高中数学试题：截口曲线问题

3.2截口曲线问题

一、飞机舷窗为什么是椭圆形？

1954年，英国海外航空公司的客机在飞行途中，接连发生突然爆炸、解体的情况。最

后发现，导致这一场场灾难的罪魁祸首竟然是机舱上

的矩形窗户。原来，在飞机飞行过程中，机舱内需要

加压，随着飞行高度的增加，机舱内外的压力差也会

越来越大。机舱内的压力会积压在矩形窗户四个锋利

尖锐的角上，而窗户经受不住压力的反复冲撞，时间

久了，便会破碎，进而引起飞机爆炸。为了解决这一

问题，飞机设计者把飞机上的窗户设计成椭圆形。因为椭圆形的舷窗能使压力均匀分布在圆

弧的每个点上，然后压力会顺利地穿过材料•，保证飞机的飞行安全。

二、椭圆为什么是圆锥曲线之一？

1.生活中的椭圆模型

生活中，阳光照射球体形成的影子、倾斜水杯的水截面边缘等都给我们以“椭圆”的

印象，那么我们数学中的“椭圆”到底是什么样子呢？或者说能不能从实物中抽象出数

学模型呢？

(1)阳光照射球体形成影子一一单球模型

(2)倾斜水杯的水截面边缘一一圆柱模型

两者都有椭圆，其实单球模型进行下列变换就能得到圆柱模型。

圆柱的Dandelin圆柱的Dandelin

单球模型双球模型

通过圆柱的Dandelin双球模型，我们就能得出椭圆上的点到两个定点的距

平面内到两个定点耳、尸2的距离之和等于常数2a（忻图＜2a）的点的轨迹

叫做椭圆。这两个定点不与叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离恒图叫做焦距。

2.圆锥的截线

从圆柱上可以截得椭圆，那为什么我们称椭圆为圆锥曲线，而不是圆柱曲线

呢？我们知道用一个平面去截圆锥，当平面垂直于圆锥面的轴时，截线是一个圆。

若将平面逐渐倾斜的过程中：

1.当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

2.当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

3.当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为

此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

我们把这三种曲线统称为圆锥曲线。从圆锥入手，可以发现更一般的规律,

圆柱的Dandelin双球只是一种特殊情况。圆锥曲线的研究最早出现在古希腊时

期，在求解希腊三大著名几何问题之一倍立方体问题过程中用到了圆锥曲线。阿

波罗尼奥斯第一个用平面截一个对顶的圆锥得到了所有的圆锥曲线，在前人成果

的基础上又增加了自己的创新见解，运用纯几何方法，证明了近500个命题，

这在当时堪称奇迹，即便是在之后的近2000年内也无人能超越。然而，数学家

们探索的步伐并不会停止……

3.圆锥的Dandelin双球模型

为什么用平面截圆锥能截出椭圆呢？历史上，许多人从纯几何角度出发对这

个问题进行过研究，类比圆柱的Dandelin双球

模型，你能利用椭圆的定义证明点A的轨迹是

椭圆吗？

证明：因为过球外一点所作球的切线的长

相等，所以AE=AC,AF=AB,于是AE+AF=AB+AC=BC=

常数。这样，截口曲线上任意一点A到两个定

点E,F的距离之和为常数，即截口曲线是椭圆。

19世纪，法国数学家Dandelin就用这种方

法证明了截口曲线是椭圆，这就是著名的Dandelin双球证法。事实上，Dandelin

还利用双球证明了截口曲线是双曲线的情形，利用单球证明了截口曲线是抛物线

的情形。有兴趣的同学不妨试着利用双球模型探究抛物线和双曲线的截线定义。

三、坐标系下的椭圆

在古希腊对圆锥曲线的几何性质己经有较深刻的研究，但当时的几何学都是

静态的几何学，没有引入坐标系，也没有把去曲线看成是动点的轨迹。在引进坐

标系后，圆锥曲线有了代数领域的代言人。

1.椭圆及标准方程

平面内与两个定点耳,B的距离之和等于常数(大于16鸟1)的点的轨迹叫

作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

下面推导椭圆的标准方程:

取过焦点A,F2的直线为X轴，线段FR的垂直平分线为y轴•

设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦

距是2c(c>0)。

则可(-c,O),F2(C,O),又设M与用工距离之

和等于2a(2a>2c)(常数)

.•.尸=仰明+|尸国=勿｝

又|P"|=yl(x+cY+y2，

J(x+c)~+y~+yj(x—c)~+y2——2a，

移项得

J(x+c)-+y-=2a—yj(x—cy+y1

两边平方，整理得

a2-cx=ayl(x-c)2+y2

再一次两边平方，整理得

2222

(a-c)x+a2y2=Q2(Q2-C),

两边同除以。2(/—/)

由定义2a>2c,，/一,2>0

令"一=匕2代入，得b2x2+a2y2=a2b2,

两边同除/〃得「+4=1

二12

此即为椭圆的标准方程。

注意：若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程.

如果椭圆的焦点在y轴上(选取方式不同，调换工/轴)焦点则变成

玛(0,-c),工(0,c),只要将方程

y-

22

二+彳=1中的x,y调换，即可得P「F2\.

22\M/

与+0=1,也是椭圆的标准方程•kry

CTh~

2.方程视角下椭圆与圆的联系

圆柱上表面的截口为圆，用手沿着直径的方向轻轻均匀压缩后得到的曲线

变成椭圆。

从方程的角度来看，假设圆的方程为/+丁=/，沿着直径的方向均匀压缩

后，x'=k{x,y'=k2y,将苫=工,y=工代入，则压缩后的曲线方程为

k,k、

+(上了=/或写成(」-)2+(，-尸=1,令。=\厂,6=22，,即：=+5=1.当

匕力网时，得到的曲线为椭圆。

上述方法，应用了解析几何中的变换知识，揭示了椭圆与圆在代数方面的内

在联系，由此得到椭圆可以由圆横纵方向以不同比例压缩而得。

3.椭圆方程的其他形式

如果从椭圆标准方程推导中的a2—s=aj（x—c）2+y2两边同时除以“得

a-cx=yl（x-c）2+y2

进而得

s］（x-c）2+y2c

a2a

---x

c

由此可得：平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合为椭

圆。（定点不在定直线线上，该常数为小于1的正数）

922）

如果将椭圆的标准方程5+3=1化成4=1-5，进而得到

a~b~b~a~

------=-^-（x^±a）

x-ax+aa"

由此可得：平面上到两定点的斜率之积为常数的点的集合为椭圆。（除去两

定点的椭圆，该常