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文档简介
2025届江淮十校高三数学试题下学期期中考试注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,其图象关于直线对称,为了得到函数的图象,只需将函数的图象上的所有点()A.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变B.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变C.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变D.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变2.在函数:①;②;③;④中,最小正周期为的所有函数为()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③3.如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为()A. B.C. D.4.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:函数的最小值为4.给出下列命题:①;②;③;④,其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.45.若表示不超过的最大整数(如,,),已知,,,则()A.2 B.5 C.7 D.86.函数fxA. B.C. D.7.函数的大致图象是()A. B.C. D.8.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()A.16 B.18 C.20 D.159.己知抛物线的焦点为,准线为,点分别在抛物线上,且,直线交于点,,垂足为,若的面积为,则到的距离为()A. B. C.8 D.610.对于正在培育的一颗种子,它可能1天后发芽,也可能2天后发芽,….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数1234567种子数43352210A.2 B.3 C.3.5 D.411.已知函数满足=1,则等于()A.- B. C.- D.12.已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,,若函数有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),则的取值范围是_________.14.如图,直线是曲线在处的切线,则________.15.如图,养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理,在线段之间有一观察站点,到直线,的距离分别为8百米、1百米,则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.16.函数在的零点个数为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,i=1,2,⋯,12,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)设ui和yi的相关系数为r1,xi和(2)(i)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);(ii)若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:①相关系数r=i=1n(xi-x②参考数据:308=4×77,90≈9.4868,e18.(12分)已知函数,直线为曲线的切线(为自然对数的底数).(1)求实数的值;(2)用表示中的最小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.19.(12分)对于很多人来说,提前消费的认识首先是源于信用卡,在那个工资不高的年代,信用卡绝对是神器,稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买,甚至于分期买,然后慢慢还!现在银行贷款也是很风靡的,从房贷到车贷到一般的现金贷.信用卡“忽如一夜春风来”,遍布了各大小城市的大街小巷.为了解信用卡在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析,得到如下列联表(单位:人)经常使用信用卡偶尔或不用信用卡合计40岁及以下15355040岁以上203050合计3565100(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关?(2)①现从所抽取的40岁及以下的网民中,按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人,然后,再从这10人中随机选出4人赠送积分,求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率;②将频率视为概率,从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品,记其中经常使用信用卡的人数为,求随机变量的分布列、数学期望和方差.参考公式:,其中.参考数据:0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520.(12分)已知多面体中,、均垂直于平面,,,,是的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.(1)求的直角坐标方程与点的直角坐标;(2)求证:.22.(10分)如图,点为圆:上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若点,分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于,两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
由函数的图象关于直线对称,得,进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称,得,即,解得,所以,,故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度,得再将横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得”即可.故选:D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,考查图像变换,考查运算求解能力,是中档题2.A【解析】逐一考查所给的函数:,该函数为偶函数,周期;将函数图象x轴下方的图象向上翻折即可得到的图象,该函数的周期为;函数的最小正周期为;函数的最小正周期为;综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.本题选择A选项.点睛:求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.一般地,经过恒等变形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.3.D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为,又因为鸡蛋的体积为,所以球的半径为,所以球心到截面的距离,而截面到球体最低点距离为,而蛋巢的高度为,故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题,考查球体有关的知识.在解答过程中,如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时,可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面,然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.4.A【解析】
先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假,由基本不等式判断命题q的真假,从而得出p,q的非命题的真假,继而判断复合命题的真假,可得出选项.【详解】已知对于命题,由得,所以命题为假命题;关于命题,函数,当时,,当即时,取等号,当时,函数没有最小值,所以命题为假命题.所以和是真命题,所以为假命题,为假命题,为假命题,为真命题,所以真命题的个数为1个.故选:A.【点睛】本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用,以及复合命题的真假的判断,注意运用基本不等式时,满足所需的条件,属于基础题.5.B【解析】
求出,,,,,,判断出是一个以周期为6的周期数列,求出即可.【详解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一个以周期为6的周期数列,则.故选:B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.6.A【解析】
由f12=e-14>0排除选项D;【详解】由f12=e-14>0,可排除选项D,f-1=-e【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→07.A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正确答案.【详解】解:当时,,,所以,故可排除B,C;当时,,故可排除D.故选:A.【点睛】本题考查了函数图象,属基础题.8.A【解析】
