高中数学：历年高考中的“等差数列”试题

2010--2018高考真题分类——等差数列

一、选择题

1.（2018全国卷I）记S,为等差数列｛%｝的前〃项和，若3s3=S2+S「

4=2,则as=

A.-12B.-10C.10D.12

2.（2017新课标I）记S”为等差数列｛%｝的前〃项和.若%+%=24,

S«=48,则｛4｝的公差为

A.1B.2C.4D.8

3.（2017新课标川）等差数列5”｝的首项为1,公差不为0.若%，%，4

成等比数列，则｛4｝前6项的和为

A.-24B.-3C.3D.8

4.（2017浙江）已知等差数列｛凡｝的公差为d,前〃项和为S“，则“d>0”

un

是S4+Sb>2S5的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2016年全国D已知等差数列｛%｝前9项的和为27,%0=8,则为„„=

A.100B.99C.98D.97

6.（2015重庆）在等差数列｛q｝中，若的=4，%=2,则《,=

A.-1B.0C.1D.6

7.（2015浙江）已知｛凡｝是等差数列，公差d不为零，前〃项和是S”.

若小,4,为成等比数列，则

A.axd>0,dS4>0B.axd<0,dS4<0

C.a｝d>0,dS4<0D.axd<0,dS4>0

8.（2014辽宁）设等差数列｛《,｝的公差为d,若数列｛2研％｝为递减数列，则

A.</<0B.d>0C.a^d<0D.a^d>0

9.（2014福建）等差数列｛q｝的前〃项和S",若q=2,S3=12,则&=

A.8B.10C.12D.14

10.（2014重庆）在等差数列｛a“｝中，q=2,%+牝=1°，则%=

A.5B.8C.10D.14

11.（2013新课标I）设等差数列｛%｝的前n项和为S,，S“i=-2,S,“=0,

Sm+1=3,则加=

A.3B.4C.5D.6

12.（2013辽宁）卜面是关于公差d>0的等差数列｛4｝的四个命题：

四：数列｛叫是递增数列；外：数列卜七｝是递增数列；

p、:数列［%］是递增数列；0：数列｛为+3〃"｝是递增数列：

n

其中的真命题为

A.Pi，PaB.Py,p4C.p?，P3D.P4

13.（2012福建）等差数列｛%｝中，。1+%=10,%=7，则数列｛<｝的公

差为

A.1B.2C.3D.4

14.（2012辽宁）在等差数列｛4｝中，已知久+%=16,则该数列前11项和S“=

A.58B.88C.143D.176

15.（2011江西）设｛4｝为等差数列，公差d=-2,S”为其前〃项和，

若Ro=$।,则q=

A.18B.20C.22D.24

16.（2011安徽）若数列｛q,｝的通项公式是

a„=（-1）"（3/?-2）,则4+。2+…+，％=

A.15B.12C.-12D.-15

16.（2011天津）已知｛%｝为等差数列,其公差为-2,且%是%与%的等

比中项,S,为｛凡｝的前〃项和，〃则品,的值为

A.-110B.-90C.90D.110

18.（2010安徽）设数列｛%｝的前〃项和5〃=/,则怎的值为

A.15B.16C.49D.64

二、填空题

19.（2018北京）设应｝是等差数列，且q=3,%+&=36,则｛4｝的通项

公式为

20.（2018上海）记等差数列｛〃”｝的前几项和为S”，若%=0，4+%=14,

则S7=.

21.（2017新课标H）等差数列｛4｝的前〃项和为S”,%=3,54=10,则

22.（2015广东）在等差数列｛4｝中，若%+4+/+4+%=25，则

的+%=•

23.（2014北京）若等差数列｛a,J满足%+怎+%>（）,a7+a10<0,则当

n=_时｛4｝的前n项和最大.

24.（2014江西）在等差数列｛%｝中，q=7,公差为d,前〃项和为S”，

当且仅当〃=8时S”取最大值，则d的取值范围.

25.（2013新课标2）等差数列｛《,｝的前〃项和为S”已知$0=0，Rs=25,

则〃S”的最小值为一.

26.（2013广东）在等差数列｛q｝中，已知生+4=1°，则3%+的=•

27.（2012北京）已知｛%｝为等差数列，S.为其前〃项和.若勾=；,S?=。3，

2

贝|J4=;S“=.

