2024-2025学年江苏省江阴市高一下册第一次月考数学阶段检测试题（附解析）

2024-2025学年江苏省江阴市高一下学期第一次月考数学阶段检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知平面上三点，则的值为（）A. B.2 C. D.4【正确答案】C【分析】应用向量的坐标表示及数量积的坐标运算求.【详解】由题设，则.故选：C2.已知，则的虚部是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据复数除法运算化简，由共轭复数定义得到，由虚部定义得到结果.【详解】，，的虚部为.故选：D.3.下列说法中，正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则与不是共线向量【正确答案】C【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误.【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误.对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误.对于C，若，则必定共线，故，故C成立.对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，故与可以为共线向量，故D错误.故选：4.在中，若，则的形状为（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形【正确答案】C【分析】应用正弦边角关系及二倍角正弦公式有，结合三角形内角的性质得或，即可得答案.【详解】由已知及正弦边角关系有，则，三角形中，则或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：C5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°【正确答案】A【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.【详解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，又因为a>b，所以A>B，即B=30°.故选：A.6.中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】易知是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径，设内切圆圆心为，根据为直径，可知，，整理，进而根据的运动情况来求解.【详解】由题可知，，所以是直角三角形，，设内切圆半径为，则，解得，设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，所以，，则，，所以，因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，所以的取值范围是，故选：C7.已知半径为2的⊙O内有一条长度等于半径的弦AB，若⊙O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由向量数量积的运算律有，应用坐标法求向量数量积，结合即可得.【详解】由，如下图示，建立平面直角坐标系，为边长为2的等边三角形，关于轴对称，则，设，且，则，所以，而，故，所以的取值范围为.故选：C8.古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（）.A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由圆的性质及正弦边角关系得，从而设，结合题设得到且，最后应用三角形面积公式及基本不等式求面积的最大值.【详解】由题意，则，所以，即，设，又，由题意，所以，故，又，故，则，所以，当且仅当时取等号，故面积的最大值为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分.9.已知向量，，则（）A.B.若，则C.与的夹角余弦值为D.向量在向量上的投影向量为【正确答案】BCD【分析】应用向量数量积的坐标表示得、判断A、B；应用向量夹角的坐标运算求夹角余弦值判断C；根据投影向量的定义及坐标运算求投影向量判断D.【详解】A：由，显然，即，A错；B：由，则，对；C：由，则，对；D：向量在向量上的投影向量为，对.故选：BCD10.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数（i为虚数单位），则B.若复数z满足，则C.已知其中是虚数单位，则实数D.若关于的方程有实数解，则或【正确答案】ACD【分析】应用复数除法化简复数，再应用复数的乘方运算判断A；特殊值判断B；根据复数的性质有判断C；若实数解为，结合已知有求参数判断D.【详解】A：，则，对；B：当时，，而，错；C：，则，对；D：若实数解为，则，故，则，可得或，对.故选：ACD11.在中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.下列命题中正确的是（）A.若，则一定是钝角三角形B.若，则一定是直角三角形C.若，则一定是锐角三角形D.若，，则一定是等边三角形【正确答案】BD【分析】AB均利用等关系以及正弦定理化简即可；C先用降幂公式，再用化简；D正弦定理化简，再解方程组.【详解】A.在中，，因，则得，故A错误；B由正弦定理得，，则，即，因，则得，故B正确；C.因，由正弦定理得，，即，则，则，因，则得，故C错误；D，由正弦定理得，因，则，即，得，故D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若A，B，C三点共线，则实数______________.【正确答案】2分析】利用平面向量的共线定理求解即可.【详解】由得,因为A，B，C三点共线,故.故2本题主要考查了共线向量的性质运用,属于基础题型.13.已知复数满足方程，则的最小值为____________．【正确答案】【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为的最小值.【详解】复数满足方程，设（），则，在复平面内轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；，意义为圆上的点到的距离，由点与圆的几何性质可知，的最小值为，故答案为.本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.14.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为______.【正确答案】【分析】根据已知求，进而有且费马点在内部，，再应用三角形面积公式列方程得，再由向量数量积的定义求目标式的值.【详解】由，显然最大角为，且，所以为小于的钝角，且，所以费马点在内部，且，所以，则，所以，由.故四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）若向量，且，求的坐标;（2）若向量，求实数的值.【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）利用向量平行和模长坐标表示，列方程求解即可；（2）根据向量数量积的概念和运算律求解即可.【小问1详解】由，，设，，又因为，所以，解得，所以或.【小问2详解】因为，所以，又因为，，所以，解得.16.已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求m的取值范围.【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模；（2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可.【小问1详解】设，则，由为实数，得，则，由为实数，得，则，∴，则；【小问2详解】，由在第四象限，得，解得或，故m的取值范围为．17.在中，.（1）若，的面积为，求；（2）若，①求的值：②求面积的最大值；③求周长的取值范围.【正确答案】（1）；（2）①；②；③.【分析】（1）应用余弦边角关系可得，应用余弦定理有，进而有，再由面积公式得，结合已知即可求边长；（2）①应用正弦定理有，结合合比性质即可得；②③应用基本不等式求范围，即可得面积最值和周长范围.【小问1详解】由题设及余弦边角关系有，所以，则，且，在三角形中有，又，可得，结合，则；【小问2详解】①由（1）有，则，所以；②由，当且仅当时取等号，所以，即面积最大值为；③由，则，当且仅当时取等号，所以周长.18.在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．（1）若，求x－y的值；（2）求的取值范围；（3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）将化成和后，与已知条件比较得，由此即可求出结果；（2）设，（），将用表示，根据数量积公式，转化为二次函数，即可求出结果；（3）先根据向量共线和三点共线可知存在实数，使得，存在使得，化简整理，根据系数相等可得，再与进行数量积运算即可得到结果．【小问1详解】解：（1）∵，所以∵，又，∴，∴；【小问2详解】解：设，（）因为在三角形中，，，，∴，∴；又，所以，故的取值范围为【小问3详解】解：∵三点共线，∴存在实数，使得，∵为的中点，∴，又三点共线，∴存在使得，∴，∴，解得，.19.如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.【正确答案】(1)；(2).【详解】分析：（1）由题意可得，，则；（2）由题意可得，由正弦定理有，记，结合三角函数的性质可得时，取最大，最短，则此时.详解：（1）由图