江苏省常熟市2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含答案

2022~2023学年第二学期期中试卷高一数学2023.04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足，则的虚部是A.3 B. C. D.2.已知向量，，则在上的投影向量为A. B. C. D.3.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于A.8 B. C.8或 D.64.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则A. B. C. D.5.在中，若，则的形状为A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6.已知，则的值为A. B. C. D.7.在中，内角为，，，且。若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为A. B.C. D.8.已知，，若平面内一点，满足，则的最大值是A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分。9.下列关于平面向量的说法中正确的是A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥。依据欧拉公式，下列选项中正确的是A.对应的点位于第二象限 B.为纯虚数C.的模长等于 D.的共轭复数为11.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则A.在上是减函数B.由可得是的整数倍C.是奇函数D.函数在区间上有8个零点12.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则。“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”。若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则A.为的垂心 B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。13.若是虚数单位，，则__________。14.已知空间向量，满足，，且，的夹角为，若，则实数等于__________。15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞。若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为__________。16.如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为__________，若、分别是边、的中点，则的取值范围是__________。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题10分）（1）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；（2）已知复数为纯虚数，求实数的值。18.（本小题12分）已知平面直角坐标系内三点，，在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点。（1）求实数，的值；（2）设的重心为，且，求的值。19.（本小题12分）已知向量，，且函数。（1）若，且，求的值；（2）若将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到的图象，求函数在的值域。20.（本小题12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理。如图，一个半径为的筒车，按逆时针方向转一周的时长为，筒车的轴心距离水面的高度为，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：，在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为。（1）求，，，的值；（2）求盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求出高度差的最大值。21.（本小题12分）在①，②，③（为面积），三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答。在中，角，，的对边分别为，，，且选条件：__________。（1）求；（2）作，使得四边形满足，，求长的取值范围。22.（本小题12分）对于函数，，若对任意且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”。（1）设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；（2）在满足（1）且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围。2022~2023学年第二学期期中试卷高一数学参考答案2023.04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案ABACDDAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分。题号9101112答案ADABCACABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。13. 14. 15. 16.20，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解：（1）设，由题意得，解得，，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，则。（2），由题意得，解得。18.解：（1）因为三点，，在一条直线上，所以，又，所以，①因为，所以，即，②由①、②解得或。（2）因为，所以为的中点，所以，。所以，，，，因此。19.解：（1）因为向量，，所以。因为，所以。又，，因此，所以。（2）因为将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，所以。当时，，所以，即函数在的值域为20.解：（1）由题知，得，由题意得，解得，，时，，，，。（2）由，得，，即，，当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时。（3）设两个相邻的盛水筒分别用和表示（领先于），则，经过相邻两个盛水筒距离水面的高度分别为和，，，的最大值为。21.解：（1）选①：，由正弦定理得，，即，又，，因为，，故。，。选②：，由正弦定理得，即有，所以，，。选③：，即，即，，，，。（2）设，则，，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