高中数学主题三 情境创新之数学应用

主题三情境创新之数学应用

匐热点聚焦

1.［复兴号动车组列车］复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完

全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，CR400BF-C智能复兴号动车组在京张高铁

实现时速350km自动驾驶,不仅速度比普通列车快,而且车内噪声更小.我们用声强I（单位:W/nd表示声音在传播

途径中每平方米面积上的声能流密度,声强级L（单位:dB）与声强I的函数关系式为:L=101g（aI）,已知I=1013W/m2

时,L=10dB.若要将某列车的声强级降低30dB,则该列车的声强应变为原声强的（）

A.10-5B.10“C.ICTD.IO”

2.［2021南京学情调研］［5G］5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的

快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展，

创造出更多的经济价值.如图3T所示的统计图是某单位结合近几年的数据,对今后几年的5G直接经济产出做出的

预测.

5c经济产出/亿元

30000■

Z25Z(CX0M0)■

2()(XX)

器5(XX)」」川川

20202021202220232024202520262027202820292030年份

口运营商口信息眼务商■设备制造商i

图3-1

则以下结论错误的是（）

A.运营商的5G直接经济产出逐年增加

B.设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快,后期放缓

C.设备制造商在各年的5G直接经济产出中一直处于领先地位

D.信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势

3.［第七次全国人口普查］中国在2020年11月1日零时开始开展第七次全国人口普查，甲、乙等6名志愿者参加4

个不同社区的人口普查工作,要求每个社区至少安排1名志愿者,1名志愿者只去一个社区,且甲、乙不在同一社区,

则不同的安排方法共有（）

A.1240种B.1320种C.1248种D.1224种

4.［新型冠状病毒疫苗研发］新冠肺炎疫情发生后,我国加紧研发新型冠状病毒疫苗,某医药研究所成立疫苗研发项

目，组建甲、乙两个疫苗研发小组,且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为|,乙小组研发成功

的概率为去该研发项目的奖金为100万元,分配方案是:若只有某一小组研发成功,则该小组获得全部奖金;若两个

小组都研发成功,则平分全部奖金;若两个小组均未研发成功,则均不获得奖金.则以下说法错误的是（）

A.该研究所疫苗研发成功的概率为J

6

B.乙小组获得全部奖金的概率为:

6

C.在疫苗研发成功的情况下,是由甲小组研发成功的概率为3

D.甲小组获得奖金的期望值为60万元

5.［2021长沙长郡中学模拟］［生态环保］习近平总书记深刻指出，倡导环保意识、生态意识,构建全社会共同参与的

环境治理体系,让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为使排放的废气中含有的污染物量减少,某化工企业探

索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为2mg/cm\首次改良后所排放的废气中含有的污染物量

为1.94mg/cm3.设改良前所排放的废气中含有的污染物量为(单位:mg/cn?),首次改良后所排放的废气中含有的污

染物量为n(单位:mg/cm'),则第n次改良后所排放的废气中的污染物量r.(单位:mg/cn?)满足函数模型r“=r「(r「

n)X5°"(peR,neN*).

(l)r„=.

(2)依据当地环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过0.08mg/cm3.则至少进行次改良才

能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.(参考数据：1g2~0.3)

6.［2021河北六校第一次联考］［西气东输工程］我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势,实现了气能源

需求与供给的东西部衔接,工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中,某段管道铺设要经

过一处峡谷,峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷.

如图3-2所示，

位于峡谷悬崖壁上两点E,F的连线恰好经过拐角内侧顶点0(点E,0,F在同一水平面内)，设EF与较宽侧峡谷悬崖壁

所成角为0，要使输气管顺利通过拐角，则其长度不能超过米.

