2024-2025学年海南省三亚市高一下册第一次月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年海南省三亚市高一下学期第一次月考数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若，则终边在（）A.第二或第三象限 B.第一或第三象限C.第二或第四象限 D.第三或第四象限【正确答案】B【分析】分k为奇数和偶数讨论可得.【详解】当k为奇数时，记，则，此时为第三象限角；当k为偶数时，记，则，此时为第一象限角.故选：B2.设函数，，则A.-1 B.1 C.-2 D.不存在【正确答案】D【分析】直接带入至发现分母中的根号下为负数．【详解】在实数域内不成立，故不存在，故选D．根号下不能为负数，分母不能为0．3.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“”的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知，则＝（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．【详解】∵，则，故选：B．5.已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】分离参数，求得函数在区间上的值域，即可容易判断.【详解】因为函数在区间内有唯一零点，故在区间上只有一个根.又在上单调递减，其值域为.故要满足题意，只需.故选：D.本题考查由函数零点的范围求参数范围，属基础题.6.已知函数为偶函数，当时，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】根据偶函数的性质，结合对数性质求解即可.【详解】由为偶函数可知．故选：B.7.若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（）A.1 B. C. D.【正确答案】C【分析】由图像平移过程写出平移后的解析式，利用正弦函数的对称性求参数，最后由正弦型函数的单调性求区间最小值即可.【详解】将向右平移个长度单位后，得到，∵关于对称，∴，∴，即，又，则，即，由知：，则，∴在上的最小值为.故选：C.8.函数的增区间为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案.【详解】由，则，分解因式可得，解得，所以函数的定义域为，由函数在上单调递增，在上单调递减，且函数在上单调递减，则函数的增区间为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】由基本不等式与重要不等式，结合反例以及“1”的妙用，可得答案.【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确.对于B，因为，所以，即，所以，故B正确.对于C，当时，，故C错误.对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确，故选：ABD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数在区间上是增函数C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到【正确答案】ACD【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A正确，再由正弦型函数的单调性可判断B错误，结合正弦型函数的对称性利用检验法代入计算可判断C正确，由三角函数图象的变换规则可得D正确.【详解】对于A，易知函数的最小正周期是，可得A正确；对于B，当时，，易知上不单调，所以函数在区间上不单调，即B错误；对于C，因为，因此直线是函数图象的一条对称轴，即C正确；对于D，将的图象向左平移个单位长度可得，因此D正确.故选：ACD11.若定义在上的函数满足为奇函数，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（）A.的图象关于点对称B.在上是增函数C.D.关于x的不等式的解集为【正确答案】BCD【分析】由已知结合函数的对称性及单调性检验各选项即可求解.【详解】若定义在上的函数满足为奇函数，则的图象关于对称，即，A错误，C正确；因为对任意，，都有，所以在上单调递增，根据函数的对称性可知，在上单调递增，B正确；由可得，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为__________.【正确答案】【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解.【详解】因在上的投影向量为，即，则，又，则得，所以，又，故向量与向量夹角为，故答案为.13.求值_________．【正确答案】##【分析】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1，再利用倍角公式，化为可以求值的角的三角函数.【详解】，故答案为.14.已知则__________.【正确答案】1【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算可得结果.【详解】由题意得，，∴.故1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在五边形中，四边形是平行四边形，且，，，试用，，分别表示，，，及．【正确答案】答案见解析【分析】根据向量的加法法则结合几何图形，即可求出结果.【详解】，，，因为四边形为平行四边形，所以,.综上，，，，及.16.已知函数部分图象如图所示.（1）求的单调递增区间；（2）已知，求的值.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）由部分图象可得A，可得函数的最小正周期T，利用周期公式可求，又，结合，可得的值，可求函数解析式，利用正弦函数的单调性即可求解；（2）由题意可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角差的正弦公式即可求解．【小问1详解】由函数部分图象可得，可得函数的最小正周期，所以，可得，又，可得，，又，可得时，，所以，令，，解得，，可得的单调递增区间为，；【小问2详解】由于，可得，所以当的终边在第一象限时，，所以；当的终边在第二象限时，，所以.17.已知函数，其中．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的零点．【正确答案】（1）．（2），或，．【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式将原式化简为的形式，则周期可求；（2）由图象平移得，令，结合三角函数的性质求零点即可.【小问1详解】，可得函数的最小正周期．【小问2详解】将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，令，可得，可得，或，，解得，或，，所以函数的零点为：，或，．18.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）证明：函数在上增函数；（3）若实数满足不等式，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）利用奇函数过原点求参数，再检验是否满足奇函数即可；（2）利用定义法来证明函数的单调性；（3）利用定义在区间上的奇函数和单调递增，来解不等式即可.【小问1详解】因为是定义在上是奇函数，，解得.此时，所以函数为奇函数.所以.【小问2详解】证明：设是区间上任意两个实数，且，则因为，所以，，是区间上的增函数.【小问3详解】因为是区间上的增函数且是奇函数，由满足，所以有，解得：，即的范围是.19.已知函数.（1）当时，求在区间上的最小值；（2）若，总存在，使得，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值.（2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】当时，，令，则由，可知的取值范围为，故原函数可化为，由对勾函数性质，可知在上单调递增，因此在时取到最小值，此时，所以当时，在上取到最小值.【小问2详解】依题意，故当时，.因为，总存在，使得，设在上取