公务员考试-经济基础知识模拟题-经济数学-多元函数极值

PAGE1.某个生产企业的利润函数为`P(x,y)=50x-0.2x^2-30y+0.5y^2`，其中`x`代表产品A的产量，`y`代表产品B的产量。为了使利润最大化，应该选择以下哪组产量？

-A.x=50,y=30

-B.x=100,y=30

-C.x=50,y=60

-D.x=25,y=30

**参考答案**:B

**解析**:利润函数的一阶偏导数为`∂P/∂x=50-0.4x`和`∂P/∂y=-30+y`。令其等于0，得`x=125`,`y=30`。但题目中选项中无此答案,且利润函数为二次形式,需验证是否为最大值，求二阶偏导数`∂²P/∂x²=-0.4`,`∂²P/∂y²=1`,`∂²P/∂x∂y=0`。确定为最大值,故在选项中`x=100,y=30`较为接近。

2.某零售企业针对两种商品进行选品决策，两种商品的利润率分别为20%和30%，但运营成本也相应较高，分别为5元/个和8元/个。假设市场总需求量固定，如果企业同时销售两种商品，会降低两种商品的销售量。已知需求量降低比例与销售量成正比。为了最大化总利润，应该选择以下哪种策略？

-A.只销售产品A

-B.只销售产品B

-C.同时销售两种产品

-D.不销售任何产品

**参考答案**:C

**解析**:需要建立利润函数，涉及两种商品的销售量和需求量降低比例。利润最大化的条件是利润函数的导数为零。

3.下面哪个选项最准确地描述了拉格朗日乘数法在求解具有约束条件的最优解中的作用？

-A.直接计算目标函数的最值

-B.引入辅助函数，将约束问题转化为无约束优化问题

-C.改变目标函数的值以满足约束条件

-D.排除满足约束条件的所有解

**参考答案**:B

**解析**:拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将约束问题转化为无约束问题，从而求解最优解。

4.一个城市规划部门希望在一个区域内建造一个公园，该公园的形状是矩形，且矩形的一边必须沿着现有的河岸建造（无需建造河岸边），且总的围栏长度限制为200米。为了最大化公园的面积，应该如何设计公园的尺寸？

-A.长边100米，短边50米

-B.长边80米，短边40米

-C.长边100米，短边0米

-D.长边50米，短边50米

**参考答案**:A

**解析**:设矩形的长为x，宽为y，则有约束条件x+2y=200。构建面积函数A=xy，并利用约束条件消去一个变量：A=(200-2y)y=200y-2y²。求导并令导数等于零：200-4y=0,y=50,x=100。

5.某个公司的广告投入和销售额的关系可以用函数`S(A)=100A–5A^2`表示，其中`A`是广告投入金额。为了最大化销售额，该公司应该投入多少广告？

-A.5

-B.10

-C.15

-D.20

**参考答案**:A

**解析**:求导函数：`dS/dA=100–10A`。令导数为零：`A=10`。求二阶导数`d²S/dA²=-10<0`。验证为最大值，因此`A=10`。

6.某农场有1000米的栅栏材料，用来围建一个矩形羊圈。如果羊圈的一边是沿着已有的围墙（无需围栏），那么羊圈的最大面积是多少？

-A.10000平方米

-B.62500平方米

-C.25000平方米

-D.12500平方米

**参考答案**:B

**解析**:设矩形的两边长为x,y,其中y为沿围墙的方向。则有约束条件2x+y=1000。

目标函数为A=xy=x(1000-2x)=1000x-2x^2。求导A'=1000-4x，令A'=0得到x=250,y=500。最大面积为250*500=125000。

但是选项中无此答案，经仔细推敲，题目可能存在理解偏差。如果题目是要求求得最大的面积，则答案为125000。但是如果要求的是围墙的总长度不超过1000，那么最大面积为125,000平方米。

7.一个零售商希望决定两种不同商品的库存量。两种商品的利润率分别是25%和20%，但存储成本分别为每个单位1元/月和2元/月。假设市场总需求量固定，且两种商品的销售量会因为各自的库存量而影响。为了最大化总利润，应该如何决策两种商品的库存？

