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文档简介

2025届河南中原名校高三下学期5月月考数学试题(A卷)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识,驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗,协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种2.一个正三棱柱的正(主)视图如图,则该正三棱柱的侧面积是()A.16 B.12 C.8 D.63.已知若在定义域上恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.4.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.85.执行下面的程序框图,若输出的的值为63,则判断框中可以填入的关于的判断条件是()A. B. C. D.6.已知公差不为0的等差数列的前项的和为,,且成等比数列,则()A.56 B.72 C.88 D.407.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,则的最小值为()A. B. C. D.8.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.909.已知是虚数单位,则()A. B. C. D.10.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中点,若,且,则面积的最大值是()A. B. C. D.11.如图,在三棱锥中,平面,,,,,分别是棱,,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A.0 B. C. D.112.已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则的最小值为()A. B. C.8 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理,在线段之间有一观察站点,到直线,的距离分别为8百米、1百米,则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.14.数列满足递推公式,且,则___________.15.根据如图的算法,输出的结果是_________.16.已知数列的前项和且,设,则的值等于_______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数).(1)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.18.(12分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)记,且集合M中有且仅有一个整数,求实数k的取值范围.19.(12分)已知椭圆的长轴长为,离心率(1)求椭圆的方程;(2)设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点,是椭圆上在第一象限的一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,问与面积之差是否为定值?说明理由.20.(12分)已知函数.(1)若对任意x0,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1x2),证明:.21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大小;(2)若△ABC外接圆的半径为,求△ABC面积的最大值.22.(10分)如图为某大江的一段支流,岸线与近似满足∥,宽度为.圆为江中的一个半径为的小岛,小镇位于岸线上,且满足岸线,.现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道(图中粗线部分折线段,在右侧),为保护小岛,段设计成与圆相切.设.(1)试将通道的长表示成的函数,并指出定义域;(2)若建造通道的费用是每公里100万元,则建造此通道最少需要多少万元?

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先将甲、乙两人看作一个整体,当作一个元素,再将这四个元素分成3个部分,每一个部分至少一个,再将这3部分分配到3个不同的路口,根据分步计数原理可得选项.【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体,个人变成了4个元素,再把这4个元素分成3部分,每部分至少有1个人,共有种方法,再把这3部分分到3个不同的路口,有种方法,由分步计数原理,共有种方案。故选:C.【点睛】本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法,插空法,先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题,属于中档题.2、B【解析】

根据正三棱柱的主视图,以及长度,可知该几何体的底面正三角形的边长,然后根据矩形的面积公式,可得结果.【详解】由题可知:该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形,所以该正三棱柱的侧面积为故选:B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识,关键在于求得底面正三角形的边长,掌握一些常见的几何体的三视图,比如:三棱锥,圆锥,圆柱等,属基础题.3、C【解析】

先解不等式,可得出,求出函数的值域,由题意可知,不等式在定义域上恒成立,可得出关于的不等式,即可解得实数的取值范围.【详解】,先解不等式.①当时,由,得,解得,此时;②当时,由,得.所以,不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时,,则,此时;当时,,此时.综上所述,函数的值域为,由于在定义域上恒成立,则不等式在定义域上恒成立,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数,同时也考查了分段函数基本性质的应用,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.4、A【解析】

由三视图还原出原几何体,得出几何体的结构特征,然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥,四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,直观图如图所示,.故选:A.【点睛】本题考查三视图,考查棱锥的体积公式,掌握基本几何体的三视图是解题关键.5、B【解析】

根据程序框图,逐步执行,直到的值为63,结束循环,即可得出判断条件.【详解】执行框图如下:初始值:,第一步:,此时不能输出,继续循环;第二步:,此时不能输出,继续循环;第三步:,此时不能输出,继续循环;第四步:,此时不能输出,继续循环;第五步:,此时不能输出,继续循环;第六步:,此时要输出,结束循环;故,判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型.6、B【解析】

,将代入,求得公差d,再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,考查等差数列基本量的计算,是一道容易题.7、B【解析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式,结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位,得到,此时与函数的图象重合,则,即,,当时,取得最小值为,故选:.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.8、A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.9、B【解析】

根据复数的乘法运算法则,直接计算,即可得出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法,熟记运算法则即可,属于基础题型.10、A【解析】

