专题19【五年中考+一年模拟】圆压轴题-2023年宁波中考数学真题模拟题分类汇编(原卷版+解析)

专题19圆压轴题

1.（2023•宁波）如图1,-O为锐角三角形A5C的外接圆，点。在8c上，AD交BC于点、E,点F在AE

上，满足“归一/区下£>=NACB，FG//AC交BC于点G,BE=FG,连结4力，DG.设ZACH=a.

（1）用含a的代数式表示®0.

（2）求证：^BDE=^FDG.

<3）如图2,4）为C。的直径.

①当A8的长为2时，求AC的长.

②当OF:OE=4:11时，求cosa的值.

2.（2023•宁波）如图I,四边形A8CD内接于。BD为直径,4。上存在点E,满足AE=C。，连结BE

并延长交CD的延长线于点/，BE与AD交于点、G.

（1）若NDBC=a,请用含a的代数式表示NAG8.

(2)如图2,连结CE,CE=BG.求证：EF=DG.

（3）如图3,在（2）的条件下，连结CG,AD=2.

①若lan/4OB=^,求AFGO的周长.

2

②求CG的最小值.

3.（2023•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内向相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该

三角形第三个内角的遥望角.

（1）如图1,NE是MAC中N4的遥望角，若NA=a,请用含a的代数式表示NE.

（2）如图2,四边形A3CO内接于O,AD=BD,四边形A88的外角平分线。/交O于点F,连接

斯并延长交CO的延长线于点E.求证：N8E■。是中NBAC的遥望角.

（3）如图3,在（2）的条件下，连接AE,AF,若AC是0。的直径.

①求NA£Z）的度数;

②若A8=8,8=5,求ADE厂的面积.

图1图2图3

4.（2023•宁波）如图1,。经过等边根笈。的顶点A,C（圆心O在A4BC内），分别与帅，CA的延

长线交于点。，E,连接/）£,BF工EC交AE于点、F.

（1）求证：BD=BE.

（2）当AF:所=3:2,AC=6时，求AE的长.

Ap

（3）设---=x>tanZ.DAE=y.

EF

①求），关于1的函数表达式；

②如图2,连接竹，OB,若AAEC的面积是△。所面积的10倍，求y的值.

图1图2

3

5.（2023•宁波）如图1,直线/:>=-二x+〃与x轴交于点八（4,0）,与y轴交于点8,点C是线段04上一

4

动点(0<AC<§).以点A为圆心，AC长为半径作CA交x轴于另一点。，交线段A4于点E，连接0E并

延长交CA于点尸.

V5C

图1图2备用图

(1)求直线/的函数表达式和tarNK4O的值；

(2)如图2,连接CE,当CE=M时，

①求证：AOCES^OEA；

②求点石的坐标；

(3)当点C在线段04上运动时，求OE防的最大值

6.(2023•镇海区一模)如图，。是AA8C的外接圆，.点。在上，连结/汨，DC,DA,过点C作4。

的平行线交4)于点石.

(1)如图1,求证：AABC^ACDE；

(2)如图2,若Nfi^=NC4D=30°,AB=6,BD=-4,求。石；

(3)如图3,/为A43c的内心，若/在线段AE上，/3=10,tanZBAD=-,当归最大时，求出&O的

5

半径.

三

图1图2图3

7.(2023•宁波模拟)如图①，在RSABC中，ZC=90°,。是AC上一点(不与点A,C重合)，以A为

圆心，AD长为半径作A交AB于点、E,连结8。并延长交于点/，连结£D,EF,AF.

(1)求证：NEAF=2ZBDE；

(2)如图②，若NEBD=2NEFD,求证：DF=2CD;

(3)如图③，BC=6,AC=8.

①若ZE4F=90°,求4的半径长：

②求的•。石的最大值.

8.(2023•北仑区一模)有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.

