高中数学题型全面归纳（学生版）：第八节函数的图像

第八节函数的图像

考纲解读

1.掌握描绘函数图像的两种基本方法——直接描点法(列表描点)和图像变换法.

2.会利用函数图像进一步研究函数的性质，解决方程和不等式中的问题.

3.会用数形结合、转化与化归的思想，分析解决数学问题.

命题趋势探究

基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是用来研究其他图像问题的基础，是研究函

数性质的重要工具.

解决此类问题的重要思路是要利用函数性质与图像之间的对应关系去比照，如定义域、单调

性、奇偶性、特殊点等.

高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数行之一并考

察，题型主要是选择题与填空题，考查的形式主要有知式选图、知图选式、图像变换(平移

变换、对称变换)以及灵活地应用图像解题，属于每年必考内容之一

知识点精讲

一、掌握基本初等函数的图像

(1)一次函数；(2)二次函数；(3)反比例函数；(4)指数函数；(5)对数函数；(6)三

角函数.

二、函数图像作法

1.直接回

①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性(或其他对称性)、单调性、周期性、

凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线(对称轴、渐近线等).

2.图像的变换

(1)平移变换

①函数y=/(x+。)(。>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿x轴向左平移。个单位得到

的；

②函数y=f(x—a)(a>0)的图像是把函数y=/(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到

的；

③函数y=/(x)+a(a>0)的图像是把函数y=/(%)的图像沿y轴向上平移a个单位得到

的；

④函数y=/(x)+a(a>0)的图像是把函数y=/(x)的图像沿y轴向下平移a个单位得到

的；

(2)对称变换

①i:函数y=f(x)与函数y=/(-x)的图像关于y轴对称；

ii：函数y=f(x)与函数y=-/(x)的图像关于x轴对称；

iii：函数y=/(x)与函数y=-/(-x)的图像关于坐标原点(0,0)对称；

②i：若函数/(%)的图像关于直线x=。对称，则对定义域内的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)/(x)=/(2a-x)(实质上是图像上关于直线x=a对称的两点

连线的中点横坐标为a,即”LX)+(“+“=”为常数);

2

ii：若函数/(x)的图像关于点(a,。)对称，则对定义域内的任意x都有

/(x)-2b-f(2a-x)^f(a—x)--2b-f[a+x)

③y=|/(x)|的图像是将函数/(x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分

关于x轴对称翻折上来得到的(如图2-21(a)和图2-21(b))所示

④y=/(可)的图像是将函数/(%)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像

关于y轴对称得到函数y=/(W)左边的图像即函数y=/(|x|)是一个偶函数(如图2-2i(c)

图2-21

注：|/(x)|的图像先保留了(尤)原来在X轴上方的图像，做出X轴下方的图像关于X轴对称

图形，然后擦去X轴下方的图像得到；而/(国)的图像是先保留/(x)在y轴右方的图像，

擦去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于>轴的对称图形得到.这两变换又叫翻

折变换.

⑤函数>=/7(处与〉=/(幻的图像关于〉=%对称.

(3)伸缩变换

①y=4/U)(A>0)的图像，可将y=/(x)的图像上的每一点的纵坐标伸长(A>1)或缩短

(()<A<1)到原来的A倍得到.

②y=f(coxXco>0)的图像，可将y=/(x)的图像上的每一点的横坐标伸长(0<啰<1)或

缩短｛co>1)到原来的-倍得到.

3

题型归纳及思路提示

题型31由式选图（识图）

思路提示

利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项,

从而筛选出正确答案

例2.70函数y=2、的图像大致是（）

变式1函数y=Ineos工一5的图像是（）

ABCD

变式2在同一坐标系中画出函数y=log.x,y=优,y=x+。的图像，可能正确的是()

变式3函数y=ax2+与y70,同w网在同一直角坐标系中的图像可能

是()

AB

ABCD

题型32函数图像的应用

思路提示1

利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得

到方程解的个数.

