2024-2025学年河南省开封市高二下册3月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年河南省开封市高二下学期3月月考数学检测试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．2．请将答案正确填写在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（8小题，每题5分，共40分）1.下列函数的求导不正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断.【详解】对于A：由幂函数的导数公式得.故A正确；对于B：由导数的四则运算得.故B正确；对于C：因为常值函数的导数为0，所以.故C错误；对于D：由导数的四则运算得.故D正确.故选：C.2.若，则（）A. B.6 C.3 D.-3【正确答案】C【分析】由导数的定义可得；【详解】.故选：C.3.函数的极大值点是（）A. B.1 C. D.【正确答案】B【分析】利用导数研究函数的区间单调性求极大值点即可.【详解】由题设，当时，当或时，所以在、上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值点是1.故选：B4.已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用导函数的正负及变化规律即可判断.【详解】由的图象可知，，所以的图象单调递增，因为的值先增大后减小，所以的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A正确.故选：A.5.已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先设切点，再求导，根据题意列出，求解即可得出.【详解】易知，定义域为，曲线与轴相切，设切点为，，易得，故，又，，故，解得.故选：B.6.已知函数，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先对求导，再令求得，进而得到与，再依次求即可得解.【详解】因为，所以，则，得，故B错误；所以，，则，，，故AD错误，C正确.故选：C.7.已知函数，若有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】当时，利用导数，判断函数的单调性，求得其最值，结合的解析式，进而作出函数的大致图象，将有三个不同的零点转化为函数图象有三个交点的问题，数形结合，可得答案.【详解】当时，，故当时，单调递减，当时，单调递增，故，且时，，当时，，由此作出函数的大致图象如图：由有三个不同的零点，即函数的图象与有三个不同的交点，结合图象，可得，故选：C8.若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可.【详解】由不等式恒成立，且，分离参数得，所以，即，设，得，，设，，则.，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以.所以.故选：C.二、多选题（3小题，每题6分，共18分）9.下列命题正确是（）A.若，则B.设函数，且，则C.已知函数，则D.【正确答案】BD【分析】由基本函数的导数公式求出各项的导数后，再逐项代入判断即可.【详解】A：，故A错误；B：，令，所以，故B正确；C：，所以，故C错误；D：，故D正确；故选：BD10.对于函数，下列说法正确的有（）A.在处取得极大值 B.在处取得最大值C.有两个不同零点 D.【正确答案】ABD【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A、B，令函数等于0，求出零点即可判断C，利用函数单调性即可判断D.【详解】函数的导数，令得，则当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确，由上述可知当时，函数的极大值即为最大值，且最大值为，故B正确，由，得，得，即函数只有一个零点，故C错误，由，所以，由时，函数为减函数，知，故成立，故D正确．故选：ABD．11.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（）A.一定有两个极值点B.函数在R上单调递增C.过点可以作曲线的2条切线D.当时，【正确答案】BCD【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知，，恒成立，所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；设切点为，则，切线方程为，代入点得，即，解得或，所以切线方程为或，C正确；易知，令，则．当时，，，所以点是的对称中心，所以有，即．令，又，所以，所以，D正确．故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（3小题，每题5分，共15分）12.已知函数，则的极小值为______．【正确答案】【分析】先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，进而可求出极值.【详解】因为，所以，由得；由得；所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为.故答案为.13.已知函数在时有极值0，则______．【正确答案】11【分析】求出函数的导数，由题意列出方程组，求得的值，经验证后，即可确定的值，即可求得答案.【详解】由函数，得，由题意得，解得或，当时，，仅当时等号成立，此时在R上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，令，则或，令，则，即在上均单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，且，则，即符合题意，故，故1114.某生产厂家生产一种产品的固定成本为万元，并且每生产百台产品需增加投入万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台，），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大..