2024-2025学年贵州省遵义市高二下册第一次月考数学检测试卷(附解析)_第1页
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文档简介

2024-2025学年贵州省遵义市高二下学期第一次月考数学检测试卷注意事项:1.本试卷满分150分,考试用时120分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.抛物线的准线方程为()A. B. C. D.【正确答案】D【分析】直接求解抛物线的准线方程.【详解】抛物线的准线方程为.故选:D.2.设在处可导,则().A B. C. D.【正确答案】C【分析】根据导数的定义判断即可.【详解】因为在处可导,所以.故选:C3.已知空间向量,,若与垂直,则等于()A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据向量垂直的坐标关系可得,即可根据模长公式求解.【详解】由于与垂直,故,解得,故,故选:C4.已知等比数列满足,,则的值为()A. B. C. D.【正确答案】C【分析】设等比数列的公比为,由条件结合等比数列通项公式求,由此可求结论,【详解】数列为等比数列,设数列的公比为,因为,,所以,所以,即,故.故选:C.5.已知圆与直线,若平分圆的周长,则的最小值为()A.1 B.3 C.9 D.18【正确答案】C【分析】由平分圆的周长,所以直线l过圆C的圆心,得,再利用不等式即可求得结果.【详解】因为平分圆的周长,所以直线l过圆C的圆心,即,即,所以,当且仅当时取等号.故选:C6.若直线是曲线的一条切线,则的值为()A. B. C.2 D.【正确答案】D【分析】求出函数的导函数,根据导数的几何意义,可得切点坐标,然后求出的值.【详解】由,得,设切点为,则由导数的几何意义得,又切线方程为,所以,即,解得,.故选:D.7.已知双曲线的左,右焦点分别为,过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率,得,结合和离心率的定义即可求解.【详解】由题意知,双曲线的渐近线方程为,要使直线与双曲线的右支有两个交点,需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即,即,由,得,整理得,所以,因为双曲线中,所以双曲线的离心率的范围是.故选:B8.已知函数若函数有三个零点,则()A. B. C. D.【正确答案】C【分析】将问题转化为与图象有三个交点,分析分段函数的性质并画出图象,即可确定k的范围.【详解】由题意,与图象有三个交点,当时,,则,∴在上,递增,在上,递减,∴时,有最大值,且在上,在上.当时,单调递增,∴图象如下∴由图知:要使函数有三个零点,则.故选:C.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,选错得0分.9.已知函数的定义域为R,函数的导函数的图象如图所示,则下列选项正确的是()A.函数的单调递减区间是B.函数单调递增区间是,C.处是函数的极值点D.时,函数的导函数小于0【正确答案】BD【分析】综合应用函数单调性与导函数的关系即可解决.【详解】根据导函数的图象,对于A项,在上,,可得函数的单调递减区间是,故A错误;对于B项,在上,,在上,可得函数的单调递增区间是,,故B正确;对于C项,是的变号零点,且时,,当时,,故是函数的极大值点,是的不变号零点,不是函数的极值点,故C错误;对于D项,,故D正确.故选:BD.10.已知圆:和圆:.现给出如下结论,其中正确的是()A.圆与圆外切B.、分别为圆和圆上的动点,则的最大值为8,最小值为2C.过且与圆相切的直线有一条D.过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或【正确答案】BD【分析】对于A:根据两圆位置关系分析判断;对于B:根据圆的性质可得结果;对于C:判断点与圆的位置关系,即可得结果;对于D:设直线方程为,根据截距列式求解即可.【详解】对于选项A:因为圆:的圆心,半径,圆:的圆心,半径,则,即,所以圆与圆外离,故A错误;对于选项B:由圆的性质可知:,即的最大值为8,,即的最小值为2,故B正确;对于选项C:因为,可知点在圆外,所以过且与圆相切的直线有两条,故C错误;对于选项D:由题意可知所求直线的斜率存在,设直线方程为,则直线在x,y轴上的截距分别为,则,解得或,所以直线方程为或,故D正确;故选:BD.11.如图,椭圆与双曲线有公共焦点,椭圆与双曲线的离心率分别为,点P为两曲线位于第一象限的公共点,且,I为的内心,三点共线,且,x轴上的点A,B满足,则下列结论正确的是()A. B.C.平分 D.【正确答案】ACD【分析】根据给定条件,结合椭圆、双曲线定义及余弦定理求解判断AB;利用椭圆、双曲线定义,结合三角形内角平分线性质定理求解判断CD.【详解】设,而椭圆的长轴长为,双曲线的实轴长为,由双曲线的定义,得,由椭圆的定义,得,则,又,由余弦定理得:,即,整理得,对于A,,即,A正确;对于B,,即,B错误;对于C,又平分,则,由,得,则,C正确;对于D,由为的内心,得为的角平分线,则,同理,则,于是,即,由,得,则,又三点共线,即为的角平分线,又平分,则有,而,则,即,由,得,即,由选项B知,,D正确.故选:ACD结论点睛:是的角平分线,则.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.直线,,当时,直线与之间的距离为__________.【正确答案】##【分析】由两直线平行列方程求,根据平行直线间距离公式求解即可.【详解】因为直线,,,所以,解得或,当时,直线,,两直线重合,不满足要求,当时,直线,,两直线平行,满足要求,所以当时,直线与之间的距离为.故答案为.13.一个箱子的容积与底面边长x的关系为,则当箱子的容积最大时,______.【正确答案】60【分析】根据,利用导数法求解.【详解】解:因为,所以,,令,得,当时,,当时,,所以当时,取得最大值,故6014.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……第n层有个球,则数列的前20项和为______.【正确答案】【分析】根据题意列出数列的递推关系,再利用累加法求出通项公式,最后用裂项相消法求出数列的前20项和.【详解】由题意得,,当时,,以上各式累加得:,经检验符合上式,所以,所以设数列的前项和为,则,所以.故四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程和演算步骤.15.已知函数,当时,取得极值.(1)求的解析式;(2)求在区间上的最值.【正确答案】(1)(2)的最小值为,最大值为.【分析】(1)利用极值定义可求得,可得解析式;(2)利用导函数判断出函数在区间上的单调性,比较端点处的值可得结论.【小问1详解】依题意可得,又当时,取得极值,所以,即;解得;所以;【小问2详解】由(1)可知,令,可得或,当变化时,的变化情况如下表所示:单调递增单调递减单调递增因此,在区间上,的最小值为,最大值为.16.已知数列是等差数列,且.(1)求的通项公式;(2)若数列的前项和为,求.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)由等差数列的概念计算基本量即可;(2)根据等差数列的求和公式计算即可.【小问1详解】设的公差为,则,解得,所以;【小问2详解】由(1)知;得.17.如图,在四棱锥中,平面,,,是等边三角形,为的中点.(1)证明:平面;(2)若,求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)先证明,,然后利用线面垂直的判定定理证明垂直于平面;(2)通过建立空间直角坐标系,由空间向量法即可求出两平面夹角的余弦值.【小问1详解】由于是等边三角形,为的中点.故是等边的中线,所以,又因为平面,在平面内,所以,由于和在平面内,且交于点,,,所以平面;【小问2详解】取的中点,连接,则由是的中点,知是三角形的中位线,故平行于.因为平面,平行于,所以垂直于平面,即三线两两垂直.以为坐标原点,的方向分别为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