(1)如图1,在等邻边互补四边形4AC7)中，AD=CD,且AD//BC,BC=2AD,则4=

(2)如图2,在等邻边互补四边形八AC7)中，/戌1。=90°,且BC=CD,求证：AB+AD=gAC.

(2)如图3,四边形ABC。内接于:O,连结。O并延长分别交AC,BC于点、E,F,交O于点G,

24

若点石是AC的中点，AB=BG,UmZABC=—,AC=6,求尸G的长.

7

9.(2023•宁波模拟)如图，已知是［O的直径，弦CO_LA6于点E,点尸是线段CD延长线.上的一点,

连结£4交一O于点G,连结CG交A”于点连结C4.

(1)求证：Z4CG=ZF.

(2)如图②，若C4=CG,求证：AG=CD.

(3)如图③，连结OG,AE=8.BE=2.

a

①若tan/.F=—,求AP的长；

4

②求AG-QG的最大值.

10.（2023•宁波一模）如图1,在等腰AABC中,AB=AC=2y/3,NK4C=120。，点。是线段4c上一点,

以DC为直径作C。，O经过点4.

（1）求证：是_Q的切线；

（2）如图2,过点A作A£_L3C垂足为E,点尸是O上任意一点，连结律.

①如图2,当点尸是。。的中点时，求生的值；

BF

②如图3,当点F是「。上的任意一点时，变的值是否发生变化？请说明理由.

BF

（2）在（2）的基础上，若射线8尸与CO的另一交点G,连结跖，当NGEF=90°时，直接写出|W-EGI

的值.

11.（2023•北仑区二模）【证明体验】

⑴如图1,一O是等腰AABC的外接圆，AB=AC,在AC上取一点P,连结/IP,BP,CP.求证:

ZAPB=NPAC+ZPC4；

【思考探究】

（2）如图2,在（1）条件下，若点尸为AC的中点，A4=6，PB=5,求小的值：

【拓展延伸】

（3）如图3,。的半径为5,弦BC=6,弦CQ=5,延长"交的延长线于点£,且/4Z?P=NE,

求PE的值.

12.（2023•郸州区模拟）如图，为。的直径，弦C/）交裕于点石，且=

（1）求证：ZBAC=3ZACD；

（2）点尸在弧/?。匕Fl./CDF=-/AEC,连接B交干点G,求讦：CF=CD：

2

<3）①在（2）的条件下，若06=4,设O£=x,FG=y,求y关于x的函数关系式;

②求出使得y有意义的x的最小整数值，并求出此时。。的半径.

13.（2023•海曙区•模）【基础认知】

（1）如图1,点4为NM/W内部一点，ABUPN交PM于点、B,己知4?=尸8,求证：小平分NM/W；

W

M

图1

【综合运用】

（2）在（1）的情况下，作AHJLPN于点H.

①如图2,若AP=12,PH=9,求心的长;

②如图3,延长A”至点C,使C〃=A〃，过2，A,C三点作圆交/W于点。，交尸区的延长线于点石.若

BP=a,求圆的直径；（用含，的代数式表示）

③在（2）的情况下，设O〃=x,BE=y,当〃=6时，求），关于x的函数关系式.

14.（2023•宁波模拟）如图1,AWC内接于［O,AABC的外向NfiAD的平分线交O于点P（点A在弧

PC之间），连结心，PC.

（1）求证：PB=PC.

（2）若BC=8,cosZBAC=~,求尸8的长.

5

（3）如图2,在（2）的条件下，作PHLAB于点H.

①若NPA4=45。，求AA8C的周长.

②求AC+P”的最大值.

15.（2023•海曙区校级•模）如图，四边形ABCZ）内接于半圆。，是半圆O的直径,CE是半圆O的切

线，CE_LAD交4）的延长线于点E,DE=-BC,OE与相交于点/，连结斯并延长交AE的延长

4

线于点G,连结CG.

（1）求证：AD//BC.

（2）探究O尸与防的数量关系.

（3）求tanNG4C的值.