【正确答案】6【分析】设销售利润为，利用导数求出的最大值即可.【详解】设销售利润为，依题意可得，，，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以时，取得极大值，也是最大值，所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大.故6.本题考查函数应用问题以及运用导数求最值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.四、解答题（5小题，77分）15.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围．【正确答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）求出函数的定义域以及导数，结合定义域，讨论和情况下，导数的正负，即可得到的单调性；（2）求出，则在上是单调增函数等价于在上恒成立，分离参数，即在恒成立，令，利用导数求出函数在上的最大值，即可得到实数的取值范围【详解】（1）函数，则函数的定义域为．①当时，故函数在上单调递增；②当时，在有故在单调递减；在有故在上单调递增．综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上为单调递减，在上为单调递减增（2）由，得．若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立．令，则．当时，，在上为减函数，则所以，即的取值范围为．本题考查函数单调性与导数的关系，通过导数求单调性以及最值，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题．16.已知函数（1）当时，求函数的极值.（2）求函数的单调区间.【正确答案】（1）极大值为，极小值为；（2）答案见解析【分析】（1）求出定义域，求导，令得或，并得到函数单调性，求出极值；（2）求定义域，求导，分，，和四种情况，求出函数单调区间.【小问1详解】当时，的定义域为，故，令得或，令得或，令得，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，故极大值为，极小值为；【小问2详解】的定义域为，，当时，令得，令得，故单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，令得或，令得，故单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，此时恒成立，故单调递增区间为；当时，，令得或，令得，故单调递增区间为，单调递减区间为；综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.17.已知函数（1）求的单调减区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【正确答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据导数与单调性的关系即得；（2）根据导数与函数的最值的关系可得函数的最大值，可得，结合条件进而即得.【小问1详解】由，求导可得,由，可得或，所以函数的单调减区间为，；【小问2详解】因为，令，解得或可得下表：则，分别是在区间上的最大值和最小值，所以，解得，从而得函数在上的最小值为.18.已知函数．（1）求的极值；（2）若在区间有2个零点，求的取值范围．【正确答案】（1）当时，在处取极大值（2）分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为与在区间有2个交点，求得函数的值域，即可得到结果.小问1详解】因为，定义域为，所以，当时，由于，则恒成立，所以在上单调递增，无极值，当时，令，解得，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减：所以当时，在处取极大值，无极小值；【小问2详解】，令，得，令，在区间有2个零点，即与在区间有2个交点，，，，当，，在上单增，当，，在上单减，，的最大值为，，与在区间有2个交点，则．19.设函数．（1）当时，求曲线在点处切线方程；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；（3）当时，，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解；（2）由条件转化为恒成立．再转化为导函数的最小值大于等于0，即可求解；（3）方法一：首先将不等式整理为，再参变分离为，转化为求函数的最小值；方法二：根据（2）的结果，由的值，讨论的取值，判断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条件，即可求解的取值范围.【小问1详解】当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，又，所以曲线在点处的切线方程为．【小问2详解】，由题意得，恒成立．令，则，且在单调递增，令，解得，所以当时，，故单调递减；当时，，故单调递增；所以，又，当且仅当，故．【小问3详解】解法一：因为，所以题意等价于当时，．即，整理，得，因为，所以，故题意等价于．设，的导函数，化简得，考察函数，其导函数为，当单调递减；当单调递增；故在时，取到最小值，即，即，所以，所以当单调递减；当单调递增；所以的最小值为，故．解法二：先考察，由（2）分析可得，情况1：当，即，此时在区间单调递增，故，即，符合题意；情况2：若，则，注意到，且，故对进一步讨论．①当时，即且由（2）分析知：当单调递减，故当，即单调递减，故恒有，不符合题意，舍去；②当时，注意到在区间单调递减，且，又，故在区间存在唯一的满足；同理在区间单调递增，且，故在区间存在唯一的满足；故可得+0-0+极大值极小值所以当，符合题意；故题意等价于，即．又因为，即，化简，得所以，整理得．注意到，所以，故解得，由之前分析得即考察函数，其导函数为，当单调递减；当单调递增；故在时，取到最小值，即，即，所以恒成立，故，又注意到情况（2）讨论范围为，所以也符合题意．综上①②本题所求的取值范围为．方法三：