安徽省池州市2025年普通高中高考数学质检试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽省池州市2025年普通高中高考数学质检试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知(1−i)z=3+i，则z−=(

)A.1+2i B.1−2i C.−1+2i D.−1−2i2.已知集合A={x|y=x−1}，B={x∈z|(x+1)(x−3)<0}，则A∩B=A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}3.春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下(单位：天)：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正确的是(

)A.这组数据的众数为5 B.这组数据的平均数为5

C.这组数据的第60百分位数为6 D.这组数据的极差为54.已知向量a,b满足|a|=1,aA.−12 B.−32 C.5.已知sinα+2cosα=0，则1−cos2α1+cos2α=(

)A.4 B.2 C.12 D.6.已知函数f(x)=ex+2,x≤0x+1x,x>0，若f2A.(2,3) B.(2,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞)7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的右支上一点，M在y轴上的射影为H，O为坐标原点.A.2 B.3 C.58.已知直线l：xcosθ+ysinθ+1=0(θ∈R)，圆C：(x−3)2+(y−4)2=4，过l上一点P作C的两条切线，切点分别为M，N，使四边形PMCN的面积为82A.3x+4y−20=0 B.9x+12y−65=0

C.11x+17y−81=0 D.19x+23y−129=0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某弹簧振子(简称振子)在完成一次简谐运动的过程中，时间x(单位：秒)与位移y(单位：毫米)之间满足函数关系为y=2sin(3x−π6),x∈[0,+∞)，下列叙述中正确的是A.当时间x=π时，该简谐运动的位移y=1

B.该简谐运动的初相为−π6

C.该函数的一个极值点为π18

D.10.定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线C：2x2+3yA.曲线C是“和美曲线”

B.点(2,0)是曲线C的一个顶点

C.曲线C所围成的封闭图形的面积S>46

D.当点11.在三棱锥A−BCD中，给定下列四个条件：

①AB⋅AC=AC⋅AD=AD⋅AB；

②AB⋅BCA.①② B.①③ C.②④ D.③④三、填空题：本题共3小题，共15分。12.在等差数列{an}中，若a1=2，a313.在学校三月文明礼仪月中，学生会4位干事各自匿名填写一张《校园设施改进建议卡》，老师将建议卡打乱顺序后，要求每人随机抽取一张进行互评审核，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡的概率为______．14.定义在R上的函数f(x)满足(x−8)⋅f(x)≥0.若∃t∈N∗，对∀x，y∈R，f(x⋅|f(y)|)⋅f(x+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=π3，且2sin(A−C)=sinB．

(1)求sinB；

(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求AB边上高线的长．

①a=321；②a=2b；16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=AD=2，CB=CD=23．

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)若PC=2PA=417.(本小题15分)

已知椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，且左、右焦点分别为F1(−3,0)，F2(3,0)．

(1)求C的方程；

(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足Q18.(本小题17分)

已知f(x)=lnx−ax−bx．

(1)若a=2，b=0，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)设ba=k，是否存在k，使得曲线y=f(x)与y=f(−1x)关于原点对称？若存在，求k；若不存在，说明理由；

(3)证明：对任意19.(本小题17分)

设正项数列A：a1，a2，…，aN(N≥2)，如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak<λan，则称n是数列A的一个“λ时刻”.记A(λ)是数列A的所有“λ时刻”组成的集合(其中0<λ<1)．

