点。对应的复数是3+5i.②当四边形ABOC是平行四边

形时，点。对应的复数为l—3i.③当四边形ADBC是平行四边形时，点。对应的

复数为-1+i.

金版点睛」

(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运

算或向量运算.

(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.

(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可

能.

「跟踪训练2

已知复平面内平行四边形ABC。，A点对应的复数为2+i,向量84对应的复

->

数为l+2i,向量对应的复数为3—i,求:

(1)点C,。对应的复数；

(2)平行四边形A8CD的面积.

—>—>

解(1)因为向量84对应的复数为l+2i,向量3c对应的复数为3—i,

->

所以向量AC对应的复数为(3—i)-(l+2i)=2-3i.

—>—>—>

又OC=QA+AC,所以点C对应的复数为(2+i)+(2—3i)=4—2i.

->—►—>—>

因为AO=8C,所以向量A0对应的复数为3—i,即AO=(3,-1),

―>

设O(x,y),贝UAD=(九-2,y—1)=(3,-1),

x―2=3,x=5,

所以解得<

j—1=-1,j=0.

所以点。对应的复数为5.

­►—>—►—►

⑵因为84BC=|BA||BacosB,

―>—>

BABC3-2_1__巫

所以cosB=

——y[5Xy[lO5y[21。'

\BA\\BC\

7_7/

所以sinB=

5小—10'

7历

所以S=|BA||BGsinB=^X®X%=7.

所以平行四边形ABC。的面积为7.

题型三复数加、减运算的几何意义的应用

例3已知|Z1|=|Z2|=|ZLZ2|=l,求|Z1+Z2|.

[解]解法一：设zi=a+hi,Z2=c+di(a,b,c,dGR),

V|Z||=|Z2|=|Z|-Z2|=l,

.,.a1+b2=cr+d1=1,①

(a-c)2+(Z?-d)2=i.②

由①②得2ac+2bd=l.

/.|zi+z2|=^/(<z+c)2+(/?+J)2

=，\+廿+62+心+240+2bd

解法二：设。为坐标原点，Zl,Z2,Z1+Z2对应的点分别为A,B,C.

,.,|Z1|=|Z2|=|Z|-Z2|=1,.♦.△OAB是边长为1的正三角形，

...四边形。4cB是一个内角为60。，边长为1的菱形，且|Z1+Z2|是菱形的较

长的对角线。。的长，

：.\zi+z2\=\OC\

=，|0Aj+|AC|2一2QA||AC|cosl20o=小.

金版点睛」

掌握以下常用结论：

在复平面内，zi,Z2对应的点为A,8,Z1+Z2对应的点为C,O为坐标原点,

则四边形OACB：

①为平行四边形；

②若|zi+z2|=|zi—Z2|,则四边形O4CB为矩形；

③若|zi|=|z*则四边形。ACB为菱形;

④若|zi|=|Z2|且|zi+z2|=|zi—Z2|,则四边形OACB为正方形.

「跟踪训练3

若复数z满足|z+i|+|z—i|=2,求|z+i+1|的最小值.

解解法一：设复数一i,i,—(1+i)在复平面内对应的点分别为Zi,Z2,Z3.

如图，

所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|ZiZ3|

为最小值且最小值为1.

解法二：设z=x+yi(x,yGR).

因为|z+i|+|z—i|=2,

所以出2+3+1)2+«?+(厂1)2=2,

又"+(y+l)2=2—1)220,

所以0W1(W2,

因为:x2+(y+l)2=2Ip,

所以两边平方可得1—产"+(厂1)2,

即(1一卜)2=/+0—1)2,且0W1—yW2.

所以x=0且一1WyWl,贝Uz=yi(—lWyWl).

所以|z+i+11=11+。+1)i|=4阡6不F21，

等号在y=—1即2=-i时成立.

所以|z+i+l|的最小值为1.

随堂水平达标

1.复数zi=3+i,Z2=l—i,则zi—Z2在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析..,zi-Z2=(3+i)—(1—i)=2+2i,...zi—Z2在复平面内对应的点位于第

一象限.

2.已知|z|=3,月.z+3i是纯虚数，则W等于()

A.-3iB.3i

C.±3iD.4i

答案A

解析设z=x+yi(x,yGR),由z+3i=x+(y+3)i为纯虚数，得x=0,且yW

—3,又|z|=«r2+y2=|y|=3,.'.y=3,/.z=3i,二z=-3i.故选A.

->—►

3.非零复数Zl,Z2分别对应复平面内的向量OA,OB,若|zi+z2|=|zi—Z2|,

则()

―>—>—>—>

A.OA=OBB.\OA\=\OB\

—>—>—>—>

C.OALOBD.OA,03共线

答案C

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解析如图，由向量的加法及减法法则可知，OC=OA+08,BA=0A—

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