备用图）

16.（2023•郸州区校级一模）等腰三角形4AG中A/=AG，且内接于圆O,。、石为边回G上两点（。在产、

£之间），分别延长A。、AE交园。于6、C■两点（如图1）,记NfiA尸=a,ZAFG=/?.

（1）求NAC5的大小（用a,£表示）；

（2）连接b,交4?于-H（如图2）.若尸=45。,且3CxEF=AExCF.求证：ZAHC=2ZBAC；

（3）在（2）的条件下，取C”中点M,连接。必、GM（如图3）,若NOG"=2nr-45。，

①求证：GMi/BC,GM=-BC；

2

②请百接写出空•的信.

MC

17.（2023•江北区•模）如图1,四边形A6C7）是、。的内接四边形，其中4?=A。，对角线AC、4。相

交于点石，在AC上取一点尸，使得A尸=/W,过点尸作G”-4c交O于点G、H.

（1）证明：MED~^ADC.

(2)如图2,若AE=1,且G4恰好经过圆心O,求以的值.

(3)若AE=1,EF=2,设跳的长为x.

①如图3,用含有x的代数式表示MCO的周长.

②如图4,AC恰好经过圆心O,求MCO内切圆半径与外接圆半径的比值.

18.(2023•宁波模拟)定义：四边形/WCD中，AH=AC,NBDC=、NBAC,则称四边形为半角

2

四边形，边4c称为半对边.

(1)如图①，若四边形A4CO为半角四边形，且AC为半对边，设NDBC=a,用含有a的代数式表示

Z4C7)：

(2)如图②，等腰AABC，AB=4C，点。为其内部一点，ZABD=ZACD,连结4),作AAC。的外接

圆O，加＞的延长线交O于点E,连结£4,EC,求证：四边形A8CE为半角四边形；

(3)如图③，在(2)的条件下，延长84交C。于点尸，连结比'，EF//BC.

①求证：BC=CE；

②若4)=3,BC=6g,求四边形ADEF的面积.

19.(2023•郸州区一模)如图1,AAAC中，AC边上的中线AM=AC,延长/W交AABC的外接圆于点。,

过点。作OE//BC交圆于点£,延长交/W的延长线于点F,连接CK.

(1)若NAC8=60。，BC=4,求和。尸的长；

（2）①求证：BC=2CE；

②设tanZACB=x,f=y,求y关于x的函数表达式；

（3）如图2,作NCJ.AC交线段AD千N,连接EN,当MBC的面积是AC0V面积的6倍时，求tanZACB

的值.

20.（2023•慈溪市一模）如图1,在0。中，”为弦A8的中点,过点”作直径CO,E为线段上一

点，连结AE并延长交。。于点F,连结M,AE=BF.

（1）证明：AC=BF.

(2)当£M:QE=2时，求tan/EAB.

<3）如图2,连结CV交4?于点G,当8=2时，设AGAB-y,求），大于x的函数解析式,

并确定），的最大值.

21.（2023•镇海区二模）如图1,在平面直角坐标系中，直线AB:），=履+6*<0）与x轴交于点4,与），轴

交于点A,点。是.1轴负半轴上一点，过A、B、C三点的（圆心M落在第四象限）交），轴负半轴

于点。，连结CZ）,已知NAC8=2NADC=%.

(1)ZDAI3=(请用a的代数式表示)，并求证：DA=DB^

(2)若〃=-L,求点。的坐标；

2

(3)如图2,连结人用并延长，交AC于点尸，交M于点E,

①若求8”的长；

②若38尸=28,请直接写出四边形ABDC的面枳.

22.(2023•余姚市一模)如图1,在RtAABC中，A/i=AC=4,AQ_L4c于。，E为A8边上的点，过4、

。、E三点的0。交AC于尸，连结DE,DF.

(1)求证：AE=CF.

(2)若tan乙W=3,求O的面积.

