2025年吉林省白城实验高级中学高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年吉林省白城实验高级中学高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|lnx<1}，图中阴影部分为集合M，则M的元素个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.42.某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是(

)A.14 B.13 C.123.已知函数f(x)=|x+1|−A.∃x∈R，使得f(x)+f(−x)>0

B.方程f(x)=m有两个不同实根，则实数m的取值范围是(−1,1)

C.∃x∈(0,1)，使得f(x)=f(2−x)

D.若f(a)≥f(2−a)，则实数a的取值范围是[1,+∞)4.若复数m+i2+i为实数，则实数m等于(

)A.13 B.−1 C.−125.若a>1，则4a+1a−1的最小值为(

)A.4 B.6 C.8 D.无最小值6.已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)−g(1+x)=2.若y=f(x+3)是偶函数，f(3)=1，y=g(x+2)−12是奇函数，则k=136A.372 B.352 C.3327.已知函数f(x)=cos(12x+π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移A.(π18,0) B.(π9,0)8.某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年(今年)的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是(

)A.6年 B.7年 C.8年 D.9年二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π4个单位长度，得到函数g(x)A.A=1

B.g(x)的解析式为y=2sin(23x+π3)

C.(7π2,0)是10.广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则(

)A.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万

B.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势

C.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为703.54万

D.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万11.已知直线l：y=−3x+m(m≠0)与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于M，N两点，P为MN的中点，OA.2 B.3 C.22 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x−1)为偶函数，且f(x)在[−1,+∞)上单调递增，若f(a−1)≤f(1)，则实数a的取值范围是______．13.已知M(2,0)，N(3,0)，P是抛物线C：y2=3x上一点，则PM⋅PN的最小值是14.已知复数z满足(3+4i)z=5i，则其共轭复数z的虚部为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点M(0,18)，点P到点M的距离比点P到x轴的距离大18，记P的轨迹为C．

(1)求C的方程；

(2)过点P(x0,y0)(其中x0≠0)的两条直线分别交C于E，F两点，直线PE，PF分别交y轴于A，B两点，且满足|PA|=|PB|.记16.(本小题15分)

如图1，在四边形ABCD中，E为DC的中点，AC∩BD=O，AC⊥BD，CO=DO.将△ABD沿BD折起，使点A到点P，形成如图2所示的三棱锥P−BCD.在三棱锥P−BCD中，PO⊥CO，记平面PEO、平面PDC、平面PBC分别为α，β，γ．

(1)证明：α⊥β；

(2)若AB=2,DC=22,AO=BO，求17.(本小题15分)

如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,A1B1=2,AA1=22．18.(本小题17分)

如图①，在梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC=CD=2，AB=4，E为AB的中点，以DE为折痕把ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．

(1)证明：AC⊥DE；

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D−AE−C的余弦值．

①四棱锥A−BCDE的体积为2；

②直线AC与EB所成角的余弦值为64．

19.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B.F是椭圆的右焦点，AF=3FB，AF⋅FB=3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN参考答案1.C

2.A

3.D

4.D

5.C

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.AD

11.BC

12.[−2,2]

13.5

14.−315.解：(1)由题可知，点P到点M(0,18)的距离与P到直线y+18=0的距离相等，

轨迹一：点P的轨迹是以M(0,18)为焦点，直线y+18=0为准线的抛物线，此时p=14，所以C的方程为x2=12y；

轨迹二：点P的轨迹在y轴上，x=0(y⩽0)，

综上所述，C的方程为x2=12y或x=0(y⩽0)．

(2)当直线PE、PF不是切线时，

因为|PA|=|PB|，所以△PAB为等腰三角形，

即直线PE与PF的斜率存在且互为相反数，即kPE+kPF=0，

设点E(x1,y1)，F(x2,y2)，直线PE的方程为y−y0=k(x−x0)，

联立直线PE与抛物线方程，消去y并整理得，2x2−kx+kx0−y0=0，

于是x1+x0=k2，故x116.

17.解：(1)证明：设AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，连接OO1，

则OO1⊥平面ABCD且OO1⊥平面A1B1C1D1，

又AB=4,A1B1=2,AA1=22，

所以AO=12AC=1242+42=22，

A1O1=12A1C1=1222+22=2，

则OO1=(218.证明：在图①中，

因为DC//AB,CD=12AB,E为AB中点，

所以DC//AE，DC=AE，

所以ADCE为平行四边形，

所以AD=CE=CD=AE=2，

同理可证DE=2，

在图②中，取DE中点O，连接OA,OC,OA=OC=3，

因为AD=AE=CE=CD，所以DE⊥OA，DE⊥OC，

因为OA∩OC=O，所以DE⊥平面AOC，

因为AC⊂平面AOC，

所以DE⊥AC；

(2)若选择①：因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，

所以平面AOC⊥平面BCDE且交线为OC，

所以过点A作AH⊥OC，

则AH⊥平面BCDE，

因为SBCDE=23，

所以四棱锥A−BCDE的体积VA−BCDE=2=13×23⋅AH，

所以AH=3=OA，所以AO与AH重合，所以AO⊥平面BCDE，

建系如图，则O(0,0,0),C(−3,0,0),E(0,1,0),A(0,0,3)，

平面DAE法向量为CO=(3,0,0)，

设平面AEC法向量为n=(x,y,z)，

因为CE=(3,1,0),CA=(3,0,3)，

所以3x+y=03x+3z=0，得n=(1,−3,−1)，

设二面角D−AE−C的大小为θ，

则cosθ=|CO⋅n|CO|⋅|n||=33×5=55，

所以二面角D−AE−C的余弦值为55；

若选择②：因为DC/​/EB，所以∠ACD即为异面直线AC与EB所成角，

在△ADC中，cos∠ACD=AC219.(1)解：由题意可得，A(−a,0)，B(a,0)，F(c,0)，

所以AF=(a+