2024-2025学年贵州省遵义市高二下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年贵州省遵义市高二下学期第一次月考数学检测试卷注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】直接求解抛物线的准线方程.【详解】抛物线的准线方程为.故选：D.2.设在处可导，则（）．A B. C. D.【正确答案】C【分析】根据导数的定义判断即可.【详解】因为在处可导，所以.故选：C3.已知空间向量，，若与垂直，则等于（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据向量垂直的坐标关系可得，即可根据模长公式求解.【详解】由于与垂直，故，解得，故，故选：C4.已知等比数列满足，，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式求，由此可求结论,【详解】数列为等比数列，设数列的公比为，因为，，所以，所以，即，故.故选：C.5.已知圆与直线，若平分圆的周长，则的最小值为（）A.1 B.3 C.9 D.18【正确答案】C【分析】由平分圆的周长，所以直线l过圆C的圆心，得，再利用不等式即可求得结果.【详解】因为平分圆的周长，所以直线l过圆C的圆心，即，即，所以，当且仅当时取等号.故选：C6.若直线是曲线的一条切线，则的值为（）A. B. C.2 D.【正确答案】D【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值.【详解】由，得，设切点为，则由导数的几何意义得，又切线方程为，所以，即，解得，.故选：D.7.已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合和离心率的定义即可求解.【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为，要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即，即，由，得，整理得，所以，因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是.故选：B8.已知函数若函数有三个零点，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】将问题转化为与图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出图象，即可确定k的范围.【详解】由题意，与图象有三个交点，当时，，则，∴在上，递增，在上，递减，∴时，有最大值，且在上，在上.当时，单调递增，∴图象如下∴由图知：要使函数有三个零点，则.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．9.已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A.函数的单调递减区间是B.函数单调递增区间是，C.处是函数的极值点D.时，函数的导函数小于0【正确答案】BD【分析】综合应用函数单调性与导函数的关系即可解决.【详解】根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误；对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确；对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点，是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误；对于D项，，故D正确.故选：BD.10.已知圆：和圆：．现给出如下结论，其中正确的是（）A.圆与圆外切B.、分别为圆和圆上的动点，则的最大值为8，最小值为2C.过且与圆相切的直线有一条D.过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或【正确答案】BD【分析】对于A：根据两圆位置关系分析判断；对于B：根据圆的性质可得结果；对于C：判断点与圆的位置关系，即可得结果；对于D：设直线方程为，根据截距列式求解即可.【详解】对于选项A：因为圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，则，即，所以圆与圆外离，故A错误；对于选项B：由圆的性质可知：，即的最大值为8，，即的最小值为2，故B正确；对于选项C：因为，可知点在圆外，所以过且与圆相切的直线有两条，故C错误；对于选项D：由题意可知所求直线的斜率存在，设直线方程为，则直线在x，y轴上的截距分别为，则，解得或，所以直线方程为或，故D正确；故选：BD.11.如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆与双曲线的离心率分别为，点P为两曲线位于第一象限的公共点，且，I为的内心，三点共线，且，x轴上的点A，B满足，则下列结论正确的是（）A. B.C.平分 D.【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，结合椭圆、双曲线定义及余弦定理求解判断AB；利用椭圆、双曲线定义，结合三角形内角平分线性质定理求解判断CD.【详解】设，而椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，由双曲线的定义，得，由椭圆的定义，得，则，又，由余弦定理得：，即，整理得，对于A，，即，A正确；对于B，，即，B错误；对于C，又平分，则，由，得，则，C正确；对于D，由为的内心，得为的角平分线，则，同理，则，于是，即，由，得，则，又三点共线，即为的角平分线，又平分，则有，而，则，即，由，得，即，由选项B知，，D正确．