新教材数学人教B版必修第二册教学案：6.1.2-向量的加法

新教材数学人教B版必修第二册教学案：6.1.2-向量的加法一、教学目标1.知识与技能目标理解向量加法的意义，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会用这两种法则作出两个向量的和向量。理解向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算。2.过程与方法目标通过对向量加法法则的探究，培养学生观察、分析、归纳、类比等能力，体会从特殊到一般的数学思维方法。通过向量加法的实际应用，提高学生运用向量知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。3.情感态度与价值观目标通过向量加法法则的探究过程，让学生感受数学的严谨性和科学性，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。通过向量加法在实际问题中的应用，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。二、教学重难点1.教学重点向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量加法的交换律和结合律。2.教学难点对向量加法三角形法则和平行四边形法则的理解与应用。向量加法结合律的证明及应用。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程（一）导入新课1.创设情境展示一些物体位移的实例，比如飞机从一个城市飞往另一个城市，先向北飞行一段距离，再向东飞行一段距离；或者一个人在操场上先向东走了一段路，然后又向北走了一段路等。提问：如何描述物体的合位移呢？这就涉及到向量的加法问题。2.复习回顾引导学生回顾向量的概念，强调向量既有大小又有方向。（二）讲解新课1.向量加法的三角形法则探究活动给出两个向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，让学生思考如何通过几何方法作出它们的和向量。让学生在纸上画出向量\(\overrightarrow{a}\)，然后从\(\overrightarrow{a}\)的终点出发画出向量\(\overrightarrow{b}\)，连接\(\overrightarrow{a}\)的起点与\(\overrightarrow{b}\)的终点，得到的向量就是\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的和向量。总结法则一般地，已知非零向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，在平面内任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的和，记作\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，即\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。强调要点两个向量相加，"首尾相连"，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。对于零向量与任一向量\(\overrightarrow{a}\)，规定\(\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\)。例题讲解例1：已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，用向量加法的三角形法则作出\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。解：先作\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，再从\(A\)点作\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。（在黑板上画出具体图形）例2：化简\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\)。解：根据向量加法的三角形法则，\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)，\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\)，所以\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\)。2.向量加法的平行四边形法则探究活动让学生思考是否还有其他方法来作出两个向量的和向量。引导学生以两个不共线向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)为邻边作平行四边形，以它们的公共起点为起点的对角线所表示的向量就是\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的和向量。总结法则已知两个不共线向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，作\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\)，以\(AB\)，\(AD\)为邻边作平行四边形\(ABCD\)，则对角线上的向量\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。强调要点两个不共线向量相加，"共起点"，和向量是平行四边形的对角线。当两个向量共线时，平行四边形法则不适用，但三角形法则仍然适用。例题讲解例3：已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，用向量加法的平行四边形法则作出\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。解：作\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)，以\(OA\)，\(OB\)为邻边作平行四边形\(OACB\)，则\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。（在黑板上画出具体图形）例4：已知平行四边形\(ABCD\)，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\)，用向量加法的平行四边形法则表示\(\overrightarrow{AC}\)和\(\overrightarrow{BD}\)。解：由平行四边形法则可知\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。3.向量加法的运算律交换律探究活动让学生计算\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)和\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)，通过画图观察它们是否相等。经过学生的实践和讨论，发现\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)。总结规律向量加法的交换律：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)。结合律探究活动让学生计算\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}\)和\(\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)，通过画图比较它们的结果。学生通过实践发现\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)。总结规律向量加法的结合律：\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)。证明结合律已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)，在平面内任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}\)。则\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\)。\(\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{OA}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\)。所以\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)。例题讲解例5：化简\((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{OM}\)。解：根据向量加法的交换律和结合律，\((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO})+(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。（三）课堂练习1.已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，求作\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)：（1）用三角形法则；（2）用平行四边形法则。2.化简：（1）\(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}\)；（2）\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FA}\)。3.已知\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c}\)，\(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{d}\)，用\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)，\(\overrightarrow{d}\)表示\(\overrightarrow{AE}\)。（四）课堂小结1.引导学生回顾向量加法的三角形法则和平行四边形法则，强调它们的适用条件和要点。2.总结向量加法的交换律和结合律及其应用。3.让学生谈谈本节课的收获和体会。（五）布置作业1.书面作业课本P15练习A组第1，2，3题。已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)满足\(\v