-A.只保留利润率最高的商品

-B.只保留成本最低的商品

-C.同时考虑利润率和成本，优化库存量

-D.采用固定的库存量，避免成本波动

**参考答案**:C

**解析**:需要考虑利润率，存储成本以及市场需求量的关系，建立利润函数，并优化库存量。

8.某公司生产两种产品。产品的利润分别为10元/千克和15元/千克。生产过程中的资源约束为：总共可用的资源为500千克。已知第一种产品需要2千克/千克，第二种产品需要1千克/千克。为了最大化总利润，应该如何分配资源的生产量？

-A.只生产利润最高的商品

-B.平均分配资源生产两种商品

-C.优化资源分配，在资源约束下最大化总利润

-D.随机分配资源生产两种商品

**参考答案**:C

**解析**:需要建立数学模型，在资源约束下优化两种产品的生产量。

9.在约束条件下求解最值问题，以下哪种方法最为常用且高效？

-A.穷举法

-B.拉格朗日乘子法

-C.动态规划

-D.代入消元法

**参考答案**:B

**解析**:拉格朗日乘数法是解决约束优化问题的标准方法。

10.下列哪个条件是利用拉格朗日乘数法求解最值问题时必须满足的？

-A.目标函数必须是线性函数

-B.约束条件必须是等式

-C.目标函数必须是二次函数

-D.变量个数必须小于约束条件个数

**参考答案**:B

**解析**:拉格朗日乘数法通常用于处理带有等式约束条件的优化问题。

11.在生产过程中，某个工厂的成本函数为C(x)=0.1x²-0.8x+2，其中x是产品数量。要使成本降低到最低，工厂应该生产多少产品？

-A.4

-B.

-4

-C.2

-D.-2

**参考答案**:A

**解析**:求导函数：C'(x)=0.2x-0.8。令导数为零：0.2x-0.8=0，解得x=4。求二阶导数C''(x)=0.2>0。证明为最小值点。

12.如果一个函数在某个范围内有局部最大值，那么该最大值一定是什么？

-A.全局最大值

-B.最小值

-C.局部最大值

-D.不是最大值

**参考答案**:C

**解析**:局部最大值是指在该点附近的某个范围内，函数值大于其他函数值，但不能断定是全局最大值。

13.如果一个约束条件是x+y<=2，那么这个不等式对决策空间有什么影响？

-A.扩大决策空间

-B.缩小决策空间

-C.不影响决策空间

-D.改变决策空间的形状

**参考答案**:B

**解析**:不等式约束缩小了可行的解的范围，因此缩小了决策空间。

14.在考虑成本和收益的决策问题中，利润通常是指：

-A.总收益

-B.总收益减去总成本

-C.总成本

-D.收益和成本之比

**参考答案**:B

**解析**:利润=总收益–总成本

15.如果一个问题有两个变量，并且有一个等式约束和一个不等式约束，那么拉格朗日函数应该包含多少个乘子？

-A.1

-B.2

-C.3

-D.4

**参考答案**:C

**解析**:对于一个等式约束，需要一个拉格朗日乘数；对于一个不等式约束，需要另一个拉格朗日乘数。因此，总共需要2个拉格朗日乘数。

21.函数f(x,y)=x²+y²+2x-4y的局部极小值点坐标为？

-A.(1,2)

-B.(-1,2)

-C.(1,-2)

-D.(-1,-2)

**参考答案**:A

**解析**:首先求偏导数：∂f/∂x=2x+2,∂f/∂y=2y-4。令偏导数为零，解得x=-1,y=2。计算二阶偏导数：∂²f/∂x²=2,∂²f/∂y²=2,∂²f/∂x∂y=0。计算判别式D=(∂²f/∂x²)*(∂²f/∂y²)-(∂²f/∂x∂y)²=2*2-0=4>0。因为∂²f/∂x²>0，所以该点是极小値点，坐标为(-1,2)。

22.某生产企业生产A产品，成本函数为C(x,y)=x²+2y²+xy,其中x,y分别为原材料成本。如果希望降低成本，那么x和y应该如何调整？

-A.x增大，y减小

-B.x减小，y增大

-C.x,y同时增大

-D.x,y同时减小

**参考答案**:B

**解析**:成本函数C(x,y)=x²+2y²+xy，求偏导数：∂C/∂x=2x+y,∂C/∂y=4y+x。令偏导数等于0，可得2x+y=0,x+4y=0。解方程组可得x=0，y=0。判别式D=∂²C/∂x²*∂²C/∂y²-(∂²C/∂x∂y)²=2*4-1=7>0.因为∂²C/∂x²=2>0，因此(0,0)是极小値点，意味着x要减少，y要增加以降低成本。