则由,,,,,知,,,所以,.设平面的法向量为,则,即,令,则,,故.显然平面的一个法向量为.而,故平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数.(1)若,求在上的值域;(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)求导可得,利用导数可得的单调性,进而分析最值和值域;(2)分析可知原题意等价于在上恒成立,构建,利用导数求的单调性和最值,结合恒成立问题分析求解.小问1详解】若,则,,令,解得;令,解得;可知在上单调递减,在上单调递增,则,且,当时,,可知在上的最大值为,所以在上的值域是;【小问2详解】当时,满足要求,所以,原题意等价于对恒成立,即在上恒成立,令,则,当时,;当时,;可知在上单调递减,在上单调递增,则,可得,综上,实数的取值范围是.19.阅读材料:北京奥林匹克体育场(如图1),俗称“鸟巢”,其外形是以众多钢铁线条“编织”而成的.从空中向下俯视,其外围形状大致为两个椭圆,大椭圆的弦是小椭圆的切线(如图2),那些编织“鸟巢”的“枝条”,甚至看上去好像是直线把椭圆“包裹”出来的,数学上称这种情况为直线族的包络.下面我们来讨论小椭圆是如何被“包裹”出来的.建立平面直角坐标系,设大椭圆的标准方程为:,在这个大椭圆上“均匀”地取个点,这些点的坐标可以记为大椭圆上的这个点可以通过一族直线(一共有条).确定直线的方法如下:先取第一个点,第二个点(这个点也可以看作为绕着椭圆中心逆时针转动一个角度后得到的),由点可得到直线.以此类推就可以得到一系列的直线:,,这条直线就形成一个直线族,这个直线族的包络线就构成一个小椭圆,直线族中每条直线都与小椭圆相切.结合阅读材料,回答下面的问题:(1)若坐标为,大椭圆的离心率为,求大椭圆的方程(2)(i)直线族构成的包络线小椭圆与直线族的条数无关,但越大,小椭圆的形状越清晰.若在满足(1)的大椭圆上取个点形成的直线族,中,求出直线方程,并求出该直线族构成的包络线小椭圆标准方程.(ii)若直线族中有与小椭圆切于点,另一条直线与小椭圆分别交于(异于点),与交于点,求证:成等比数列.【正确答案】(1)(2)(i)方程为,;(ii)证明见解析【分析】(1)根据可得,即可由离心率公式求解,(2)求解,的坐标,根据,的方程求解,得(i),根据直线与椭圆相切可得,联立直线与椭圆方程得韦达定理,

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