28.（2012江西）设数列｛%｝：｛%｝都是等差数列，若q+4=7,q+4=21,

贝I」05+65=-

29.（2012广东）已知递增的等差数列｛%｝满足q=l,q=a；-4,则

30.（2011广东）等差数列｛%｝前9项的和等于前4项的和.若q=l,

4+。4=。，贝Uk=.

三、解答题

31.（2018全国卷U）记邑为等差数列｛%｝的前八项和，已知％=-7,

S3=-15.⑴求｛4｝的通项公式；⑵求S”，并求S”的最小值.

32.（2016年山东高考）已知数列｛《,｝的前n项和S“=3〃2+8〃，｛2｝是等

差数列，且4="+%].（I）求数列｛友｝的通项公式；

（nn+,

（II）令a—+.求数列｛6｝的前”项和心

出+2）"IJ

33.（2015四川）设数列｛%｝的前〃项和5“=2%一为，且qg+L%成等

差数列.（1）求数列｛4｝的通项公式：

（2）记数列｛」■｝的前〃项和（,，求得|。-1|<正言成立的〃的最小值。

34.（2015湖北）设等差数列也,｝的公差为d,前〃项和为邑，等比数列也J的

公比为q.已知&=《，b2=2,q=d,5Kl=100.

（I）求数列｛a.｝，痣｝的通项公式;

（II）当d>l时,记％=土，求数列｛7｝的前〃项和7；.

b

35.（2014新课标1）已知｛4｝是递增的等差数列，%,%是方程

%2一5*+6=0的根.

（1）求｛。”｝的通项公式：（1【）求数列的前〃项和.

36.（2014新课标1）已知数列｛”“｝的前〃项和为S“,471=1.。"#0,

a”%+】=4S,一l,其中尤为常数♦

（I）证明：。“+2一。”=2：

（II）是否存在义，使得｛Q”｝为等差数列？并说明理由.

37.（2013新课标1）已知等差数列｛4｝的前〃项和S”满足y=0,工=-5.

（I）求｛4｝的通项公式；

（H）求数列｛一!—｝的前〃项和.

a2n-\a2n^\

参考答案

2010--2018高考真题分类-----等差数列

1.B【解析】通解设等差数列5“｝的公差为d,•••3S3=S2+S-

3x24x33

：•3(3%+:--d)=2a,+4+4%+——-d,解得d=——为，

222

,:4=2,/.d=—3,.'・%=〃]+4d=2+4x(—3)=—10.故选B.

优解设等差数列｛4｝的公差为d，・・・3邑=$+S4.

3x2

:.3s3=S3-。3+S3+%，:.$3=。4-，:、3q+-2"=d，

4=2,，d=-3,•'.4=q+44=2+4x(-3)=—10.故选B.

2.C【解析】解法■由£=3(q+。6)=3(/+。4)=48,得。3+。4=16,

由(4+%)一(/+4)=8，得%—%=8,设公差为4,即2d=8,"=4.

2a"I"7d24

解法二设公差为d,则有，解得"=4,故选C.

6al+15d=48

3.A【解析】设｛《｝的公差为"(1工0),由，得

6x5

(l+2d)2=(l+d)(l+5")，所以"=-2,S=6x1+——x(-2)=-24

2

4.C【解析】••,(5fi-55)-(5S-5,)=a6-as=d,当d>0,可得

n

S4+S6>2s、；当S4+S6>2S5,可得d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S5

充分必要条件，选C.

5.C【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,因为｛%｝为等差数列，且

'=9牝=27，所以牝=3.又％o=8,解得5〃=々0-%=5,所以d=l,

所以。仙=a5+95d=98,选C.

6.B【解析】由等差数列的性质得4=2%-%=2x2—4=0,选B%=2.

7.8【解析】由生,%,4成等比数列可得：(％+3")2=(q+2")而|+7〃)，

即36+54=0,所以4=-』〃，所以。图<0.

1131

2

又dS」==2(2a1+3d)d=-1t/<0.

8.C【解析】•.•数列｛2咿"｝为递减数列,

a\an~a\[a\+(〃一1)67]=〃0〃+《(。]一d)，等式右边为关于"的一次函数，

%d<0.