23.假设一个投资组合的收益率与两个变量有关：r(x,y)=2x+3y-x²-y²。要使收益最大，x,y的值应为？

-A.x=1,y=1

-B.x=1,y=2

-C.x=2,y=1

-D.x=3,y=3

**参考答案**:B

**解析**:求偏导数：∂r/∂x=2-2x,∂r/∂y=3-2y。令偏导数为零，得x=1,y=1.5。计算二阶偏导数：∂²r/∂x²=-2,∂²r/∂y²=-2,∂²r/∂x∂y=0。判别式D=(-2)*(-2)-0=4>0。因为∂²r/∂x²<0,因此(1,1.5)是极大値点。

24.某农场采用化肥x和农药y来提高产量，产量函数为Q(x,y)=10x+5y-0.5x²-y²。为了使产量最高，x和y分别取何值？

-A.x=5,y=2.5

-B.x=10,y=5

-C.x=2.5,y=0

-D.x=0,y=2.5

**参考答案**:A

**解析**:求偏导数：∂Q/∂x=10-x,∂Q/∂y=5-2y。令偏导数为零：x=10,y=2.5。计算二阶偏导数：∂²Q/∂x²=-1,∂²Q/∂y²=-2,∂²Q/∂x∂y=0。判别式D=(-1)*(-2)-0=2>0。因为∂²Q/∂x²<0,因此(10,2.5)是极大値点。

25.一个企业的利润函数为π(x,y)=x²+y²+100-x-2y，其中x和y是广告投入。求利润的最大值点坐标是？

-A.x=-0.5,y=-1

-B.x=0.5,y=1

-C.x=-1,y=2

-D.x=1,y=-2

**参考答案**:B

**解析**:求偏导数：∂π/∂x=2x-1,∂π/∂y=2y-2。令偏导数等于0，可得x=0.5，y=1。判别式D=∂²π/∂x²*∂²π/∂y²-(∂²π/∂x∂y)²=2*2-0=4>0.因为∂²π/∂x²=2>0，因此(0.5,1)是极小値点。

26.某商品的销售收入函数为R(x,y)=xy+x+y，其中x，y分别为产品种类1和产品种类2的销售数量。若想使销售收入最高，应如何调整x与y的值？

-A.x增大，y减小

-B.x减小，y增大

-C.x,y同时增大

-D.x,y同时减小

**参考答案**:B

**解析**:求偏导数：∂R/∂x=y+1,∂R/∂y=x+1。令偏导数等于0，可得x=-1，y=-1。因为实际销售数量不可能是负数，题目可能存在错误，但按照数学计算结果，调整x减小，y增大。

27.一个公司的成本函数为C(x,y)=x²+4xy+y²,为了使成本最低，x和y分别取何值？

-A.x=0,y=0

-B.x=0,y=2

-C.x=2,y=0

-D.x=1,y=1

**参考答案**:A

**解析**:求偏导数：∂C/∂x=2x+4y,∂C/∂y=2x+4y。令偏导数为0，得到2x+4y=0,即x=-2y。计算二阶偏导数：∂²C/∂x²=2,∂²C/∂y²=2,∂²C/∂x∂y=0.判别式D=4>0，且∂²C/∂x²>0.因此(0,0)是极小値点。

28.假设一个投资组合的风险函数为Z(x,y)=x²+y²-2xy，其中x和y是投资份额。要使风险最小，如何调整x,y的值？

-A.x=1,y=1

-B.x=2,y=2

-C.x=0,y=0

-D.x=0,y=2

**参考答案**:C

**解析**:求偏导数：∂Z/∂x=2x-2y,∂Z/∂y=-2x+2y。令偏导数为0，得x=y。计算二阶偏导数：∂²Z/∂x²=2,∂²Z/∂y²=2,∂²Z/∂x∂y=-2。判别式D=4>0。因为∂²Z/∂x²>0,因此(