(3)如图2,点尸为DE上一动点，连结夕力，PE,PF.

①若P为OE的中点，设AE为x,APZ加的面积为S,求S关于x的函数表达式.

②在点?运动过程中，试探索出)，PE,尸尸之间的数量关系，并证明.

23.(2023•江北区模拟)如图1,四边形A8CD内接于_O,C是弧4。的中点，N/幽的平分线交AC于

点、E.

(1)求证；CB=CD=CE.

(2)如图2,尸是。。上的动点，连结8并延长交直线双)于点G,连结砂，EG,求证：CE?=CFCG.

(3)如图3.在(2)的条件下，若切是C。的直径，且点A与点F关于9对称.

①当tanZA8Z)="!"时，求空的值.

2EG

②若求CG的最小值.

24.（2023•宁波模拟）如图，A〃为半。的直径，点。是圆弧上一点,Q为AP上的点，且4P=4尸Q,

过。作弦MN,使点尸为MN的中点，连结AM,AN,PM,PN.

（1）如图①，若MN//AB,且AB=16,求MN的长.

（2）如图②，当点尸是半（O上任一点M.求证：AN=2NQ.

如图②，若风％=.i,生”

y»求y与x的函数关系式.

SAAMNS1M2M

如图②，当tan/PAN=且时,

(4)

5

25.（2023•宁波模拟）已知为QO的直径，弦C£＞交于点E（点E不与O重合），连结AC,AD,

AC=AD.

（1）如图1,求证；AB±CD.

（2）如图2,过点。作弦O〃_LAC于点G,求证：DB=BC=CH.

（3）如图3,在（2）的条件下，点Q为弧4）上一点，连结AQ,HQ,HQ交AB于点P,若4Q=1,

DE=3,Z/7P^+2ZC4B=9O°.

①求AP的长；

②求O的半径.

26.(2023•宁波模拟)如图，AABC内接于CO，AB=AC,点。为劣弧AC上动点，延长4),BC交于

点E,作Of7/A8交于尸，连结b.

(1)如图①，当点。为AC的中点时，求证：DF=BC；

(2)如图②，若C产=C4,ZABC=a,请用含有a的代数式表示NE；

(3)在(2)的条件下，若BC=CE,

①求证：AC+AD=DE；

②求tanNK的值.

图①图②

27.(2023•端州区校级三模)如图，是CO的直径，点。是上的一点，点。为弧的中点，过点

D作AB的平行线交CB的延长线于点E.

(I)如图1,求证：AADC^ADEC；

(2)若。。的半径为3,求C4-CE的最大值；

(3)如图2,连接AE,设tanNABC=x,tanZAEC=y,①求y关于x的函数解析式：②若色=之，求

-BE5

)，的值.

cc

ED

（即）

（图2）

28.（2023•郸州区模拟）如图1,锐角A48D（A8vA。）内接于CM,弦AC_L4O于点O.已知©例半径

为5,且AC=8D.

（1）求证：AAOD为等腰直角三角形.

（2）若OC=1,求AABD的面积.

（3）若tan/弘O=x,43。的面积为y,求），关于"的函数解析式,

（4）如图2,若A44O的面积为-，点、E,“分别在0/1,MD上,连结EF,ME,若ZDEF=NDAB,

2

求A/W箱面积的最大值.

€）.1o©

C

图1备用图图2

29.（2023•海曙区校级模拟）如图，在O的内接四边形A3CD中AC,8。是它的对角线，AC的中点/是

的内心.

（1）当O,/重合时，直接写出AC，BD的位置关系,数量关系：直接判断四边形小C。的形状.

（2）找出所有与线段8相等的线段，并说明理由.

（3）求AAB。，MC7）的面积之比.

（4）若cos/8AO=，，设BC为x,△48/的面枳为y,求出,：与/之间的函数关系式.