9.C【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,则S]=3q+3d，所以

12=3x2+34,解得d=2,所以。6=12.

10.B(解析】由等差数列的性质得q+%=%+%，因为,=2，%+%=10，

所以%=8,选B.

11.C【解析】有题意知S,“=¥(匕二,墟=o,Q=_《=_(s,“_S“r)=—2,

rnIwtfrjrjf—i

5+产S"-Sm=3,...公差d=4”“一品=1,.言=。“便=-2+加，

加=5,故选C.

12.D【解析】设an=%+(n-1)J=dn+m,所以p1正确：如果an=3n-12

则满足已知，但〃a”=3/一12〃并非递增所以P?错：如果若郁=〃+1,

则满足己知，但幺•=1+1,是递减数列，所以23错：

nn

a押+3〃d=4dn+m.所以是递增数列，pA正确.

13.B【解析】由题意有a1+a5=2a3=10,4=5,又：%=7,4-%=2.

d—1.

14,B【解析】久+6=24=164=8,而S]]="")=11。6=88,

15.B【解析】由$0=S”，得a”=。|一§0=0,

a]=«ll+(l-ll)J=0+(-10)x(-2)=20.

,,,l0--

16.A【解析】<?|+<7,+,••->-<7|0=-1+4—7+10++(—l)(3x102)

=(-l+4)+(-7+10)+---+[(-l)9-(3x9-2)+(-l),t,-(3xl0-2)]=15

17.D【解析】因为%是％与%的等比中项，所以婚=“必，又数列｛4｝的

公差为一2,所以(4一12)2=(《一4)(6一16),解得q=20,

故a“=20+(〃-l)x(-2)=22-2”，

所以，°=1%°)=5x(20+2)=110.

18.A【解析】%o=S8o—S?r=64—49=15.

19.14[解析】解法一设｛an｝的公差为d,首项为q,则

4+24=0fa.=—47x6

1，解得，1，所以$7=7x(-4)+=x2=14.

q+5d+q+6d=14[d=22

解法二2a3+7d=14,所以d=2.故a4=ay+d=2,故

S7=7a4=7x2=14.

20.a“=6〃-3【解析】设等差数列的公差为"，

a,+%=a\+”+q+4</=6+5J=36,

d=6,a”=3+(〃-1)♦6=6〃-3.

q+2d=3

21.卫-【解析】设等差数列的首项为q,公差为“，则<

〃+1'也+答】。'

解得q=1，<7=1.

n(n-\),n(n+1)所以,2

Sn=na｛4------xd------弓-占)，

22S.A(A+1)

八、/、

所以Z1=2—[(r1-彳I)+(彳1一])/+…I+(--------)]=2c(/1t----1=-2-〃•

MS*223nn+1n+1n+1

22.10【解析】由a；+q+%+4+。？=25得5as=25»所以=5,

Afta2+ag=2a5=10.

23.8【解析】:•数列｛〃“｝是等差数列，且q+4+%=%>0,4>0.又

«7+ain=+ag<0,/.a9<0.当〃=8时，其前〃项和最大.

7

24.(-1,--)【解析】由题意可知，当且仅当〃=8时S”取最大值，可得

J<0

7

4%>o,解得-i<“<--.

8

。9<0

25.一49【解析】设｛为｝的首项为q,公差d,由S1o=(),儿=25,得

[2a,+9d=021/,八

《'，解得q=-3,"=一，=一(〃3-1("),

[3a,+2W=5'3"3V)

设/(〃)=：(/T。//),/(〃)=〃，-乎?，

2070

当0<〃<§时当〃>丁，/'(〃)>0,由〃G”，

当〃=6时，/(6)=*6、一I0X36)=-48

32

当”=7时,/(n)=-(7-10x7)=-49

〃=7时,畤，取得最小值-49.

26.20【解析】依题意2q+9d=10,

所以3%+%=3(。1+4d)+q+6d=4q+18d=20.

或：3a5+%=2(%+%)=20

27.1,【解析】设公差为d,则2q+d=q+2d,把代入得

42

d=—,a,=1»S=—//(«+1)

2-"4

28.35【解析】(解法一)因为数列｛4｝,｛"｝都是等差数列，所以数列

也是等差数列.故由等差中项的性质，得

(%+4)+(卬+々)=2(%+々)，即(％+4)+7=2X21,

解得4+々=35.