例2.71函数/(x)=21logo,5M—1的零点个数为()

A1B.2C.3DA

—x22

变式1已知函数，(x)={x'-，若关于x的方程/(x)=Z有两个不同的实根,

(x-l)3,x<2

则实数上的取值范围是

变式2直线y=l与曲线丁=/一国+。有4个交点，则a的取值范围是

变式3函数/(x)=21nx的图像与函数g(x)=/-4x+5的图像的交点个数为()

A3B.2C.lD.0

变式4设定义域为R的函数/(x)=[旭K-则关于X的方程

0(%=1)

[/(尤)]2+妙(*)+。=0有7个不同实数解的充要条件是()

也<0且c>08。>0且c<0

C£<0且c=020且c=0

S〔T—Ifr>01

变式5设定义域为R的函数/(%)=l，，若关于x的方程

x2+4x+4(x<0)

[/(%)]"-2mxf(x)+m2=。有7个不同实数解，则〃2=

思路提示2

利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的

交点，根据题意结合图像写出答案

12T—l(x<0)

例2.72设函数/(X)=1，若则X。的取值范围是()

>0)

A(-1,D8(-1收)

C.(—8,2)U(0,W1D(F,-1)U(L+8)

变式1(2010新课标全国卷理24)设函数/(x)=|2x-4|+l,若不等式的解集非

空，求。的取值范围.

“+4x(x>0)若不等式/Q一/)>,则实数&的取值范围

变式2已知函数/(x)=.

4x-x(x<0)

是()

A、(-8,-l)u(2,+oo)B、(―1,2)C、(―2,1)D、(—oo,—2)(1,4-00)

2

变式3(2012福建理15)对于实数。和b,定义运算“*”：，设

b~-ab,a>b

/W=(2X-1)*(x-1),且关于X的方程/(x)=m(meH开合有3个互不相等的实数根x1

,x2,x3,则X|X2X3的取值范围是.

|lgx|(0<x<10)

变式4已知函数/(x)=<1/、，巷a,"c互不相等，且/(a)=/[)=/(c),则

-]X+6(x>10)

的取值范围是()

A、(1,10)B、(5,6)C、(10,12)D、(20,24)

思路提示3

利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从

图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。

例2、73用min{〃,dc}表示三个数中的最小值，设/(x)=min{2*,x+2J0-x}

(x>0),则/(x)的最大值为()

A、4B、5C、6D、7

变式1设/（x）=1—2/,g（x）=/-2x,若p（x）=，（x）；g（x）-：（x）；g（",则F（x）

的最大值为.

Q

变式2已知两条直线4:y=初和4：y=f1（，〃〉O）4与函数〉=|log2M的图像从左

到右相交于点A,8,4与y=|bg2X的图像从左到右相交于点C。，记线段AC和30在

x轴上的投影长度分别为。,江当加变化时，2的最小值为（）

a

A、1672B、872C、8^4D、4^4

最有效训练题

1、若点(。力)在y=igx图像上，则下列点中也在此图像上的是()

A、B、C、(旦力+1]D、(a2,2b)

2、为得到函数y=log2的图像，可将函数y=bg2X的图像上所有点的()

A、纵坐标缩短到原来的,，横坐标不变，再向右平移1个单位长度.

2

B、纵坐标缩短到原来的,,横坐标不变，再向左平移1个单位长度.

2

C、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度.

D、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度.

3、函数y=/(x)的图像如图2—26所示，则函数y=log]/(x)的图像大致是()

4,函数y=xln(-x)与y=xlnx的图像关于()

A、直线y=x对称B、x轴对称C、y轴对称D、原点对称

5、若函数y=满足f(x+2)=f(x),且xe(-时，/(%)=国.则函数

y=/(x)的图像与函数y=bg4W的图像的交点个数为()

A、3B、4C、6D、8

6、函数y=/(x)与函数y=g(x)的图像分别如图2—27(a)(b)所示.则函数

y=/(x)-g(6的图像可能是()

⑷图2-27(勿

7、把函数y=bg2(-2x+3)的图像向左平移1个单位长度得到函数的图像.

8、指数函数y=的图像如图2—28所示，则二次函数y=的顶点的横坐标

图2-28

9、若a>1,则函数