天津市十二区重点学校2025年高考数学一模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年天津市十二区重点学校高考数学一模试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1}，B={0,1,2,3}，则(∁UA)∩B=A.{−1,2,3} B.{2,3} C.{−1,3} D.{3}2.已知a、b∈R，则“ab≥0”是“|a+b|=|a|+|b|”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件3.若a=1.20.3，b=0.31.2，c=A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a4.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是(

)A.若m//n，m//α，则n//α B.若m//n，α//β，m⊥α，则n⊥β

C.若α⊥β，β⊥γ，则α//β D.若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m//n5.下列说法错误的是(

)A.若随机变量X～N(μ,σ2)，则当σ较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中

B.在做回归分析时，可以用决定系数R2刻画模型的回归效果，若R2越大，则说明模型拟合的效果越好

C.若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为3，则3x1+1，3x2+1，…，3xn+1的平均数为10

D.一组数据6，7，7，6.若将lny=lnx+ln(y−x)确定的两个变量y与x之间的关系看成y=f(x)，则函数y=f(x)的图象大致为(

)A. B.

C. D.7.已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点A.2 B.3 C.2 8.风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源.如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形EFDC为矩形，且DF⊥AB，AC=BC=3，∠ACB=120°，当AE⊥BE时，多面体ABCEF的体积为(

)A.964 B.9389.设符号函数sgn(x)=−1,x<00,x=01,x>0，已知函数f(x)=2sgn(cosx)cosx，则A.2π为f(x)的最小正周期

B.f(x)图象的对称轴方程为x=kπ(k∈Z)

C.f(x)在[2π3,4π3]上单调递增

D.函数二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，复数z满足2z+z−=6+i，则|z|=11.二项式(x−2x)6的展开式中，x4项的系数是______12.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，P在C上，若以PF为直径的圆与x轴相切于点M(1,0)，则|PF|=

．13.某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案一共有______种；若定义事件A为甲和乙选择的课程不同，事件B为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则P(B|A)=______．14.平面四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠CBD=30°，|BC|=3，点O为线段BD的中点．

(Ⅰ)若∠ABD=30°，则AC⋅AO=______；

(15.函数f(x)=|x+3|−2,x≤a−x2+ax+f(a),x>a，若f(x)三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点.(I)求证：CM//平面DB117.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ccosA2=asinC．

(I)求角A的大小；

(Ⅱ)若b=1，cosB=277，求a的值；

(Ⅲ)若18.(本小题15分)

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−1,0)，离心率为12．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若椭圆C的右顶点为D，点E的坐标为(0,1)，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点P，l与线段DE交于点Q.若三角形FDP的面积是三角形19.(本小题15分)

数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1.已知ab1,ab2,ab3,⋯,abn为等比数列，且b1=2，b2=6，b3=22．

(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{an}中的项落在区间(3bm,3b20.(本小题16分)

已知函数f(x)=(x+k)lnx，g(x)=x+asinx+blnx．

(Ⅰ)若k=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)当x>1时，f(x)>2(x−1)恒成立，求实数k的取值范围；

(Ⅲ)设0<a<1，b<0，若存在x1，x2∈(0,+∞)，使得g(x1)=g(答案解析1.【答案】B

【解析】解：因为集合U={−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1}，B={0,1,2,3}，

所以∁UA={2,3}，

故(∁UA)∩B={2,3}．

故选：B2.【答案】C

【解析】解：根据题意，当ab≥0时，即|a+b|=|a|+|b|，

反之，当|a+b|=|a|+|b|时，必有ab≥0．

故“ab≥0”是“|a+b|=|a|+|b|”的充分必要条件．

故选：C．

由绝对值的性质分析“ab≥0”和“|a+b|=|a|+|b|”的关系，即可得答案．

本题考查充分、必要的判断，注意充分、必要的定义，属于基础题．3.【答案】A

【解析】解：a=1.20.3>1，b=0.31.2∈(0,1)，c=log30.3<0，

故a>b>c．

故选：A．

结合函数单调性分别判断a，b，c4.【答案】B

【解析】解：若m//n，m//α，则n//α或n⊂α，所以A选项错误；

若m//n，α//β，m⊥α，则n⊥β，所以B选项正确；

若α⊥β，β⊥γ，则α//β显然错误，所以C选项错误；

若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m与n异面，所以D选项错误．

故选：B．

根据空间中各要素的位置关系，逐项判断即可．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．5.【答案】D

【解析】解：对于A中，若随机变量X～N(μ,σ2)，则当n较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量λ的分布比较集中，所以A正确；

对于B中，在做回归分析时，可以用决定系数R2刻画模型回归效果，R2越大，说明模型拟合的效果越好，所以B正确；

对于C中，若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为3，则3x1+1，3x2+1，⋯，3xn+1的平均数为3×3+1=10，故C正确；

