重庆八中2024-2025学年高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页重庆八中2024-2025学年高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛掷同一枚硬币两次，若事件A=“至少有一次正面朝上”，则事件A−=A.两次均正面朝上 B.至多有一次正面朝上

C.两次均反面朝上 D.至少有一次反面朝上2.甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为(

)A.16 B.112 C.1183.函数f(x)=A. B.

C. D.4.两双不同的鞋，其中一双的两只记为a左，a右.另一双的两只记为b左，b右.从中随机取出2只，记事件A=“取出的鞋不成双”；A.A包含于B B.P(A−B)=13 5.过原点的直线与f(x)=lnx+A.0 B.1 C.e D.16.正项数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1A.120 B.125 C.57 D.2477.定义在(0,π2)上的函数f(x)A.2f(π6)<f(8.已知椭圆x29+y225=1和双曲线y2a2−x2b2=1(a>0A.32 B.145 C.52二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩(单位：厘米)如下：

甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263

乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252

则下列说法正确的是(

)A.甲组数据的第75百分位数是255

B.乙组数据的众数是245

C.从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为740

D.10.椭圆C：x24+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，圆O是以椭圆C的短轴为直径的圆，MN为圆O的一条直径A.若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为233

B.若∠F1PF2=90°，则直线PF2被椭圆C截得的弦长为11.定义域为R的函数f(x)的导函数记为g(x)，g(x)的导函数为A.g′(2025)=0 B.f三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F倾斜角为45°的直线与C交于13.若函数f(x)=ex+14.(1+mx2)cos四、解答题：本题共5小题，共148分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

记Sn是公差大于0的等差数列{an}的前n项和，a1=1，且a3，a5+1，a13−1成等比数列．

(1)求a16.(本小题100分)

某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组(如图)：

(1)求m的值，并估计本次竞赛成绩的平均分．

(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为[70,80)和[80,90)的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自[80,90)组的学生的概率．

(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：x1，x2，x17.(本小题12分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均相等，D，E，F，G是棱AC，CC1，B1C1，AA1的中点，C1D18.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx+x2+ax，a∈R．

(1)求f(x19.(本小题12分)

双曲线Ei：25x2−my2=ai2(ai>0,i=1,2,⋯,n)的离心率为414，斜率为k1的直线l1和斜率为k2的直线l2均过原点，且分别与E1，E2，⋯，En的右支交于点A1，A2，⋯，An和点B1，B2，⋯，Bn．

(1)求实数m的值；

(2)作斜率为k的过原点的直线l答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因为事件A=“至少有一次正面朝上”，

所以事件A−=“两次均反面朝上”，故C正确，ABD错误．

故选：C．

2.【答案】B

【解析】解：因为甲、乙两人各抛掷一枚骰子，所以共有6×6=36种情况，

点数之和为4的有(1,3)，(2,2)，(3,13.【答案】B

【解析】解：对于f(x)=2x−3ex(x−1)，有f(0)=0−3e0(0−1)=3>0，当x>32时，f(x)>0恒成立，

对于A4.【答案】D

【解析】解：A包含：a左，b右；a左，b左；a右，b右；a右，b左；

B包含：a左，b左；a右，b右；

随机取出2只，所有可能结果：a左，a右；b左，b右；a左，b右；a左，b左；a右，b右；a右，b左；

A−包含：a左，a右；b左，b右；

对于A：A包含B5.【答案】A

【解析】解：因为f(x)=lnx+2，g(x)=ex+a，

所以f′(x)=1x，g′(x)=ex，

因为切线方程过原点，所以设切线方程为y=kx，

且设y=kx和f(x)=lnx+2的切点为(x0,lnx0+2)，

所以由导数的几何意义得k=f′(x0)=1x0，

6.【答案】A

【解析】解：因为f(x)=x3+an+1x2+(an+12)2x，

所以f(x)=x[x2+an+1x+(an+12)2]，而f(0)=0，

因为函数f(x)=x3+an+1x2+(an+12)2x有且仅有两个零点，

则方程x7.【答案】C

【解析】解：由于x∈(0,π2)，因此cosx>0，sinx>0，

根据f(x)>f′(x)tanx，可得f(x)>f′(x)×sinxcosx，

那么f(x)cosx>f′(x)sinx，所以f(x)cosx−f′(x)sinx>0，

设函数F(x)8.【答案】B

【解析】解：椭圆x29+y225=1和双曲线y2a2−x2b2=1(a>0, b>0)有公共焦点F1，F2(F1为上焦点)，椭圆与双曲线在第一象限交于点P，

如图所示，设双曲线的实轴长为2a，由题意：F1(0,4)，F2(0,−4)，

不妨令|PF19.【答案】BC【解析】解：对于选项A，因为12×75%=9，

所以第75百分位数为254+2552=254.5，故A错误；

对于选项B，我们发现245出现了2次，其它数据只出现了1次，

则乙组数据的众数是245，故B正确；

对于选项C，甲组中跳远成绩在248.5厘米以上的有7人，其概率为712，

乙组中跳远成绩在248.5厘米以上的有3人，其概率为310，

由独立事件概率公式得所求概率P=712×310=740，故C正确；

对于选项D，甲组的平均成绩为244+245+245+246+248+251+25110.【答案】AD【解析】解：因为椭圆C：x24+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，

