高考专题复习-参数方程

高考专题复习--参数方程一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解参数方程的概念，明确参数的意义。熟练掌握直线、圆、椭圆的参数方程及其应用。学会将参数方程化为普通方程，以及根据普通方程求参数方程。2.过程与方法目标通过对参数方程概念的引入和理解，培养学生的抽象概括能力。在参数方程与普通方程的互化过程中，提升学生的数学运算能力和逻辑推理能力。通过实例分析，让学生体会参数方程在解决实际问题中的应用，增强学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学知识的热情。让学生体会数学的严谨性和科学性，培养学生的数学思维品质。二、教学重难点1.教学重点参数方程的概念和常见曲线的参数方程。参数方程与普通方程的互化。2.教学难点如何引导学生理解参数的作用和意义。在参数方程与普通方程互化过程中，如何根据方程的特点选择合适的方法进行转化。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）课程导入（5分钟）1.引导语同学们，在之前的学习中，我们已经对解析几何有了一定的了解，知道通过建立直角坐标系，可以用方程来表示曲线。今天我们将学习一种新的表示曲线的方法参数方程。2.实例引入展示一个简单的例子：一辆汽车在直线道路上行驶，其位置与时间的关系可以用两个方程来描述。设汽车的初始位置为原点，行驶方向为x轴正方向，速度为v。那么在时刻t，汽车的横坐标x=vt，纵坐标y=0（假设汽车在x轴上行驶）。这里的时间t就是一个参数，它帮助我们确定了汽车在不同时刻的位置。通过这样的例子，让学生初步感受参数在描述事物变化过程中的作用。（二）参数方程的概念（10分钟）1.定义讲解一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：\(\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\)，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点\((x,y)\)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2.深入理解通过几个简单的例子，进一步帮助学生理解参数方程的概念。例如，给出参数方程\(\begin{cases}x=2+3t\\y=1t\end{cases}\)，让学生思考当t取不同值时，对应的\((x,y)\)点在平面直角坐标系中的位置，从而体会参数方程是如何通过参数来确定曲线上的点的。（三）直线的参数方程（15分钟）1.直线参数方程的推导已知直线过点\(M_0(x_0,y_0)\)，倾斜角为\(\alpha\)，设直线上任意一点\(M(x,y)\)，则向量\(\overrightarrow{M_0M}=(xx_0,yy_0)\)。设\(\overrightarrow{M_0M}=t\overrightarrow{e}\)（\(t\)为参数），其中\(\overrightarrow{e}=(\cos\alpha,\sin\alpha)\)是直线的单位方向向量。则\(\begin{cases}xx_0=t\cos\alpha\\yy_0=t\sin\alpha\end{cases}\)，整理可得直线的参数方程为\(\begin{cases}x=x_0+t\cos\alpha\\y=y_0+t\sin\alpha\end{cases}\)（\(t\)为参数）。2.参数\(t\)的几何意义通过图形分析，讲解参数\(t\)的几何意义：\(\vertt\vert\)表示直线上动点\(M\)到定点\(M_0\)的距离。当\(t\gt0\)时，点\(M\)在\(M_0\)的上方（沿直线向上方向）；当\(t\lt0\)时，点\(M\)在\(M_0\)的下方（沿直线向下方向）；当\(t=0\)时，点\(M\)与\(M_0\)重合。3.例题讲解例1：已知直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+2t\\y=2+t\end{cases}\)（\(t\)为参数），求直线\(l\)的斜率和倾斜角。解：将参数方程化为普通方程，由\(y=2+t\)可得\(t=y2\)，代入\(x=1+2t\)中，得到\(x=1+2(y2)\)，整理得\(x2y+3=0\)，所以直线\(l\)的斜率\(k=\frac{1}{2}\)，倾斜角\(\alpha=\arctan\frac{1}{2}\)。例2：已知直线\(l\)过点\(P(2,3)\)，倾斜角\(\alpha=45^{\circ}\)，求直线\(l\)与坐标轴的交点坐标。解：直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2+t\cos45^{\circ}\\y=3+t\sin45^{\circ}\end{cases}\)（\(t\)为参数），即\(\begin{cases}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{cases}\)。令\(x=0\)，则\(0=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\)，解得\(t=2\sqrt{2}\)，代入\(y\)的方程得\(y=32=1\)，所以直线\(l\)与\(y\)轴交点坐标为\((0,1)\)。令\(y=0\)，则\(0=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\)，解得\(t=3\sqrt{2}\)，代入\(x\)的方程得\(x=23=1\)，所以直线\(l\)与\(x\)轴交点坐标为\((1,0)\)。（四）圆的参数方程（15分钟）1.圆参数方程的推导设圆的圆心为\(C(a,b)\)，半径为\(r\)，圆上任意一点\(P(x,y)\)。以圆心\(C\)为原点建立新的直角坐标系\(x'Cy'\)，在新坐标系下，点\(P\)的坐标为\((x',y')\)，则\(x'=xa\)，\(y'=yb\)。根据圆的标准方程\((x')^2+(y')^2=r^2\)，设\(x'=r\cos\theta\)，\(y'=r\sin\theta\)（\(\theta\)为参数），则可得圆的参数方程为\(\begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数），其中\(\theta\)的几何意义是圆心角（以圆心为顶点，圆上一点与圆心连线和\(x\)轴正半轴所成的角）。2.例题讲解例1：已知圆\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+2\cos\theta\\y=2+2\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数），求圆\(C\)的圆心坐标和半径。