哥数学文化

7.［高斯算法］德国数学家高斯在年幼时进行的1+2+3+…+100的求和运算中体现了“倒序相

加”的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而产生,此方法也称为高斯

算法.现有函数f(x)7各启(m>0),则f(l)+f(2)+f(3)+…+f(m+2018)等于()

3m+6057

A门

A.-m-+-2--0-18B.2-m--+4--0-3-6

C.m+4036D.2m+4037图3-3

66

8.［割圆术］刘徽（约公元225年―295年）是魏晋期间伟大的数学家,是中国古典数学理论的奠基人之一.他提出的

“割之弥细,所失弥少,割之又割，以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”（即割圆术）蕴含了极限思想.割圆术的

核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（图3-3为n=9时的情形），当n变得很大时,这n个等

腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到sin2°的近似值为（）

A.-B.—C.—D.—

90180270360

9.［2021济南名校联考］［鳖膈］在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈,在鳖膈A-BCD中，

AB_L平面BCD,BC，CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）

AhB*C.叵D*

3322

10.［2021江西红色七校第一次联考］［数学名著］《九章算术》是我国古代著名的数学经典，书中对勾股定理的论述,

比西方早一千多年,其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几

何？”其意为:今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小,用锯去锯该木材,锯口深1寸,锯道长1尺，问这块圆柱

形木材的直径是多少?长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图3-4所示（阴影部分为镶嵌在墙体内

的部分）.已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙内部分的体积为立方寸.（注:一丈=10尺

=100寸，Ji-3.14,sin22.5°吟答案四舍五入，只取整数）

因生产、生活实践

11.［生活实践］在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线（可视为圆锥）过

旋转轴的截面是一个等腰直角三角形,要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）

A.30米B.20米C.15鱼米D.15米

12.［食物链］食物链亦称“营养链”，是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动，必须以其他生物为食物的

这种由食物联结起来的链锁关系.这种摄食关系，实际上是太阳能从一种生物转到另一种生物的关系,也即物质能量

通过食物链的方式流动和转换.如图3-5为某个生态环境中的食物链，若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选

取两种，则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为（）

图3-5

A3Mc|D-l

13.［2021湖南长郡中学期中］［数学建模］苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的

造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图3-6(1),两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连

接,在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m,如图3-6(2),则此抛物线顶端0到连桥

AB的距离为)

图3-6

A.180mB.200mC.220mD.240m

14.［2021湖北十一校联考］［解三角形模型］为了增强数学的应用性,强化学生的理解,某学校开展了一次户外探究.

当地有一座山，高度为0T,同学们先在地面选择一点A,在该点处测得这座山在西偏北21.7。方向,且山顶T处的仰

角为30°;然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北81.7°方向，山顶T处的仰角为

60°.同学们建立了如图3-7所示模型，则山高0T为()

A.20V7米B.25g米C.20vH米D.25旧米

BA

图3-7

15.［青花瓷］青花瓷,中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地

青花瓷,其外形称为单叶双曲面,且它的外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋

转所形成的曲面.若该花瓶的最小直径为16cm,瓶口直径为20cm,瓶高20cm,则该双曲线的

离心率为.

答案

主题三情境创新之数学应用

1.C已知1=10"w/n?时,L=10dB,所以10=101g(aX10，，解得a=10".故L=101g(10'2xi)=10(T2+lgI),由已

知,设该列车声强级降低前后的声强级分别为LbL2.声强分别为I),L,则L2-LF10(-12+lgL)-10(-12+lg

I2)=10(lgI-lgI2)=101gJi=30,所以lg^=3,解得器10三故选C.

2.C根据已知统计图,观察白色矩形，可得运营商的5G直接经济产出逐年增加,A正确.观察黑色矩形和灰色矩形，

可得设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快,后期放缓,到2029年被信息服务商超过,B正确,C错误.观察灰

色矩形和白色矩形,可得信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势,D正确.故选C.

3.B解法一先安排除甲、乙以外的4名志愿者，再安排甲、乙2人，共有四种情况:①除甲、乙以外的4名志愿

者去不同的社区,有A£A2=288种安排方法;②除甲、乙以外的4名志愿者中2人去同一个社区,剩余2人去不同的

社区，甲、乙2人中1人去剩下的1个社区，1人去其余志愿者所去的3个社区中的一个,有鬣禺禺A：=864种安排方

法;③除甲、乙以外的4名志愿者中2人去同一个社区，剩余2人也去同一个社区，甲、乙2人去剩下的2个社区，

有第A：=72种安排方法;④除甲、乙以外的4名志愿者中3人去同一个社区，另外1人和甲、乙去剩下的3个社区，

有《A%=96种安排方法.故不同的安排方法共有288+864+72+96=1320(种).