9

6a

cc

30.（2023•海曙区校级三模）如图，O的直径AB垂直于弦CD于点£,点?是C。延长线上异于点。的

一个动点，连结AP交二。于点Q,连结CQ交A"于点"，连结AC,L）Q.

（1）求证：ZACQ=ZCPA；

⑵若45=10,8=8,

①若收）=4,求CQ的长；

②若尸。=一少■=），，求），与X之间的函数关系式；

SbQDC

（3）在（2）的条件下，求人。・。。的最大值.

备用图

专题19圆压轴题

1.（2023•宁波）如图I,0。为锐角三角形A4C的外接圆，点。在8c上，AD交BC于点、

E,点尸在AE上，满足ZAFB-ZBFD=〃\CB,FGi/AC交BC于点、G,BE=FG,连

结BD,DG.设ZACB=a.

(1)用含a的代数式表示N瓯.

<2)求证：MDE三AEDG.

(3)如图2,4)为C。的直径.

①当的长为2时，求AC的长.

②当=时，求cosa的值.

:

、---------'D

图1图2

答案：(1)ZBFD=90°--；(2)见解析；(3)①3；②』

28

【详解】(1)ZAFB-Z.BFD=ZACB=a，①

又•.ZAra+ZfiFD=180c,②

②一①，得2N3P£>=18(r-a,

AZBFD=90°--；

2

(2)rtl(1)得/8匹。=90。一巳，

2

-ZADB=ZACB=a,

/.ZFBD=180o-ZA£>B-Z5FD=90°--,

2

：.DB=DF,

•.FG//AC,

:.ZCAD=ZDFG,

4CAD=QBE,

:"DFG=4DBE,

在的。石和"7X7中，

DB=DF

<NDFG=NDBE,

BE=FG

:.MDE=MDG(SAS)；

(3)①•.MDEwNDG,

;./FDG=/BDE=a，

ZBDG=ZBDF+ZEDG=2a,

•.DE=DG,

ZDGE=-(180°-ZFDG)=90°--,

22

ZDBG=\S00-ZBDG-ZDGE=90°-—,

2

A£>是O的宜径，

:.ZABD=90P，

3a

ZABC=/ABD-/DBG=—，

2

/.AC与AB所对的圆心角度数之比为3:2,

.•・AC与A8的长度之比为3:2,

•/Ali=2,

AC=3；

②如图，连接30,

OB=OD,

Z.OBD=Z.ODB=a，

...乙BOk=4OBD+NO/M=la,

/BDG=2a,

"BOF=/BDG,

•・•ZBGD=ZBFO=90°--,

2

:.^BDG^\BOF,

设ABDG与ABOF的相似比为女,

DGBD,

/.-----=——=k,

OFBO

OF4

•«,—=一，

OE11

.•.设O尸=4x,则QE=1LJDE=DG=4kx,

OB=OD=OE+DE=\\x+4kx,BD=DF=OF+OD=\5x+4kx

•_B_D___\_5_x_+__4_k_x__1_5_+__4_攵

.7）B~\\x+4kx~\\+4k'

由！5+4〃=4,得4攵2+74-15=0,

ll+4k

解得Z=*或-3（舍去），

4

:.OD=\\x+4kx=\6x,B£>=l5x+4收=20x，

:.AD=2OD=32x,

在RlAABD中，cosZAD^=—=—=-,

AD32x8

5

cosa=-.

8

方法二：连接。8,作8W_LAD于M,

由题意知，和M即都是等腰三角形，

:.EM=MF,

设OK=11,。尸=4,

设DE=m,则O8="?+ll,OM=3.5,BD=m+\5,DM=m+75,

:.OB2-OM2=BD2-DM2,

即(m+11)2-3.52=(/n+l5)2-(m+7.5)2,

解得〃7=5或〃2=—12(舍去)，

MD5

/.cosa=------=—.

BD8

2.(2023•宁波)如图1,四边形内接于OO,BD为直径,上存在点E,满足

AE=CD,连结班并延长交8的延长线于点"，BE与AD交于息G.

