高中数学必修一 第五章 5 .5 .2 简单的三角恒等变换

5.5.2简单的三角恒等变换

新网隔阚@（教师独具内容）

课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式2了解三角恒等变换的特点、变

换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式

进行化简、求值以及证明三角恒等式.

教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.

教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.

核心概念掌握

【知识导学】

知识点一半角公式

知识点二积化和差与和差化积公式

(1)积化和差公式

sinacosQ=；[sin(a+夕)+sin(a一4)].

cosasin^=^[sin(a+^)—sin(a—

cosacos/?=^[cos(a+^)+cos(a-/i)].

sinasin/?=-；[cos(a+夕)-cos(a一夕)].

(2)和差化积公式

a~B

sina+sin/?=2sincos2,

a~\~Ba~~B

sina—sin/3=2cos?"sin?"•

Q+夕a-°

cosa+cos/?=2cos?cos)二

a+fia-p

cosa—cos/?=-2sin?sin?.

【新知拓展】

辅助角公式

辅助角公式：osinx+/?cosx

+必皿叶3)卜ang=').

其中角S所在象限由a,b的符号确定，角(p的值由tan9=\ifg定或由sin^=

首齐般。，方a

共同确定.

yjc^+b2

闸价®侧

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

]a\[3

⑴已知cosa=g,a£(0,兀)，则5岭=一为~.()

TI1啦+1

(2)COS7R—1=^—.()

(3)函数/(x)=A/5sinx+cosx(xGR)的最小正周期为无.()

答案(1)X(2)7(3)义

2.做一做

⑴若cosa=q,aC(0,兀)，则cos^的值为()

D.土田

B—亚C

■D•3v.✓•

4(3兀、ci

(2)已知cosa=5，,2KI,则sing等于()

A—遮R遮rh/l口—3

1010J105

(3)函数於)=sin2x+，5sinrcosx在区间：，y上的最大值是()

13r-

A.1B.―C，2D.1+V3

(4)若tana=2,则targ=.

—1±A/5

答案(1)A(2)B(3)C(4)―十一

|核心素养形成|

题型一利用半角公式求值

,43兀工aaa,,..

例1已知sina=-g,7i<a<~Y，求sin］,cos/,tan/的值.

［解］V7i<ot<^,sina=—

cos2

金版点睛

由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤

(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.一般讨论角

所在象限.

(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：

①先化简所求的式子.

②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).

③将已知条件代入所求式子，化简求值.

［跟踪训练1］已知si或一cos楙1Ct

飞'450°<a<540°,求tan]的值.

解由题意,予

14

即1—sina=§,得sina=5・

450°<a<540°,cosa=—

1——

a1~cosa

••turiTT—•=

2sina4

5

题型二三角函数式的化简

,..J.«

(Z11+sina+cosa)lsin^―

例2化简:■(7i<a<27i).

■\j2+2cosGt

［解］原式=

a、

cos2Cz-cosa)

a

cos2

一？・・△.兀a.a八

又・7T<a<27l,・・/<2<兀,..cos^vO,

a、

cos]・(一cosa)

.,.原式==cosa.

a

"cos2

［变式探究］将本例改为化简:

(1+sina-cosa)lsin^-

(180o<a<360°).

^/2-2cosa

解原式=

2si町—cosa)sin](—cosa)

八.a

2sin]

V180°<a<360°,.,.90°<^<180°,AsinpO,

二原式=—cosa.

金版点睛

化简问题中的“三变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段

消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统

一为切.

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升塞、降寨、

配方、开方等.

［跟踪训练2］化简:

sinf+cosf|-|sinf-cosf,

解(1)原式=

•.多兴2…•.苧名,

8,666

从而sm/十cos]<0,sin/—cos/〉。.

6

・二原式=一n2

aa

cos7atai”)2tan]

2

(2)原式=~=2C0:>sa-

1—tan弓1—tan工

=1cos2a-tana=|cosasina=

a.

题型三三角恒等式的证明

3rx2sinjt

例3求证：tar专tan2cosx+cos2x

.3x.x

-

与sin}sin77

AV_y77

[证明]证法一：tarry—tan§=—丁一---

COS爹COS]

.3xx3x,xsin

smgcos]—cos^sin^^-C

3xx3xx

cos万COS]cos^cos^

siar2sinr

3xx(।3x.x\.(3xx\

COS5cos,cos|15+方+cos(p—9

2sint

cosx+cos2x

.二原式成立.

