八年级数学下册专题162 二次根式的乘除【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题16.2二次根式的乘除【九大题型】

【人教版】

【题型1求字母的取值范围】....................................................................1

【题型2二次根式乘除的运算】.................................................................2

【题型3二次根式的符号化简】.................................................................3

【题型4最简二次根式的判断】.................................................................5

【题型5化为最简二次根式】...................................................................6

【题型6己知最简二次根式求参数】.............................................................7

【题型7分母有理化】..........................................................................8

【题型8比较二次根式的大小】................................................................10

【题型9分母有理化的应用】...................................................................11

”如声三

【知识点1二次根式的乘除法则】

①二次根式的乘法法则：Vay/b=Va7b(a>0,b>0)；

②积的算术平方根：=Vb(a>0,b>0)；

③二次根式的除法法则：亲=Jj(a>0tb>0)；

④商的算术平方根：^=1(a>0,b>0).

【题型1求字母的取值范围】

【例I】(2022春•赵县校级月考)若要使等式房=吗成立，则x的取值范围是x>8.

【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于X的不等式经求出答案.

【解答】解：:等式后=鲁成立，

.产0

**(x-8>0，

则x的取值范围是：x>8.

故答案为：£>8.

【变式1-1】(2022秋•犍为县校级月考)已知-3).(r-2)=•VFTL使等式成立的x的取

值范围是-2W/W3.

【分析】根据二次根式的性质得出关于X的不等式组，进而求出答案.

[解答]解：•・,«%—3）.—2）=后耳.VFFI,

.（3-x>0

，,tx+2>0，

解得：・2«.

故答案为：-2WxW3.

【变式1-2]（2022秋•南岗区期末）能使等式柠=等成立的x的取值范围是（）

A.Q0B.x20C.x>2D.在2

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.

【解答】解：由题意得：

[%-2>0

U>0

解得：Q2,

故选：D.

【变式13X2022•宝山区校级月考）已知实数x满足，2/一任』・、/1",则乙的取值范围是0WxW2.

【分析】依据二次根式被开方数大于等于。和必（。20）列不等式组求解即可.

【解答】解：•.•原式=J（2-=x・V2-x,

且2-自）.

解得：0Wx<2.

故答案为：0«.

【题型2二次根式乘除的运算】

【例2】（2022•长宁区期中）计算：

⑴5品•摄3府;

⑵2.5cg

【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可.

（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可.

【解答】解：（1）原式=5x称x3x3后=竽.

（2）原式=2x，x导6x12=军.

【变式2-1]（2022•长宁区期中）计算：2J京兄麻•倔滔.

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案.

【解答】解：原式=2X6伍x住x87n3

Y3m6m

=8V2m.

【变式2-2]（2022•青浦区校级月考）计算：:历+（—京4）♦（—*"?）（亡＞0）.

【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算.

【解答】解：OO,工尸20,

・••卢0,

工原式=三Jxy3・（-yj|）•（-W%3y）

=-2y2*（-W%3y）

=（一次何）

二£/y后.

【变式2-3]（2022•浦东新区校级月考）化简：:标（一：再）+3J|"V0）.

【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案.

【解答】解：:由二次根式的性质可得aVO,bVO,

J原式=1•（・0）y[ab*C-ay/ab）+3绊

b2-b

=-3a2。+3呼

=-3crbX（——、）

3Vab

=a2b2x华

ab

=aby[ab.

【题型3二次根式的符号化简】

【例3】（2022•安达市校级月考）已知冷，＞0,将式子x根号外的因式x移到根号内的正确结果为（）

A.y[yB.C.-yfyD.-y/^y

*：a-b«）,

原式=-Cb-a）「士=_J（b-a）2•卜二=-J（/>-a）2•=-Vb-a.

故答案为

【知识点2最简二次根式】

我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

【题型4最简二次根式的判断】

【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在4、?、诚、7^=1、越中，最简二次根式是_嚷_旧=1_.

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同

时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【解答】解：叵、是最简一次根式.

a

故答案为：—a>y/^1.

【变式4-1］（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A.A/48B.V14C.D.V4a+4

【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，

即可解答.

【解答】解：4、V48=4A/3,故A不符合题意：

B、E是最简二次根式，故8符合题意；

C、R=哈故C不符合题意；

D、V4a+4=2VOTT,故。不符合题意；

【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案.

【解答】解：②衍TT③亨是最简二次根式，

故答案为：②③.

【变式4-3］（2022春•建昌县期末）在二次根式/、g、同、vm,V40^2,J/+y2中,是最简二

次根式的共有二个.