圆O是以椭圆C的短轴为直径的圆，MN为圆O的一条直径(M在第一象限)，直线PN与圆O的另一个交点为R，

所以a=2，b=2，c=2，所以F1(−2,0)，F2(2,0)，

对于A，因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=4，

而|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|∠F1PF2=|F1F2|2，即|PF1|2+|PF2|2−|PF1||PF2|=8，

则(|PF1|+|PF2|)2−3|PF1||PF2|=8，得42−3|PF1||PF2|=8，故|PF1||PF2|=83，

所以S△F1PF2=12|PF1||PF2|∠F1PF2=12×83×32=233，故A正确；

对于B，若∠F1PF2=90°，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8，

又|PF1|+|11.【答案】AC【解析】解：因为f(34+2025x)−2025x为偶函数，

所以f(34−2025x)+2025x=f(34+2025x)−2025x，

故f(34+2025x)−f(34−2025x)=4050x，

两边同时求导得：2025g(34+2025x)+2025g(34−2025x)=4050，

即g(34+2025x)+g(34−2025x)=2，

所以g(x)的图象关于(34,1)对称，

继续求导，得2025g′(34+2025x)−2025g′(34−2025x)12.【答案】2

【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(p2,0)，

由题意可得直线AB的方程为：y=x−p2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y2=2pxy13.【答案】(1【解析】解：因为f(x)=ex+1−a(x+2)，所以f′(x)=ex+1−a，

当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，不可能有两个零点，

当a>0时，令f′(x)14.【答案】(−【解析】解：根据题意：m≤1−cosxx2cosx对∀x∈[0,π2)恒成立，

设函数f(x)=1−cosxx2cosx，那么导函数f′(x)=2cos2x−2cosx+xsinxx3cos2x，

设函数g(x)=2cos15.【答案】an=n；Sn=【解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则d>0，

因为a3，a5+1，a13−1成等比数列，

所以(1+4d+1)2=(1+2d)×(1+12d−1)，

解得d=1或d=−12(舍)，

所以an=1+n16.【答案】m=0.015；69；

35；

【解析】解：(1)根据题意可得10×(0.010+m+0.025+0.030+m+0.005)=1，解得m=0.015，

所以平均数估计为x−=10×(0.010×45+0.015×55+0.025×65+0.030×75+0.015×85+0.005×95)=69分；

(2)若从样本成绩为[70,80)和[80,90)的学生中共抽取6人，

且成绩在[70,80)的人数为6×0.30.3+0.15=4人，

在[70,80)的人数为6×0.150.3+0.15=2人，

即从[70,80)的学生中取4人，从[80,90)中取2人，

设这6名学生分别为1，2，3，4，5，6，2人中有来自[80,90)组的学生的概率为P，

则基本事件为(1,2)，(117.【答案】证明见解析；

154【解析】(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均相等，

所以不妨设棱长为4，则AB=AC=BC=CC1=A1C1=4，

得到△ABC是等边三角形，因为D是AC的中点，

所以DB⊥AC，且C1D⊥平面ABC，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系，

因为C1D⊥平面ABC，所以C1D⊥AC，

因为D，E，F，G是棱AC，CC1，B1C1，AA1的中点，

所以CD=2，而CC1=4，由勾股定理得C1D=23，

同理可得BD=23，则B(23,0,0)，C(0,−2,0)，C1(0,0,23)，D(0,0,0)，

A(0,2,0)，A1(0,4,23)，由中点坐标公式得E(0,−1,3)18.【答案】a≥−22时，单调增区间是(0,+∞)，无减区间；

当a<−22【解析】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x+2x+a=2x2+ax+1x，

令g(x)=2x2+ax+1，x>0，对称轴为：x=−a4，

当x=−a4>0时，即a<0，

若Δ=a2−8≤0，即−22≤a<0，此时g(x)>0，即f′(x)>0恒成立，

此时f(x)的单调增区间是(0,+∞)，无减区间；

若Δ=a2−8>0，即a<−22，抛物线开口向上，与x轴有两个交点；

令2x2+ax+1=0，可得：0<x1=−a−a2−84<x2=−a+a2−84，

此时在(0,−a−a2−84)，g(x)>0，即f′(x)