故选：ACD结论点睛：是的角平分线，则.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线，，当时，直线与之间的距离为__________.【正确答案】##【分析】由两直线平行列方程求，根据平行直线间距离公式求解即可.【详解】因为直线，，，所以，解得或，当时，直线，，两直线重合，不满足要求，当时，直线，，两直线平行，满足要求，所以当时，直线与之间的距离为.故答案为.13.一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，______．【正确答案】60【分析】根据，利用导数法求解.【详解】解：因为，所以，，令，得，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，故6014.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前20项和为______.【正确答案】【分析】根据题意列出数列的递推关系，再利用累加法求出通项公式，最后用裂项相消法求出数列的前20项和.【详解】由题意得，，当时，，以上各式累加得：，经检验符合上式，所以，所以设数列的前项和为，则，所以.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤．15.已知函数，当时，取得极值．（1）求的解析式；（2）求在区间上的最值．【正确答案】（1）（2）的最小值为，最大值为.【分析】（1）利用极值定义可求得，可得解析式；（2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，比较端点处的值可得结论.【小问1详解】依题意可得，又当时，取得极值，所以，即；解得；所以；【小问2详解】由（1）可知，令，可得或，当变化时，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增因此，在区间上，的最小值为，最大值为.16.已知数列是等差数列，且.（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和为，求.【正确答案】（1）（2）【分析】(1)由等差数列的概念计算基本量即可；(2)根据等差数列的求和公式计算即可.【小问1详解】设的公差为，则，解得，所以；【小问2详解】由（1）知；得.17.如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先证明，，然后利用线面垂直的判定定理证明垂直于平面；（2）通过建立空间直角坐标系，由空间向量法即可求出两平面夹角的余弦值.【小问1详解】由于是等边三角形，为的中点．故是等边的中线，所以，又因为平面，在平面内，所以，由于和在平面内，且交于点，，，所以平面；【小问2详解】取的中点，连接，则由是的中点，知是三角形的中位线，故平行于.因为平面，平行于，所以垂直于平面，即三线两两垂直.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则由，，，，，知，，，所以，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，故．显然平面的一个法向量为.而，故平面与平面夹角的余弦值为．18.已知函数.（1）若，求在上的值域；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求导可得，利用导数可得的单调性，进而分析最值和值域；（2）分析可知原题意等价于在上恒成立，构建，利用导数求的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.小问1详解】若，则，，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增，则，且，当时，，可知在上的最大值为，所以在上的值域是；【小问2详解】当时，满足要求，所以，原题意等价于对恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，；当时，；可知在上单调递减，在上单调递增，则，可得，综上，实数的取值范围是.19.阅读材料：北京奥林匹克体育场（如图1），俗称“鸟巢”，其外形是以众多钢铁线条“编织”而成的.从空中向下俯视，其外围形状大致为两个椭圆，大椭圆的弦是小椭圆的切线（如图2），那些编织“鸟巢”的“枝条”，甚至看上去好像是直线把椭圆“包裹”出来的，数学上称这种情况为直线族的包络.下面我们来讨论小椭圆是如何被“包裹”出来的.建立平面直角坐标系，设大椭圆的标准方程为：，在这个大椭圆上“均匀”地取个点，这些点的坐标可以记为大椭圆上的这个点可以通过一族直线（一共有条）.确定直线的方法如下：先取第一个点，第二个点（这个点也可以看作为绕着椭圆中心逆时针转动一个角度后得到的），由点可得到直线.以此类推就可以得到一系列的直线：，，这条直线就形成一个直线族，这个直线族的包络线就构成一个小椭圆，直线族中每条直线都与小椭圆相切.结合阅读材料，回答下面的问题：（1）若坐标为，大椭圆的离心率为，求大椭圆的方程（2）（i）直线族构成的包络线小椭圆与直线族的条数无关，但越大，小椭圆的形状越清晰.若在满足（1）的大椭圆上取个点形成的直线族，中，求出直线方程，并求出该直线族构成的包络线小椭圆标准方程.（ii）若直线族中有与小椭圆切于点，另一条直线与小椭圆分别交于（异于点），与交于点，求证：成等比数列.【正确答案】（1）（2）（i）方程为，；（ii）证明见解析【分析】（1）根据可得，即可由离心率公式求解，（2）求解，的坐标，根据，的方程求解，得（i），根据直线与椭圆相切可得，联立直线与椭圆方程得韦达定理，