(解法二)设数列｛。"｝,｛"｝的公差分别为4,4,因

+b、=(4+24)+(b、+2d2)

=(a]+/4)+2(4+d2)=7+2(4+4)=21

所以4+4=7.所以/+4=(/+4)+2(4+&)=35.

29.an=2z?-1【解析】q=1,%­4=1+24na+d)]—4

od=2o%=2〃-1

30.10【解析】设｛《J的公差为4,由S“=S4及q=l,

a«4x31

得9xl+=xd=4xl+=d,所以"=一上.乂4+%=(),

226

所以口+(4+[1+(4_1)X(_L)]=0，即4=1().

66

31.【解析】⑴设｛%｝的公差为d,由题意得3q+3d=-15.

由q=-7得d=2.所以｛《,｝的通项公式为a“=2〃-9.

⑵由⑴得S”=/-8〃=(“一4了一16.

所以当〃=4时，S”取得最小值，最小值为-16.

32.【解析】(I)因为数列｛%｝的前〃项和S“=3〃2+8〃，所以©=11,

当〃22时，a“=S„-S“_[=3n2+8〃-3(w-l)2-8(〃-1)=6〃+5,

又。“=6〃+5对〃=1也成立，所以。“=6〃+5.

又因为｛，｝是等差数列，设公差为d，则勺=“+4+|=2'+".

当〃=1时，24=11-4；当〃=2时，2b2=\：-d,

解得d=3,所以数列｛4｝的通项公式为bn==3«+l.

("心当第=(3〃+3)2”

于是q=6-22+9"+12T+…+(3〃+3>2”+、两边同乘以2,得

27；=6•2,+9・24+…+(3〃)•2"+,+(3〃+3)-27，

两式相减，得

-7；,=6-22+3-23+3-24+«--+3-2n+,-(3/7+3)-2n+2

=3-22+3-2~(1-2^-(3/7+3)-2^2

2+22

Tn=-12+3-2(1-2")+(3n+3)-2"=3n-2"+.

35.【解析】（I）方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得%=2,%=3.

设数列｛%｝的公差为d,则（-&=2d,故d=L从而q=之，

22

所以｛q｝的通项公式为4=;〃+1.

（II）设的前〃项和为s.，由（I）知土=2芋，则

[2n）2"2"1

34«+1n+2I34〃+1〃+2

=+++-_+-

^r^r-^y7n，3sli=>+>+…+y^r+y^-

两式相减得

13.11.〃+231nI.rt+2

只"=i+（h”.+M）一^~=：+i（一^）一^-.

〃+4

所以s”=2

36•【解析】（I）由题设，。〃,川=4S“—1M用%,2=2S〃.「1.

两式相减得q“q,+2-。）=及心由f勺+产0，所以4,+2一勺=九

（11）由题设，q=1,qa,=4S1—1,可得出=4一1.

由（I）知，4=）+1,令2a2=%+%，解得4=4.故勺.2=4=4,可得

｛。2"-1｝是首项为1，公差为4的等差数列，。21=4〃-3；

｛%"｝是首项为3,公差为4的等差数列，=4n-l.

所以4=2〃-1,。“_］一%=2.|因此存在a=4,使得数列｛（｝为等差数列.

37.【解析】（I）设｛%｝的公差为d,则S“=〃q+约pd.

[3a,+3t7=0,"“4a

,.\解得q=l,d=—1.

由已知可得[5q+10d=—5,1

故｛<｝的通项公式为a“=2-〃.

2）由（I）知——!—=------!-------=-（―!---------!—）

%>-必2"+1（3-2//）（1-2«）22n-32n-l

从而数列1―!—\的前〃项和为

.°2"-陷2"+1.

1111111、n

一（Z——+-+•・・+------------------1=-------.

2-11132〃-32n-l\-2n

38.【解析】（I）因为数列｛。“｝的公差d=l,且l,q,生成等比数列，

所以靖=］x（q+2）,即2=0,解得4=-1或q=2.

（H）因为数列｛q｝的公差"=1,且S5>4%,

所以5q+10>q2+8q；即可2+3/一10<0,解得一5<々<2

39.【解析】（I）设｛叫的公差为d,由题意，

即（q+104/=q（q+12d）于