根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a,b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数,按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16,故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.9.D【解析】
作,垂足为,过点N作,垂足为G,设,则,结合图形可得,,从而可求出,进而可求得,,由的面积即可求出,再结合为线段的中点,即可求出到的距离.【详解】如图所示,作,垂足为,设,由,得,则,.过点N作,垂足为G,则,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因为,所以为线段的中点,所以F到l的距离为.故选:D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识,属于中档题.10.C【解析】
根据表中数据,即可容易求得中位数.【详解】由图表可知,种子发芽天数的中位数为,故选:C.【点睛】本题考查中位数的计算,属基础题.11.C【解析】
设的最小正周期为,可得,则,再根据得,又,则可求出,进而可得.【详解】解:设的最小正周期为,因为,所以,所以,所以,又,所以当时,,,因为,整理得,因为,,,则所以.故选:C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性,考查学生分析能力和计算能力,是一道难度较大的题目.12.A【解析】
根据直线平行的等价条件,求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当m=1时,两直线方程分别为直线l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0满足l1∥l2,即充分性成立,当m=0时,两直线方程分别为y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不满足条件.当m≠0时,则l1∥l2⇒,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,则m=1,即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件,故答案为:A【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断,考查两直线平行的等价条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答,直线和直线平行,则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先根据题意,求出的解得或,然后求出f(x)的导函数,求其单调性以及最值,在根据题意求出函数有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),分情况讨论求出的取值范围.【详解】解:令t=f(x),函数有3个不同的零点,即+m=0有两个不同的解,解之得即或因为的导函数,令,解得x>e,,解得0<x<e,可得f(x)在(0,e)递增,在递减;f(x)的最大值为,且且f(1)=0;要使函数有3个不同的零点,(1)有两个不同的解,此时有一个解;(2)有两个不同的解,此时有一个解当有两个不同的解,此时有一个解,此时,不符合题意;或是不符合题意;所以只能是解得,此时=-m,此时有两个不同的解,此时有一个解此时,不符合题意;或是不符合题意;所以只能是解得,此时=,综上:的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合,考查到了函数的零点,导函数的应用,以及数形结合的思想、分类讨论的思想,属于综合性极强的题目,属于难题.14..【解析】
求出切线的斜率,即可求出结论.【详解】由图可知直线过点,可求出直线的斜率,由导数的几何意义可知,.故答案为:.【点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义,属于基础题.15.【解析】
建系,将直线用方程表示出来,再用参数表示出线段的长度,最后利用导数来求函数最小值.【详解】以为原点,所在直线分别作为轴,建立平面直角坐标系,则.设直线,即,则,所以,所以,,则,则,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以当时,最短,此时.故答案为:【点睛】本题考查导数的实际应用,属于中档题.16.1【解析】
本问题转化为曲线交点个数问题,在同一直角坐标系内,画出函数的图象,利用数形结合思想进行求解即可.【详解】问题函数在的零点个数,可以转化为曲线交点个数问题.在同一直角坐标系内,画出函数的图象,如下图所示:由图象可知:当时,两个函数只有一个交点.故答案为:1【点睛】本题考查了求函数的零点个数问题,考查了转化思想和数形结合思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)模型y=eλx+t的拟合程度更好;(2)(i)v=0.02x+3.84【解析】
(1)由相关系数求出两个系数,比较大小可得;(2)(i)先建立U额R0关于x的线性回归方程,从而得出y(ii)把y=90代入(i)中的回归方程可得x值.【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性.解:(1)r1r2则r1<r(2)(i)先建立U额R0由y=eλx+t,得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U额R0关于x所以lny=0.02x+3.84(ii)下一年销售额y需达到90亿元,即y=90,代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以所以x≈4.4998-3.84所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等,考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养,体现基础性、综合性与应用性18.(1);(2).【解析】
试题分析:(1)先求导,然后利用导数等于求出切点的横坐标,代入两个曲线的方程,解方程组,可求得;(2)设与交点的横坐标为,利用导数求得,从而,然后利用求得的取值范围为.试题解析:(1)对求导得.设直线与曲线切于点,则,解得,所以的值为1.(2)记函数,下面考察函数的符号,对函数求导得.当时,恒成立.当时,,从而.∴在上恒成立,故在上单调递减.,∴,又曲线在上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的,使.∴;,,∴,从而,∴,由函数为增函数,且曲线在上连续不断知在,上恒成立.①当时,在上恒成立,即在上恒成立,记,则,当变化时,变化情况列表如下:
3
0
极小值
∴,故“在上恒成立”只需,即.②当时,,当时,在上恒成立,综合①②知,当时,函数为增函数.故实数的取值范围是考点:函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中,和切线有关的题目非常多,我们只要把握住关键点:一个是切点,一个是斜率,切点即在原来函数图象上,也在切线上;斜率就是导数的值.根据这两点,列方程组,就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略,先求得的表达式,然后再求得的表达式,我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.19.(1)不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关;(2)①;②分布列见解析,,【解析】
(1)计算再对照表格分析即可.(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有人,偶尔或不用信用卡的有人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.②利用二项分布的特点求解变量的分布列、数学期望和方差即可.【详解】(1)由列联表可知,,因为,所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关.(2)①依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有(人),偶尔或不用信用卡的有(人).则选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率.②由列联表,可知40岁以上的网民中,抽到经常使用信用卡的频率为,将频率视为概率,即从市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为.由题意得,则,,,.故随机变量的分布列为:0123故随机变量的数学期望为,方差为.【点睛】本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点,包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式等.属于中档题.20.(1)见解析;(2).【解析】
(1)取的中点,连接、,推导出四边形为平行四边形,可得出,由此能证明平面;(2)由,得平面,则点到平面的距离等于点到平面的距离,在平面内过点作于点,就是到平面的距离,也就是点到平面的距离,由此能求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)取的中点,连接、,、分别为、的中点
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