解法二先把6名志愿者分成4组,有C界等65种方法,再将4组志愿者分到4个社区,有A%=24种方法,所以共有

65X24=1560种安排方法.若甲、乙去同一个社区，有(禺+第)A%=240种安排方法,因此满足题意的不同安排方法共

有1560-240=1320(种).故选B.

4.D由题,当甲、乙两个小组至少有一个小组研发成功时,该研究所疫苗研发成功,其概率为卜(1-9X(l-i)4故

A选项正确；乙小组获得全部奖金,即甲小组没有研发成功,而乙小组研发成功,概率为(1-；)故B选项正确;设

事件A为“疫苗研发成功”，事件B为“甲小组研发成功”，则P(BA)与群故C选项正确;设甲小组获得的奖

6

金数为&(单位:万元)，则&的可能取值为0,50,100,且P(g=100)qx(l-；)=；,P(&=50)《X衿,P(g=0)=；,所以

E(€)=100Xi+50X|+0Xi=50,故D选项错误.故选D.

5.(1)2-0.06X5°5"°)(nXN*)由题意得ro=2,ri=l.94,所以当n=l时，ri=ro~(ro-ri)X5""即1.94=2-(2-

1.94)X505+P,解得p=-0.5.所以r„=2-0.O6X5o-5n-°-5(neN*).

(2)6由题意可得r产2-0.06X5°5n"5WO.08,整理得5。局-。-5》空，即^-^2,可得nN华+1,由1g2^0.3,得

0.06l-lg2

n^+1^5.3,又nCN*,所以n26.故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.

6.13V13如图1)3-1所示,过点0分另U作0A1AE于A,OB±BF于B,贝！JZOEA=ZBOF=9,在RtAOAE中，0A=27,贝l]

则f，（9）=一号一驾二增产誉=咨券学,令f，（。0）=0,得tar?9得

令汽。）=急磊（。＜。9sin?。cosz0sin20cosz0sin20cosz08

,3

tS0ain<26。。+<=C>OS20O=1,解得t《cos0o=^:3VT黑13-当0<0<0。时，f'(0)<0；当0。<0《时，f'(0)>0.贝lj

02sin0n=--------，“

{O

f（0）.M=f（。。）嚼+蠢=13g,故输气管的长度不能超过13g米.

1313

7.A设x+y初+2°19,则f(x)+f(y)3』+肃丽二就泊二卷翳音.所以f⑴+f⑵+f(3)+“・+f(m+2

018)=i{[f(l)+f(m+2018)]+[f(2)+f(m+2017)]+-+[f(m+2018)+f(l)])=ix|x(m+2018)上詈登.故选A.

8.A将一个单位圆等分成180个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为2。.因为这180个扇形对应的等腰三角形的

面积之和近似等于单位圆的面积，所以180Wx/Xsin2°=90sin2°、页，所以sin2°心合,所以选A.

9.A如图D3-2,取AC的中点为N,连接MN,BN,则MN〃CD且MN^CD,所以NBMN即异面直线BM与CD的夹角或其补

角.因为ABJ_平面BCD,CDu平面BCD,所以ABLCD,又BC1CD,ABnBC=B,所以CD_L平面ABC,所以MN_L平面ABC,所

以MN_LBN.设AB=BC=CD=2,则MN=1,BN=V2,BM=V3,在RtABMN中，cosNBMN””里,所以异面直线BM与CD夹角的余

BM3

弦值为冬

图D3-2

10.317如图D3-3,连接OA,0B,由题意可知,AB=10寸,OA=OC,D为弦AB的中点,所以在RtAAOD

中，0A2=0D2+AD2=(0C-l)2+(y)2,解得0A=13寸，贝ijsinZD0A=^=^,所以/DOA-22.5°,所以/B0A^45°，又S域彩

c__

JTX132»66.33(平方寸)，SAAOB^X10X(131)=60(平方寸)，所以弓形面积S-S第彩神七4地2台台.33

3602

60=6.33(平方寸)，所以该木材镶嵌在墙内部分的体积为6.33X50=316.5K317(立方寸).

图D3-3

11.A设正六边形广场为ABCDEF,光源悬挂的最低点为P,则正六棱锥P-ABCDEF的底面动长为3