(1)若A：2，6，6，36，48，求A(12)；

(2)若A(λ)={2,4,6,8,10}，且a10≤32a1，证明：答案解析1.【答案】B

【解析】解：(1−i)z=3+i，

则z=3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i，

故z−=1−2i．2.【答案】C

【解析】解：集合A={x|y=x−1}={x|x≥1}，B={x∈z|(x+1)(x−3)<0}={0,1,2}，

故A∩B={1,2}．

故选：C．

3.【答案】C

【解析】解：将这组数据从小到大排列为：4，4，5，5，6，6，7，8，

这组数据的众数为4，5，6，A错误；

这组数据的平均数为4+4+5+5+6+6+7+88=458，B错误；

因为8×0.6=4.8，所以这组数据的第60百分位数为6，C正确；

这组数据的极差为8−4=4，D错误．

故选：C．4.【答案】A

【解析】解：已知向量a,b满足|a|=1,a⋅(a−2b)=2，

则a2−2a⋅b5.【答案】A

【解析】解：因为sinα+2cosα=0，

所以sinα=−2cosα，

则1−cos2α1+cos2α=2sin2α2cos26.【答案】B

【解析】解：令t=f(x)，

则方程f2(x)−(a+2)f(x)+2a=0可转化为t2−(a+2)t+2a=0，

对t2−(a+2)t+2a=0进行因式分解，

可得(t−2)(t−a)=0，

则t1=2，t2=a，

所以f(x)=2或f(x)=a．

当x≤0时，f(x)=ex+2，

因为指数函数y=ex在(−∞,0]上单调递增，

所以f(x)=ex+2在(−∞,0]上单调递增，

且f(x)∈(2,3]．

当x>0时，f(x)=x+1x，

对其求导，f′(x)=1−1x2=x2−1x2=(x+1)(x−1)x2．

令f′(x)=0，

即(x+1)(x−1)x2=0，解得x=1(x>0)．

当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，f(1)=1+11=2．

对于f(x)=2，

当x>0时，x+1x=2，即x2−2x+1=0，(x−1)2=0，解得x=1，有1个根．

因为f2(x)−(a+2)f(x)+2a=0有4个互不相同的根，

f(x)=2有1个根，

7.【答案】D

【解析】解：如图，

设MF1与HF2交于点Q，因为HN=3NF2，所以HN=3F2N，

因为ON//F1M，所以N为F2Q中点，即QN=NF2，所以HQ=2F2N=F2Q，

所以Q为HF2中点，又因为HM//F1F2，所以△F1F2Q≌△MHQ，MH=2F1F2=2c，

则设点M(2c,y)，则H(0,y)，N(34c,y4)，所以MN=(−5c4,−3y4)，HF2=(c,−y)8.【答案】B

【解析】解：如图，SPMCN=2×12×2×|PM|=82.解得|PM|=42．

所以|PC|=|PM|2+|CM|2=32+4=6，因这样的点P有且仅有一个，

由图知此时CP⊥l，则圆心C(3.4)到直线l：xcosθ+ysinθ+1=0的距离为6，

即6=|3cosθ+4sinθ+1|cos2θ+sin2θ，化简得|5sin(θ+φ)+1|=6，其中sinφ=35,cosφ=45，

∴sin(θ+φ)=1，则θ+φ=π2+2kπ(k∈Z)，

∴cosθ=cos(π2−φ)=35sinθ=sin(π2−φ)=45，

所以l：35x+45y+1=0，即3x+4y+5=0，则直线CP的斜率为43，

所以直线CP：y−4=43(x−3)，即4x−3y=0，

联立4x−3y=03x+4y+5=0，解得x=−39.【答案】ABD

【解析】解：对于A，f(π)=2sin(3π−π6)=2sinπ6=2×12=1，故正确；

对于B，由题意可知该简谐运动的初相为−π6，故正确；

对于C，f(π18)=2sin(3×π18−π6)=2sin0=0≠±2，故错误；

对于D，由x∈[0,π6]，可得3x−π6∈[−π6,π3]，

令10.【答案】AD

【解析】解：对于A，将(−x,−y)代入曲线方程，易知成立，故曲线关于原点对称，

将(−x,y)，(x,−y)代入，易知成立，故曲线关于坐标轴对称，故A正确；

对于B，令y=0可得：x2=3，即x=±3，故B错；

对于C，2x2+3y2=6−x2y2≤6，

所以曲线C所围成的封闭图形在椭圆x23+y22=1内部，

而椭圆面积为：π×3×2=11.【答案】ACD

【解析】解：由①−②得AB2=AC2=AD2，即|AB|=|AC|=|AD|，

所以cos∠BAC=cos∠CAD=cos∠DAB，所以|BC|=|CD|=|DB|，