【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可.

【解答】解：二次根式g、V12,同、V7T2,V40^,42+y冲,是最简二次根式的是颂、V7+2,

+y2,

故答案为：3

【题型5化为最简二次根式】

【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）

A.V2B.5x/8C.V28D.R

【分析】先把8、C、。化成最简二次根式，再找被开方数不同的项.

【解答】解：•・•遮是最简二次根式，

5V8=10V2,V28=2V7,=y.

・••化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D.

故选：C.

【变式5-1］（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式

（1）叵

100

（2）V32

⑶

【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；

（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；

（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案.

【解答】解：⑴舟祭

(2)V32=472：

/r、3XXX

(3)#4X=2^4F=2—V3X

【变式5-2］（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式:

二1s.

【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外.

【解答】解：⑴原式=今*|=1乂"J|=9《=3①

（2）当/?,c同为正数时，原式=一等x专x二—竟

当〃，c同为负数时，原式=一半x（-右）x2bc.

当c=0时，原式=0.

【变式5-3］（2022秋•安岳县期末）卜三化成最简二次根式是±叵国.

7xy-y--------y—

【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简

求解.

【解答】解:原式=柠：

①当）00时，上式=吟包

②当yVO时，上式=一旦三2

•y

故答案是：土返亚.

y

【题型6已知最简二次根式求参数】

【例6】（2022春•浙河区校级期末）若二次根式衍萌是最简二次根式，则最小的正整数F为2.

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同

时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【解答】解：若二次根式麻E是最简二次根式，则最小的正整数〃为2,

故答案为：2.

【变式6-1］（2022春•武江区校级期末）若正是最简二次根式，则。的值可能是（）

A.-4B.|C,2D.8

【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项：根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母:

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断SC,。选项.

【解答】解：人选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；

B选项，故该选项不符合题意；

C选项，鱼是最简二次根式，故该选项符合题意；

D选项，V8=2V2,故该选项不符合题意；

故选：C.

【变式6-2*2022秋•崇川区校级期末）若勘吁"-2和/3口-皿/都是最洵二次根式，则1,〃=2.

【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到小与〃的值.

【解答】解：・.•若•R和《33m-2n+2都是最简二次根式,

,（m+n—2=1

f'（3m-2n+2=1'

解得：〃?=1,〃=2,

故答案为：1;2.

【变式6-3］（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式与"侬的被开方数相同，则8.

【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的杈指数和被开

方数相同，列出方程组求解即可.

【解答】解：由题意，得：《一?12解得：=5

（4。+b=233=3

/•。+〃=8.

【知识点3分母有理化】

①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母

组成平方差公式；

②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式.一个

二次根式的有理化因式不止一个.

【题型7分母有理化】

【例7】（2022秋•曲阳县期末）把襦化去分母中的根号后得（）

\J12ab

A.4bB.2VbC.-y/bD.—

22b

【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可.

【解答］解：V«>0,ab>0,即。>0,b>0；

•\/3a_y/3-\a_1_\b

..y/12ab~2yf3\fa-4b~2\［b~2b"

故选：D.

【变式7-1］（2022•沂源县校级开学）分母有理化：

（i）4=-；⑵3=-；⑶半=立.

3\叵——6——>/12——6——2V5——2——

【分析】根据分母有理化的一股步骤计算即可.

【解答】解：（1）2=4^=当，

3V23x^2xv26

（2）3=用=立，

V12712x736

（C逗_再x娟_V2

①乐二2后一T

故答案为：£鼻T-

66Z

【变式7・2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）

A.\!a+b和Va-bB.-仿和历

C.V5-&和-V5+夜D.小用+yx历和不6+yVF

【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，

就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可.

【解答】解：ANa+b7a-b=J（a+b）（a—b）,因此/z+b和，a—b不是有理化因式,故选项4不

符合题意：

R.—\/a*yJa=—ci,所以和是有理化因式，因此选项B符合题意：

C.（V5-V2）（-V5+V2）=-（V5-V2）2,所以通一或和一遍+企）不是有理化因式，因此选

项C不符合题意；

D.（xVa+jV^）,（xy/a+yy/b）=CxVa+yVb）2,因此大6和人西+.WF不是有理化因式，所

以选项。不符合题意；

故选：B.

【变式7-3］（2022•宝山区校级月考）分母有理化：臂黯

v2+v3+v5

【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案.