根据正弦定理可得,求出,根据平方关系求出.由两端平方,求的最大值,根据三角形面积公式,求出面积的最大值.【详解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中点,且,,即,即,,当且仅当时,等号成立.的面积,所以面积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算,属于中档题.11、B【解析】

根据题意可得平面,,则即异面直线与所成的角,连接CG,在中,,易得,所以,所以,故选B.12、C【解析】

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简,结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,半焦距为,则,,设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得:,则当且仅当时,取等号.故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

建系,将直线用方程表示出来,再用参数表示出线段的长度,最后利用导数来求函数最小值.【详解】以为原点,所在直线分别作为轴,建立平面直角坐标系,则.设直线,即,则,所以,所以,,则,则,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以当时,最短,此时.故答案为:【点睛】本题考查导数的实际应用,属于中档题.14、2020【解析】

可对左右两端同乘以得,依次写出,,,,累加可得,再由得,代入即可求解【详解】左右两端同乘以有,从而,,,,将以上式子累加得.由得.令,有.故答案为:2020【点睛】本题考查数列递推式和累加法的应用,属于基础题15、55【解析】

根据该For语句的功能,可得,可得结果【详解】根据该For语句的功能,可得则故答案为:55【点睛】本题考查For语句的功能,属基础题.16、7【解析】

根据题意,当时,,可得,进而得数列为等比数列,再计算可得,进而可得结论.【详解】由题意,当时,,又,解得,当时,由,所以,,即,故数列是以为首项,为公比的等比数列,故,又,,所以,.故答案为:.【点睛】本题考查了数列递推关系、函数求值,考查了推理能力与计算能力,计算得是解决本题的关键,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2).【解析】

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径,将直线的参数方程化为普通方程,由勾股定理列出等式可求的值;(2)将圆化为参数方程形式,代入由三角公式化简可求其取值范围.【详解】(1)曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:直线的直角坐标方程为:圆心到直线l的距离(弦心距)圆心到直线的距离为:或(2)曲线的方程可化为,其参数方程为:为曲线上任意一点,的取值范围是18、(1)(2)【解析】

(1)由不等式可得,讨论与的关系,即可得到结果;(2)先解得不等式,由集合M中有且仅有一个整数,当时,则M中仅有的整数为;当时,则M中仅有的整数为,进而求解即可.【详解】解:(1)因为,所以,当,即时,;当,即时,;当,即时,.(2)由得,当,即时,M中仅有的整数为,所以,即;当,即时,M中仅有的整数为,所以,即;综上,满足题意的k的范围为【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.19、(1)(2)是定值,详见解析【解析】

(1)根据长轴长为,离心率,则有求解.(2)设,则,直线,令得,,则,直线,令,得,则,再根据求解.【详解】(1)依题意得,解得,则椭圆的方程.(2)设,则,直线,令得,,则,直线,令,得,则,.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系,还考查了平面几何知识和运算求解的能力,属于中档题.20、(1);(2)证明见解析.【解析】

(1)求出,判断函数的单调性,求出函数的最大值,即求的范围;(2)由(1)可知,.对分和两种情况讨论,构造函数,利用放缩法和基本不等式证明结论.【详解】(1)由,得.令.当时,;当时,;在上单调递增,在上单调递减,.对任意恒成立,.(2)证明:由(1)可知,在上单调递增,在上单调递减,.若,则,令在上单调递增,,.又,在上单调递减,.若,则显然成立.综上,.又以上两式左右两端分别相加,得,即,所以.【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题,利用导数证明不等式,属于难题.21、(1)B(2)【解析】

(1)由已知结合余弦定理,正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求cosB,进而可求B;(2)由已知结合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围,然后结合三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)因为b(a2+c2﹣b2)=ca2cosC+ac2cosA,∴,即2bcosB=acosC+ccosA由正弦定理可得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,因为,所以,所以B;(2)由正弦定理可得,b=2RsinB2,由余弦定理可得,b2=a2+c2﹣2accosB,即a2+c2﹣ac=4,因为a2+c2≥2ac,所以4=a2+c2﹣ac≥ac,当且仅当a=c时取等号,即ac的最大值4,所以△ABC面积S即面积的最大值.【点睛】本题综合考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用,属于中档题.22、(1),定义域是.(2)百万【解析】

(1)以为原点,直线为轴建立如图所示的

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