(1)若NDBC=a,ila的代数式表示NAG瓦

(2)如图2,连结C£,CE=BG.求证：EF=DG.

(3)如图3,在(2),连结CG,AD=2.

①若tanZADB=—,

2

②求CG的最小值.

图1

答案：(1)ZAG«=90°-a：(2)见解析•：(3)①上史；②G

2

【详解】(1)•.必为co的直径，

.•.440=90°,

7AE=CD,

.•.ZABG=ZDBC=a,

ZAGB=900-a：

(2)BD为1O的直径，

.".ZBCD=90°,

.•./BEC=/BDC=90°-a,

:.ZBEC=ZAGB,

NCE尸=180°-/8石C，NBGD=180。一4GB,

:.NCEF=ZBGD,

乂CE=BG，占CF=4GBD,

..ACFE^ABDG(ASA),

:.EF=DG；

（3）①如图，连接£>£,

4。为O的直径,

:./A=/RF.D=^r,

在RtAABD中，tanZADB=—,AD=2,

2

/.A/3=—xAD=>/3f

2

,•AE=CD,

AE+DE=CD+DE,

即AD=CE,

.\AD=CE,

•.CE=BG,

BG=AD=2，

•.•在RtAABG中，s\nAAGB=—=—

BG2

/.ZAGB=60°,AG=-BG=\,

2

,.EF=DG=AD-AG=\,

•.•在RtADEG中，ZEGD=60°,

.MM1HP6MG

・.EG=—DG=—，DE=—DG=—，

2222

在RlAFED中，DF=>1EF2+DE2=—

2

...1G+DG+Of=5+",

2

.•.AFG。的周长为壬2；

2

②如图，过点C作C”LB/7于”，

△BDG^ACFE,

;.BD=CF,4CFH=/BDA,

vZBAD=ZCHF=90°,

/.ABAD=ACHF(A4S),

:.FH=AD,

AD=BG,

:.FH=BG,

,.•NAB=900,

/.ZBCH+ZHCF=9O°,

N4C，+"AC=90°,

:.&CF=4HBC,

NA〃C=NS尸=90。，

:.gHCs^CHF、

BHCH

---=---,

CHFH

设GH=.r,

：.BH=2-x,

：.CH2=2(2-x),

在RtAGHC11',CG2=GH2+CH2,

CG2=x2+2(2-x)=(x-\)2+3,

当x=l时，CG?的最小值为3,

二.CG的最小值为G.

3.(2023•宁波)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所

成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

(1)如图1,NE是1改?中NA的遥望角，若ZA=a,请用含。的代数式表示NE.

(2)如图2,四边形ABCD内接于OO,AD=BD,四边形ABC。的外角平分线。尸交

于点/，连接A/7并延长交CQ的延长线于点£.求证：/4EC是A44C中NB4C的遥望角.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接A£,AF,若AC是0O的直径.

①求NA中的度数；

②若AB=8,CD=5,求的面积.

EE

图1图2图3

i95

答案：（1）ZE=-a：（2）见解析；（3）①ZAE£>=45。；②三

29

【详解】（1）•庞:平分ZAHC,CE平分NAC7）,

/.ZE=ZECD-ZEBD=；（ZACD-ZABC）=gZA=；a，

（2）如图1,延长BC到点T,

图1

•四边形尸88内接手，O，

/.NHJC+=1809,

又•./FDE+NFDC=180。,

:./FDE=NFBC，

/平分

.\ZADF=ZFDE,

、：ZADF=ZABF,

:.ZABF=ZFBC,

二.8七是NABC的平分线，

•/AD=BD,

7.ZACD=ZBFD,

/BFD+/BCD=180。,ZZXT+N3CL>=180。，

:.ZDCT=^BFD,

\ZACD=ADCT,

•.8是A/V?。的外角平介线,

/BEC是AABC中ABAC的遥望角.