(在+明-、③2

【解答】解:原式=

(V2+V5+>/3XV2+V5-V3)

_(正+、'亏S)2

一(V2+V5)2-3

_J1O-J15+5

VIU+2

_（、词rGr石+5）（、须—2）

（xfi0+2）（710-2）

_3V而-3、石

6

_>/10-V6

2

【题型8比较二次根式的大小】

【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=2心一3,b=则a、b大小关系是（）

a

A.a=bB.a>bC.a<bD.a>-b

【分析】本题考查二次根式，先求出〃的值，再与。比较得出结果.

【解答】解：・.7=2企一3

b=-==—（2^2+3）

a2V22-3

,所以a>b.

故选：B.

【变式8-1]（2022春•金乡县期中）已知。=七，人=2+西，则。，人的关系是（）

A.相等B.互为相反数

C.互为倒数D.互为有理化因式

【分析】求出〃与〃的值即可求出答案.

【解答】解：•••〃=£=«+2,6=2+遮，

V5-2

••Cl—bf

故选：A.

【变式8-2]（2022春•长兴县期中）二次根式J,喜，9的大小关系是（）

A.pV壬〈匹B.多VpV涯C.比V口弓D.

SJ5yfS5\f5y]555yj5Vs35V2\^5Vpyj5

【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小.

【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：

..（2V102275V20V2

>/55V5555，

的<E<4.

Sy]5衣

故选：C.

【变式8-3](2022秋•雨城区校级期中)利用作商法比较大小

比较窖与窖的大小.

Va+2y/a+3

【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题.

【解答】而=叵出X也生=a+3+4」

[解口I脚.叵^+2X^+2Q+4+4«I'

,0+3

•Va+11伞+2

••f—•

、年+2诟+3

【题型9分母有理化的应用】

【例9】(2022春•大连月考)阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖：双剑合璧、天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一-起，

取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.如：(2+V3)(2-V3)=l,(V54-V2)

(V5-V2)=3,它们的积不含根号，我们说这两个二次根式;互为有理化因式，其中一个是另一个的有

理化因式.于是，二次根式除法可以这样理解：如+=第=4，篝=第架噜=7+475.像这

v373X\}332-«3(2-V3)(2+v3)

样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.

解决问题：

(1)4+夕的有理化因式可以是_4一g_,蠢分母有理化得—乎

(2)计算：

----------1---------------1---------------U...4-]——

1+042+43怖+G\r1999+72000,

②已知：x=名，)，=祟，求f+)2的值.

【分析】(1)找出各式的分母有理化因式即可；

(2)①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；

②将K与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果.

【解答】解：(1)4+夕的有理化因式可以是4-夕，蠢分母有理化得：乎；

故答案为：4—V7；4

(2)①原式=/-1+百-&+•••+而而-=丽-1=20遮-1；

②•・"=需=2-百，产碧=2+百，

.,.?+/=7-4>/3+7+4V3=14.

【变式9/】（2。22•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法,如:笺=黑噜=7+4代；

除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简」4+小一口一位,可以

先设x=V4+>/7—V4—A/7»再两边平方得『=（，4+VT—弋4—V7）2=

4+V7+4-V7-2J（44-77）（4-V7）=2,又因为^4+夕2,4—故x>0,解得x=VL+小一

J4二>万=或，根据以上方法，化简整+）8146一/8二46的结果是（）

V6+V3

A.3-2^2B.3+2、攵C.4夜D.3

【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案.

【解答】解：设户J8+4V5-⑪-4存

两边平方得f=“8+46-78-4V3）2=8+473+8-473-2J（8+4b）（8-45/3）=8,

*/V8+4V3>《8-46,

：，x>0,

原式=噜1噜+2加

76+73

=，一一，匹二皎_+2迎

（乃+75）（、用一、③

=四+2或

3

=3-2V2+2加

=3.

故选：D.

【变式9-2]（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的

方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.例如：%=明=焉=%

V27272（M2），2

（1）将高分母有理化可得V2-1―：

V2+1

⑵关于X的方程3-：品+募+康+…+£演的解是一夺一

【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；

（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解.

•/2-1

=A/2-1

【解答】解：（1）V2+1-(x^+l)(x^-l)

故答案为：V2-1；

1

（2）3「=诉+反病+而丽+…+历+回，

1

3•X~~2=V—3—+—1十+-西-+--V-54十--夕---+通4十-•••4十--回---+]河,

(V34^(V3-1)+(V5+V西5)一(百vi-V3)+(V7+V«5)一(V西7-V5)V99-T97

3A:--=+…+（闹+质）（闻一历），

3x-^=1(V3-1+x/5-V3+V7-V5+•••+V99-V97)，

6x-1=-1+V99,

6X=3«L

故答案为：手

【变式9-3】.（202