2024-2025学年河北省保定市高一下册3月月考数学质量检测试题（附答案）

2024-2025学年河北省保定市高一下学期3月月考数学质量检测试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（

）A． B． C． D．2．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（

）A． B． C． D．3．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（

）A．90 B．88 C．82 D．765．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（

）A．； B．；C．； D．；6．若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．4 C．10 D．167．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则l//D．若空间向量8．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知曲线，则以下说法正确的是（

）A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（

）A．曲线C与圆有且仅有三条公切线B．曲线C关于直线对称的曲线方程为C．若点在曲线C上，则的取值范围是D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（

）A．点到平面的距离为定值B．直线与所成角的取值范围为C．的最小值为D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若数据的平均数为3，方差为4,则数据的平均数为方差为.13．已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为.14．一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，反射光线所在的直线为l.若曲线上有且仅有两个点到直线l的距离为1，则实数m的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．16．（15分）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)样本数据的第62百分位数约为多少；(3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.

17．（15分）甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．(1)求该局打4个球甲赢的概率;(2)求该局打5个球结束的概率．18．（17分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为，点为线段上一点.(1)证明：平面平面.(2)若，求四棱锥的体积.(3)点为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值.答案题号12345678910答案DBCAAAABBCACD题号11答案ABD1．D【分析】根据直观图运用斜二测画法，还原原图即可解决.【详解】因为，由直观图可知，，所以还原平面图形中，，在中，，则三角形的周长为．故选：D．2．B【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，解得：，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积.故选：B.3．C【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可.【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件；当与直线平行时，，则∴或，当时显然成立，当时，，，整理后与重合，故舍去，∴，满足必要条件；∴“”是“直线与直线平行”的充要条件故选：C4．A【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92，又，所以这组数据的第百分位数是.故选：A5．A【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解.【详解】将直线变形得，由，解得，因此直线过定点，当时，点到直线的距离最大，最大值为，又直线的斜率，所以直线的方程为，即.故选：A

6．A【分析】设对称点的坐标，由对称的定义建立等量关系，将求得的对称点坐标代入解析式，求得关系，由基本不等式求得最小值.【详解】设点是点关于直线的对称点，则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直，则，解得点在直线上，∴，即，∴，当且仅当，即时，取等号.故选：A.7．A.【详解】A：在中，故P，A，B，C四点共面，对；B：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错；C：由，即，故D：在上的投影向量为8．B【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围.【详解】设，则，.因为，所以，即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，即，解得.故选：B.9．BC【分析】选项A，结合图象，当时，或，可判断；选项B，将换成，将换成，方程不变，可得；选项C，结合方程的对称性，在第一象限时，图象为圆的一部分，根据圆的方程可得其在第一象限与坐标轴围成的面积，进而可得；选项D，同C结合方程的对称性，求在第一象限部分的长度即得.【详解】选项A：当时，得，即，因，故，故或，因，故点在曲线外部，故A错误；选项B：将换成，将换成，方程不变，故曲线关于原点对称，故B正确；选项C：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称，设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为，则曲线与坐标轴围成的面积为，当时，方程，即，其圆心坐标为，半径为，如图，当时，得或，故弦长，由，故，则，故，故C正确；选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误，故选：BC10．ACD【分析】设点，由，得，即曲线为圆心为，半径为2的圆，再结合选项依次判断即可．【详解】设点，因为，所以，整理得，，即曲线为圆心为，半径为2的圆，对于A，圆，即，该圆的圆心为，半径为3，两圆的圆心距为：，所以两圆外切，故两圆有且仅有三条公切线，故A正确；对于B，曲线C的圆心关于直线对称的点为，所以曲线C关于直线对称的曲线方程为：，故B错误；对于C，设，即，由图知当直线与圆相切时，t取得最大值或最小值，此时圆心到直线的距离为2，由，解得或，所以的取值范围是：，故C正确；对于D，设，则，化简得，，依题意，需使，解得，或（因点E，F异于A，B，应舍去）所在存在满足题意，故D正确．故选：ACD.11．ABD【分析】选项A：由，从而平面判断；选项B：由直线与所成的角即直线与所成的角，由为的中点和与（或）重合角最大和最小判断；选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面，连接，再在中，利用余弦定理求解判断；选项D：过作于点，连接，则，从而平面，再由平面，得到平面平面，从而平面求解.【详解】选项A：如图1，由题易知，因为平面，平面，所以平面，所以动点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，A正确.选项B：直线与所成的角即直线与所成的角，当为的中点时，所成的角最大，为，当与（或）重合时，所成的角最小，为，所以与所成角的取值范围为，B正确.选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面，记翻折后点对应的点为，连接，如图2，则，在中，由余弦定理可得：，即的最小值为，C错误.选项D：如图3，过作于点，连接，则，平面，平面，所以平面，又平面，，，平面，所以平面平面，则平面，又平面，平面平面，所以.设，则，，且，所以，当且仅当时等号成立，D正确.故选；ABD12.13;6413．/【分析】作出图形，设圆台上、下底面的圆心分别为、，则外接球球心在直线上，设，根据圆台的几何性质可得出关于的等式，解出的值，可求出球的半径，结合球体的体积公式可求得球的体积.【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为、，取该圆台的轴截面，则该圆台的外接球球心在直线上，连接、，设，则，由，即，即，解得，因为该圆台的外接球半径为，因此，所以该圆台的外接球的体积为.故答案为；.14．【分析】先根据对称确定直线的方程，再根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围.【详解】由题意知反射光线所在的直线经过点，设反射光线的所在直线的方程为，点，在直线方程上，，解得，反射光线的所在直线的方程为，即.曲线可化为，可得其圆心为，半径,根据点到直线的距离公式可得点到的距离.因为圆上有且仅有两个点到直线l的距离为1，所以或.故答案为.15．(1)(2)或【分析】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程；先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可.【详解】（1）由题意圆心在弦的中垂线上，又中点，，则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即，联立可得，，即，故圆的半径.故圆的方程：（2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交；当直线斜率存在时，设方程，因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离.则到的距离，则，即，解得或.故方程，即或.16．(1)0.030(2)79分(3)，【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解；（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.【详解】（1）由，解得；（2）因为，，所以样本数据的第62百分位数在内，可得，所以样本数据的第62百分位数为分；（3）样本数据落在的个数为，落在的个数为，，总方差.17．(1)(2)【分析】（1）设相应事件，可知，结合独立事件概率乘法法则运算求解；（2）设相应事件，可知事件D，E为互斥事件，且，根据独立事件以及互斥事件概率求法运算求解.【详解】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，由题意可知：，，且，可得，所以该局打4个球甲赢的概率为．（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，可知事件D，E为互斥事件，且，则，，可得，所以该局打5个球结束的概率为．18．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）取的中点，利用二面角的定义及余弦定理推理证得，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证.（2）由（1）结合锥体体积公式计算得解.（3）以为原点建立空间直线坐标系，利用空间向量求出线