（3）①如图2,连接CA

­.〃正C是AABC中NBAC的遥望角，

：./BAC=2ZBEC，

•;/BFC=NBAC，

:"BFC=2ZBEC,

4BFC=NBEC+ZFCE，

；.ZBEC=/FCE,

'；/FCE=4FAD,

:.ZBEC=/FAD,

又•：/FDE=ZFDA,FD=FD,

:△FDEwkFDAlAAS)，

：.DE=DA，

.\ZAED=ZDAE,

AC是O的直径，

.-.ZA£>C=90°,

：.ZAED+ZDAE=9(r,

:.ZAED=ZDAE=45°,

②如图3,过点4作AG_4£于点G,过点尸作后W_LCE于点M,

AC是O的直径，

.-.Z4BC=90o，

•BE平分ZABC,

^FAC=NEBC=-/ABC=45°，

2

•.ZAED=45°,

:.ZAED=^FAC.

•:ZFED=ZFAD,

:.ZAED-4FED=4FAC-乙FAD,

..ZAEG=ZCAD,

•.•ZEGA=ZADC=9(r,

:.AEGA^AADC,

.AEAG

~AC=~CD'

•.•在RtAABG中，A8=8,ZABG=45。，

72i-

AG=—AB=4y/2,

2

在RtAADE中，AE=41AD,

y/2AD4x/2

/.--------=------9

AC5

AD4

/.二一，

AC5

在RtAADC中，AD2+DC2=AC2,

.•.设AO=4x,AC=5x,则有(4x)2+5?=(5x)2,

5

：.x=—,

3

•.m=T

35

:.CE=CD+DE=—

3

•.ZBEC=ZFCE,

:.FC=FE,

FMVCE>

.\EM=-CE=—,

26

:.DM=DE-EM=一，

6

•.NFDM=45。，

..FM=DM=-,

6

125

SWFF=-DEFM=—.

4.(2023•宁波)如图1,。经过等边A44c的顶点4,C(圆心。在A44C内)，分别与

AB,C8的延长线交于点O,E,连接。E,8尸J.EC交AE于点尸.

(1)求证：BD=BE.

(2)当A尸:所=3:2,AC=6时，求AE的长.

…AF

(3)设=x,tan/DAE=y.

EF-

①求y关于工的函数表达式；

②如图2,连接OF,OB,若AAEC的面积是AOEB面积的10倍，求y的值.

AA

图1图2

答案：(1)见解析；(2)AE=2相；(3)①y

4x+l

【详解】证明：(1)A43C是等边三角形,

/.ZZMC=ZC=60°»