解：由圆的参数方程可知，圆心坐标为\((1,2)\)，半径\(r=2\)。例2：将圆\(x^2+y^2=4\)的参数方程表示出来。解：令\(x=2\cos\theta\)，\(y=2\sin\theta\)（\(\theta\)为参数），则圆\(x^2+y^2=4\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=2\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数）。（五）椭圆的参数方程（15分钟）1.椭圆参数方程的推导设椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以原点为圆心，\(a\)、\(b\)为半径分别作两个同心圆。设点\(A\)为大圆上一点，坐标为\((a\cos\varphi,a\sin\varphi)\)，过点\(A\)作\(x\)轴的垂线，交小圆于点\(B\)，再过点\(B\)作\(y\)轴的平行线，交椭圆于点\(P(x,y)\)。由相似三角形可得\(\frac{x}{a}=\frac{b\sin\varphi}{b}\)，\(\frac{y}{b}=\frac{a\cos\varphi}{a}\)，即\(\begin{cases}x=a\cos\varphi\\y=b\sin\varphi\end{cases}\)（\(\varphi\)为参数），这就是椭圆的参数方程，其中\(\varphi\)叫做离心角。2.例题讲解例1：已知椭圆\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2\cos\varphi\\y=\sin\varphi\end{cases}\)（\(\varphi\)为参数），求椭圆\(C\)的标准方程。解：将参数方程变形为\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\)，所以椭圆\(C\)的标准方程为\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。例2：已知椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)上一点\(P\)的横坐标为\(x=\sqrt{3}\)，求点\(P\)的纵坐标及离心角\(\varphi\)。解：把\(x=\sqrt{3}\)代入椭圆方程\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，得\(\frac{(\sqrt{3})^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，解得\(y=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}\)。当\(x=\sqrt{3}\)，\(y=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)时，\(\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，则\(\varphi=\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\)；当\(x=\sqrt{3}\)，\(y=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)时，\(\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，则\(\varphi=2\pi\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\)。（六）参数方程与普通方程的互化（20分钟）1.参数方程化为普通方程代入消元法通过具体例子讲解如何运用代入消元法将参数方程化为普通方程。例如，对于参数方程\(\begin{cases}x=1+t^2\\y=t\end{cases}\)，由\(y=t\)可得\(t=y\)，代入\(x=1+t^2\)中，得到\(x=1+y^2\)，这就是化为后的普通方程。利用三角函数关系消元对于含有三角函数的参数方程，可利用三角函数的平方关系等进行消元。如参数方程\(\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=3\sin\theta\end{cases}\)，由\(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，可得\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)。2.普通方程化为参数方程直接引入参数法对于一些简单的普通方程，可直接引入参数。例如，对于直线方程\(y=2x+1\)，可设\(x=t\)，则\(y=2t+1\)，参数方程为\(\begin{cases}x=t\\y=2t+1\end{cases}\)（\(t\)为参数）。利用三角函数关系引入参数对于圆或椭圆的方程，常利用三角函数关系引入参数。如对于圆\(x^2+y^2=r^2\)，可设\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)（\(\theta\)为参数）。通过多个例题进行练习巩固，让学生掌握参数方程与普通方程互化的方法。（七）课堂练习（15分钟）1.已知直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+3t\\y=24t\end{cases}\)（\(t\)为参数），求直线\(l\)的斜率和倾斜角。2.已知圆\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=3+5\cos\theta\\y=2+5\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数），求圆\(C\)的圆心坐标和半径。3.将椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的参数方程表示出来。4.已知椭圆的参数方程为\(\begin{cases}x=2\cos\alpha\\y=\sin\alpha\end{cases}\)（\(\alpha\)为参数），点\(P\)在椭圆上，当\(\alpha=\frac{\pi}{3}\)时，求点\(P\)的坐标。5.将参数方程\(\begin{cases}x=2+3\cost\\y=1+3\sint\end{cases}\)化为普通方程，并指出它表示什么曲线。（八）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括参数方程的概念、直线、圆、椭圆的参数方程及其参数的几何