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高中数学：利用几何特征解题

平面解析几何的研究对象就是平面几何图形及其性质，

所以在处理平面解析几何问题时，要充分挖掘几何条

件，并结合平面几何知识，有时能减少计算量，下面以

圆的有关问题说明这一点。

例1平面内有两点A(-1,0),B(1,0),在圆

C：(x-3)2+(y-4)2=4上取一点P,求IMF+IBPF的最大值和

最小值。

转化为一元函数或利用均值不等式求解，比较烦琐。若

注意到|OP|2=x2+y2,那么问题转化为求IOPI的最值。由圆

的对称性可知，使IOPI取得最值的点P就是直线。。1和圆

5的交点。

|0P|min=|OO1|-2=3,|0P|rax=|001|+2=7o

从而|AP'+|BP|2的最大值为100,最小值为20o

例2求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线

y=x截得的弦长等于2万的圆的方程。

解：因圆心在直线3x-y=0上，故可设圆心。％,3a）。

又因为圆与X轴相切，所以r=|3a|。

此时可设圆方程为（x-aF+（y-3a）2=（3a）2（运用已知条件，找

出a、r■间的联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简

化计算很有帮助）。

又圆被直线y=x截得的弦长为2万，同时考虑由圆半径、

半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用a表

示出来，便可利用勾股定理求得a。

J_|a_3alnr.

弦心距V2,所以（扃F+（⑸=（3a）2,解得a=±l。

当a=-l时，3a=-Xr=3,圆方程为（x+a+（y+3>=9。

当a=l时，3a=3,r=3,圆方程为（x-1尸+&-3）?=9。

说明：此题若不充分利用圆的半径、弦长的一半、弦心

距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算

量。

例3已知点P(5,0)和圆O：x2+y2=i6,过P作直线

I与圆。交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方

程。

解：：点M是弦AB中点，

ZOMP=90°,

・•.点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为

SI,半径为L所以其方程为1一0+/=◎,即

22

x+y-5x=0o同时，点M又在圆/=16的内部，所以

x2+y216

x2+y2<16,即°*x=F-〈w,所求的轨迹方程为

说明：此题若不能挖掘几何条件NOMP=90。，因为点

M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法

求解，计算量将很大，并且比较麻烦。

例4已知圆M:2x2+2y2-8x-8y=l,直线|：x+y-9=0。过

直线I上一点A作△ABC,使NBAC=45。，边AB过圆

心M,且B、C在圆M上，求点A的横坐标的取值范

围。

解：该题从表面条件来看，易使我联想夹角正切公式。

虽可利用圆心M到直线AC的距离dq来求解，但需要

一定的意志和耐心，否则很难正确求得答案。

若注意挖掘圆的性质，引切线AT,T为切点，连接

MT,由切线性质不难看出：（1）ZBAT>ZBAC=45°;

(2)MTlATo

|MT|

|AM|=<4=7n

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