所以由①②一定能断定三棱锥A−BCD是正三棱锥，选项A正确；

由①得AD⋅AB−AB⋅AC=AB⋅AC−AC⋅AD=AC⋅AD−AD⋅AB，

化简即为③，所以由12.【答案】16

【解析】解：因为等差数列{an}中，a1=2，a3=6，

所以d=2，

则a2+a613.【答案】14【解析】解：恰好有2位干事抽到自己所写建议卡，相当于从4人中选两人交换自己的卡，有C42=6种可能，

而每人随机抽取一张有A44=24种可能性，

则相应概率为P=C42A44=14.【答案】4

f(x)=2,x>8【解析】解：由(x−8)⋅f(x)≥0得：当x≥8时，f(x)≥0；当x≤8时，f(x)≤0．

假设∃x0∈R，使得f(x0)=0，则题意得f(x⋅|f(x0))⋅f(x+|f(x0)|)=t，即f(0)⋅f(x)=t，

取x≥8时，有f(0)⋅f(x)≤0，即t<0这与t∈N∗矛盾．

所以不∃x0∈R，使得f(x0)=0．

综上，当x≥8时，f(x)>0；当x<8时，f(x)<0①．

当x>8时，f(x)>0；当x≤8时，f(x)<0②．

对于①而言：

当x⋅|f(y)|≥8时，即x≥8|f(y)，则f(x⋅|f(y))>0，所以f(x+f2(y))>0，所以x+f2(y)≥8，

注意到x的任意性，所以8|f(y)|+f2(y)≥8，

当x⋅|f(y)|<8时，即x<8|f(y)，则f(x⋅|f(y))<0，所以f(x+f2(y))<0，所以x+f2(y)<8，注意到x的任意性，所以8|f(y)|+15.【答案】217；

选①或③，AB边上高线的长为9；选②，△ABC【解析】解：(1)由题意知2sin(A−π3)=sinB，又A+B=2π3，

所以2sin(π3−B)=sinB，所以2(sinπ3cosB−cosπ3sinB)=sinB，

化简得3cosB=2sinB，所以tanB=32，

所以sinB=37=217；

(2)由(1)知A，B，C为定值，

若选①：a=321，

由正弦定理可知，△ABC存在且唯一确定，

记AB边上高为ℎ，则ℎ=asinB=321×217=9，

所以AB边上高线的长为9；

若选②：a=2b，

由(1)知sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=217×12+277×32=32114，

由正弦定理知sinAsinB=32≠ba，所以△ABC不存在；

若选③：△ABC的周长为7316.【答案】证明见解析；

155【解析】解：(1)证明：取BD的中点E，

由AB=AD得AE⊥BD，

由CB=CD，得CE⊥BD，又AE，CE⊂平面ABCD，

所以A，E，C三点共线，

所以AC⊥BD，

由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，

又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC．

(2)由PC=2PA=42，得AC=4，

又AD=2，CD=23，所以AD⊥CD，

如图，以D为坐标原点，以直线DC为x轴，直线DA为y轴，过D作z轴/​/PA，建立直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(0,2,0)，B(3,3,0),C(23,0,0),P(0,2,4)，

记平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，

则有n⊥DCn⊥DP，则n⋅DC=0n⋅DP=0，即23x=02y+4z=0，

则x=0，令z=−1，得y=2，

所以取平面PCD的一个法向量为n=(0,2,−1)，

记平面PAC的法向量为m=13DB=(1,3,0)，

所以cos<m，17.【答案】x218+y29=1；【解析】解：(1)由题意可设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，且2a=22b，c=3，

所以a=2ba2=b2+9，解得a2=18，b2=9，

所以C的方程为x218+y29=1．

(2)设点Q(x,y)，P(x0,y0)，所以QF2=(3−x,−y)，PQ=(x−x0,y−y0)，

由QF2=2PQ得3−x=2(x−x0)−y=2(y−y0)，解得x0=3x−32y0=3y2，

又18.【答案】x+y+1=0；

存在，k=−1；

证明见解析．

【解析】解：(1)函数f(x)=lnx−2x，求导得f′(x)=1x−2，则f′(1)=−1，而f(1)=−2，

所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+2=−(x−1)，即x+y+1=0．

(2)若存在k，则b