对于D中，一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21，共10个数据，6.【答案】C

【解析】解：根据题意，lny=lnx+ln(y−x)，则有lny=ln[x(y−x)]．

由对数的运算性质可得：y=x(y−x)=xy−x2，

变形可得y=x2x−1，

又由x>0，y>0，则有x>1，

所以f(x)=x2x−1(x>1)，由函数的定义域排除A、B，

由f(2)=4，排除D．

故选：C7.【答案】D

【解析】解：已知|PF1|=b，可知P在双曲线左支上，

由双曲线定义可得：|PF2|−|PF1|=2a，

则|PF2|=|PF1|+2a=b+2a，

∵PF1⋅PF2=0，∴PF1⊥P8.【答案】A

【解析】解：在矩形CEFD中，有FD⊥CD，CE//FD，

因为DF⊥AB，AB∩CD=D，AB，CD⊂平面ABC，

所以FD⊥平面ABC，则CE⊥平面ABC，

因为AC，BC⊂平面ABC，

所以CE⊥AC，CE⊥BC，

在△ABC中，由AC=BC=3，∠ACB=120°，

则AB=2⋅AC⋅sin60°=33

又因为D为AB的中点，则CD⊥AB，

易知CD=AC⋅cos60°=32，

AB=2AD=2×ACsin60°=33，

易知△ECA≌△ECB，则AE=BE，因为AE⊥BE，

则AE=AB⋅sin45°=362，

在Rt△ACE中，CE=AE2−AC2=(362)2−32=322，

则矩形CDFE的面积S=CD⋅CE=39.【答案】D

【解析】解：根据题意可得f(x)=2sgn(cosx)cosx=−2cosx,cosx<00,cosx=02cosx,cosx>0，

所以作出其图象如下：

因为f(x+π)=2cosx,cosx>00,cosx=0−2cosx,cosx<0=f(x)，所以π为f(x)的周期，故A选项错误；

由图象知f(x)图象的对称轴方程为x=kπ2(k∈Z)，故B选项错误；

f(x)在[2π3,4π3]上先单调递增，再单调递减，故C错误；

函数g(x)=f(x)−1在[−π,π]上的零点个数，

转化为方程f(x)=1在[−π,π]上的解的个数，

转化为函数y=f(x)与y=1的交点个数，

由图知：函数y=f(x)与y=1有4个交点，

所以函数g(x)=f(x)−110.【答案】10【解析】解：设z=a+bi，a，b∈R，

则2(a+bi)+(a−bi)=6+i，

可得2a=6且b=1，

故a=3，b=1，z=3+i，

故|z|=32+12=10．

11.【答案】−12

【解析】解：二项式(x−2x)6的通项为Tr+1=C6rx6−r(−2x)r=C6r(−212.【答案】2

【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点为F(0,1)，P在C上，若以PF为直径的圆与x轴相切于点M(1,0)，

可知圆的圆心在x=1的直线上，并且圆心到(1,0)，(0,1)距离相等，

所以圆的圆心(1,1)，半径为1，则|PF|=2．

故答案为：13.【答案】30

815【解析】解：第一空：每门课至少一人选，且甲乙选不同课程．甲乙选法有A32=6种，

剩余丙丁分配，需保证第三门课有人，

丙丁总分配方法有32=9种，减去都不选第三门的方法22=4种，

所以丙丁的分配方法有9−4=5种，

所以总方案有6×5=30种；

第二空：计算P(AB)：甲乙中有一人选“九章算术”：选法有12C21C=4种，丙丁选法有C21=2种，

所以共有4×2=8种，

甲乙都不选“九章算术”：有A22=2种选法，丙丁选法有12C21C=4种，

所以共有2×4=8种，

所以事件AB14.【答案】32

[0,【解析】解：(I)如图，连接CO，

因∠A=∠C=90°，∠CBD=∠ABD=30°，O为线段BD的中点，

则CO=AO=CD=AD=OD=12BD=1,∠CDO=∠ADO=∠COD=∠AOD=60°，

故四边形AOCD为菱形，则AC=3，

AC⋅AO=|AC|⋅|AO|cos〈AC,AO〉=3×32=32；

(Ⅱ)如图，以C为原点，以CB，CD所在直线为x轴和y轴，建立如图平面直角坐标系，

在△BCD中可知，AB=2，CD=1，则D(0,1),B(3,0),O(32,12)，

设A(x,y)，则CA=(x,y),AO=(32−x,12−y)，

因∠A=∠C=90°，则点A的轨迹为以BD为直径的圆，

方程为圆O：(x−32)2+(y−12)2=1，欲使其构成平面四边形，则其轨迹为半圆，

因AC−2AO=(x−3,y−1)15.【答案】(−5,−2)∪(−2,+∞)