(3xx\

2sinkS

、t5_2sinx

证法一：Ic一

cosx+cos2xI3xX],3x3.xX

coslC0+

2j+<T2I2

Z(sinycosx^3x.x.3x.x

一cosgsmgsin万sin]

3xx3元x

2cos万"cos/cos-ycos/

3元x

=tan^-tan^.

J原式成立.

金版点睛

在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标

确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用

左右归一的方法.

［跟踪训练可求证：鸣鬻铲一嘿

证明证法一：左边=

(sinccos£+cosasinA)(sinacos£—cosasin夕)

sin2acos2y?

siYacos?。一cos2asin2夕

sin2acos2/?

__cos2asin2^_tan2yg,由

-sin2acos2^-tan2a-

J原等式成立.

、工』一一』1cos2asi冠

证法一:右边=1—si/acos2s

siracos?6—cos2asin2,

sin2acos2^

(sinacos。+cosasin£)(sinacos。一cosasin夕)

sin2acos2y?

sin(a+))sin(a一。)

sin2acos2^一工

J原式成立.

题型四利用辅助角公式研究函数性质

例4已知函数/(x)=，§sin(2x—5J+Zsi/Q—R).

⑴求函数;U)的最小正周期；

⑵求使函数4x)取得最大值的x的集合.

［解］⑴•••Ax)=V§sin(2xY)+2sin2(x-总

=2sin(2x一5+1,

，段)的最小正周期为T=E=7T.

⑵当於)取得最大值时，sin(2T)=l,

兀715兀

有2x—g=2E+/,即x=E+五(Z6Z),

二所求x的集合为｛xx=E+含左ezj.

金版点睛

(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型

)函数，这是解决问题的前提.

(2)解此类题时要充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差

异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.

［跟踪训练4］已知函数«x)=4cosxsin(x+/)—1.

(1)求«r)的最小正周期；

(2)求危)在区间［一全不上的最大值和最小值.

解(1=4cosxsin(x+］—1

=4cos(坐sinx+Tc°sx)—1

=V3sin2x+2cos2x—1

=Ssin2x+cos2x

=2sin(2x+^),

所以/U)的最小正周期为兀.

(2)因为一专WxW?所以一,W普*

兀TT7T

于是当2%+4=/,即尤=%时，7U)max=2;

当2x+^=—聿，即无=*时，兀C)mi"=—1.

题型五三角变换的实际应用

例5如图，A,8是半径为1的圆。上任意两点，以A3为一边作等边三角

形A8C.当点A,8处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多

少？

c

［解］如图，设NAO3=e（0<e<7r）,四边形O4C8的面积为S.取A3的中点

连接OD,CD,则OOLAB,CDLAB.

在RtZ\0D4中，。4=1,NAOD=g,

n

所以AO=OAsinNAOD=sin],

g

OD=OAcosZAOD=cos/,

8

所以A8=2A£)=2sin].

因为△ABC为等边三角形，

Qn

所以CO=ACsinNCAB=2sin]sin6()o=小sin.

所以5=5AABC+S^AOB

=^CDAB+^ODAB

I-1—cos。,1

X----2----+/sin。

1.A也心理

=2Sin^—C0S^+2

=sin(0一(|+坐

7T7T2冗

因为0<兴兀，所以一?<e—

所以当即。/时，s取得最大值1+除

5兀

所以当QA与08的夹角为不时，四边形QAC8的面积最大，最大面积是1

+坐

金版点睛

解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题,

再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.

［跟踪训练5］有一块以。为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内

接矩形A3CO建为绿地，使其一边AO落在半圆的直径上，另外两点B,C落在

半圆的圆周上.已知半圆的半径长为处如何选择关于点。对称的点A,。的位

置，才能使矩形ABC。的面积最大？

解画出图形如图所示.

设NAOB=。，ee(0,5

则AB=asin3,OA=acos。.

设矩形ABC。的面积为S,

则S=2OAAB

=2acos"asin8=6r2-2sin^cos<9=a2sin2^.

因为ee(o,H所以286(0,71).

JrJT

当2(9=2，即时，Smax=a2,

.J2

此时点A,。距离点。均为

随堂水平达标

已知sina=1^O<a<，，则cos与等于（）

1.

44—啦口啦

A.gB.r

510D10

答案D

371•..8saq又cosa=2c靖-1,「.cos少此受

解析•「sin。=5且0<a<2,

9

八aTta3^/10

・・

°中cos/=10・

2sin2a2cos2a空

'sin2acos2a"()