【解析】解：作出y=|x+3|−2=x+1,−3<x−x−5,x≤−3的图象，如图所示：

由图知，当a≥−1时，

f(x)在x∈(−∞,a]上有2个零点，

则f(x)=−x2+ax+|a+3|−2=−x2+ax+a+1在x∈(a,+∞)有且仅有一个零点，

对称轴x=a2≥−12，

又f(−1)=−1−a+a+1=0，f(a+1)=−(a+1)2+a(a+1)+a+1=0，

则a≥−1满足题意；

当−3≤a<−1时，f(x)在x∈(−∞,a]上有1个零点，

则f(x)=−x2+ax+|a+3|−2=−x2+ax+a+1在x∈(a,+∞)有2个零点，

易知f(−1)=f(a+1)=0，

所以只需a+1≠−1即可，

此时−3≤a<−2或−2<a<−1；

当a<−3时，

要使f(x)有三个零点，则a≥−5，

且f(x)=−x2+ax+|a+3|−2=−x2+ax−a−5在x∈(a,+∞)有2个零点，

此时对称x=a2∈[−52,−32),

又f(0)=−a−5≤0，

则Δ=a2−4a−20>0−a2+a2−a−5<0，

即Δ=a2−4a−20>016.【答案】(Ⅰ)证明见解答；(Ⅱ)33；(Ⅲ)【解析】解：(Ⅰ)证明：由题意，以C为原点，以CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

因为AC=BC=2，CC1=3，AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点，

可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C1(0,0,3)、A1(2,0,3)、B1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3)，

则C1M=(1,1,0)，

设平面DB1E的法向量为n=(x,y,z)，

因为EB1=(0,2,1)，ED=(2,0,−1)，

且n⋅EB1=0n⋅ED=0，可得2y+z=02x−z=0，

取x=1，则y=−1，z=2，

所以n=(1,−1,2)，

则C1M⋅n=0，故C1M⊥n，

因为C1M⊄平面DB1E，

所以C1M/​/平面DB1E；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得n=(1,−1,2)为平面DB1E的一个法向量，

又AB=(−2,2,0)，

所以cos<AB17.【答案】(Ⅰ)π3；

(Ⅱ)72；

【解析】解：(Ⅰ)因为ccosA2=asinC，由正弦定理可得sinCcosA2=sinA⋅sinC，

在△ABC中，sinC>0，

可得cosA2=2sinA2cosA2，

因为A∈(0,π)，所以A2∈(0,π2)，可得cosA2>0，

可得sinA2=12，可得A2=π6，

即A=π3；

(Ⅱ)b=1，cosB=277，可得sinB=1−cos2B=1−47=217，

由正弦定理可得：asinA=bsinB，即a32=121718.【答案】(Ⅰ)x24+y23【解析】解：(Ⅰ)因为椭圆C的左焦点为F(−1,0)，离心率为12，

所以c=1ca=12a2=b2+c2，

解得a=2b=3，

则椭圆C的方程为x24+y23=1；

(Ⅱ)易知直线l的斜率存在且为正，直线DE方程为y=−12x+1，

因为三角形FDP的面积是三角形FOQ面积的5倍，

所以S△FDPS△FOQ=12|FD||FP|sin∠PFD12|FO||FQ|sin∠PFD=5，

即|FD||FO|=3，

所以|FP||FQ|=|yP||yQ|=53，

易知P、Q均在y轴右侧，

所以yP=53yQ，

设直线l方程为x=my−1，

联立y=−12x+1x=my−1，

19.【答案】(Ⅰ)an=3n−2，bn=4n+23【解析】解：(Ⅰ)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意可得：a62=a2a22，

即(1+5d)2=(1+d)(1+21d)，解得d=3(d≠0)，

则an=1+3(n−1)=3n−2．

由a2=4，a6=16，得abn=4n，

又abn=3bn−2，∴3bn=4n，即bn=4n+23；

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知，3bm=4m+2，3bm+1=4m+1+2，

数列{an}中的项落在区间(3bm,3bm+1)中的项数满足4m+2<3n−2<4m+1+2，

即4m+43<n<4m+1+43，

∵4m+43=Cm030+Cm131+...+Cmm3m+43=23+1+Cm1+...+Cmm3m−1

4m+1+43=Cm+1030+Cm+1131+...+Cm+1m+13m+1+43

=23+1+Cm+120.【答案】(Ⅰ)y=2x−2；

(Ⅱ)[1,+∞)；

(Ⅲ)证明见解答．

【解析】解：(Ⅰ)当k=1时，f(x)=(x+1)lnx，f′(x)=lnx+(x+1)x，

∴f′(1)=2，又f(1)=0，∴切线方程为y=0=2(x−1)，即y=2x−2．

(Ⅱ)设m(x)=f(x)−2(x−1)=(x+k)lnx−2x+2，则m′(x)=f(x)−2(x−1)=lnx+k−1，