•.Z£)EB=ZMC=60°,ZD=ZC=60°,

:.ZDEB=ZD,

:.BD=BE；

(2)如图1,过点A作HG_L4C于点G,

A48C是等边三角形，AC=6,

:.8G=-BC=-AC=3,

22

.,.在RtAABG中，AG=、存8G=3百,

BF工EC,

:.BFNAG,

AFBG

~EF~~EB

AF:EF=3:2,

:.BE=-BG=2,

3

：.EG=BE+BG=3+2=5r

在RtAAEG中，AE=4AG?+EG?=J(3扬:+52=27n；

(3)①如图1,过点E作EH_LAD于点”,

A

图1

,.•N£BD=NABC=60°,

.•.在RtABEH中，—=sin60°=—,

BE2

:.EH=—BE,BH=-BE,

22

BGAF

---==x，

EBEF

BG=xBE，

AB=BC=2BG=Z\BE,

AH=AB+BH=2xBE--BE=(2x+-)BE，

22

EH亏BEr

.,.在RtAAHE中，tanZEAD=——=———=-^—

4X+,

A"(2A+1)B£

―二H

②如图2,过点。作QMJ_4C于点M,

设BE=a,

BGAF

•/-----=-----=x，

EBEF

；.CG=BG=xBE=ax,

EC=CG+BG+BE=a+2xix，

/.EM=—EC=—a+ax,

22

:.BM=EM-BE=ax--a,

2

":BFffAG,

/.AEBF^AEGA,

BFBEa1

AGEGa+axl+x

AG=\/3BG=y/5ax,

1疯女

BDFr=---AG=----,

x+\x+1

▲八f的工工nBF,BM1x/3av.1、

/.AOFB的面积=-------=—x----(ax——fl),

22x+12

FC-Ad1r-

：.AAEC的面积=----=-x\/3ax(a+2ax),

22

AA£C的面积是的面积的10倍，

z.—x\f3ax(a+2ax)=10x-x^^(ar-—，

22x+12

/.2x2-7x+6=0，

解得：％=2,.4='1,

...y=*或*.

5.(2023♦宁波)如图I,直线/:y=-3x+〃与x轴交于点A(4,0),与)，轴交于点8,点C

4

是线段04上一动点(0<4C<£).以点A为圆心，AC长为半径作£A交工轴于另一点。,

交线段A3于点石，连接0E并延长交CA于点产.

（1）求直线/的困数表达式和tanNHAO的值：

（2）如图2,连接C£,当8二瓦1时，

①求证：AOCESAOEA；

②求点石的坐标；

（3）当点C在线段OA上运动时，求OE斯的最大值.

答案：（1）直线/的函数表达式），=—』x+3,tanNB4O=3；（2）①见解析；②£（卫，—）；

44252）

【详解】•.,直线/:)，=一3工+人与犬轴交于点A(4,0),

4

/.--X4+/?=(),

4

.'.£?=3,

.,•直线/的函数表达式y=—3%+3,

/.B(0,3),

OA=4，OB=3,

在RtAAOB中，tanZfi/10=—=-；

OA4

(2)①如图2,连接。尸，CE=EF,

:.ZCDE=ZFDE,

;"CDF=24CDE,

•-ZOAE=2ZCDE,

:.ZOAE=^ODF,

••四边形C£/论是_A的圆内接四边形，

/.4OEC=4ODF,

:.ZOEC=ZOAE,

•.•ZCOE-ZEOA,

:MOEsisEO',

②过点E作于M,

3

由①知，taiiZOAB=-,

4

设EM=3"z，则A"=4〃Z,

OM=4-4/w,AE=5/n,

/.E(4—4”?,3m),AC=5)n.

:.OC=4-5in,

由①知，△COESAEOA,

.OC_OE

~OE=~OA'

OE-=OAOC=4(4-5m)=16-20m,

E(4-4)〃,3m),

(4-4，〃)2+9/zz2=25m2-32m+16,

25〃广-32m+16=16-20/〃，

/./n=0(舍)或加=口，

25

,4.4〃,="，3〃,=史

2525

，的,当,

2525

(3)如图，设OA的半径为广，过点O作OG_LA3于G,

A(4,0),3(0,3),

.♦.04=4,04=3,

:.AB=5，

、ABXOG=LOAXOB,

22

:.OG=—

5t

sOG12416

二.AG=------------=—x-=一,

tanZ.OAB535

:.EG=AG-AE=—-r,

5

连接F”，

EH是人直径，

：.EH=2r,/EFH=90。=/EGO，

NOEG=ZHEF,

.•.△OEGsAHEF,

.OEEG

~HE~~EF'

/.OEEF=HEEG=2r(y-r)=-2(r-1)2+搂，

时，OE即最大值为四.

525

6.(2023•镇海区一模)如图，。是AA3C的外接圆，点。在8c上，连结08,DC,DA,

过点。作BD的平行线交A/)于点E.

(1)如图1,求证：AABCS&CDE；

(2)如图2,若/皿＞=NC4P=30°,43=6,凉)=4,求OE；

(3)如图3,/为AABC的内心，若/在线段AE上，45=10,tanZBAD=-,当IE最大

5

时，求出O的半径.

【详解】（1）证明：.•点。在圆。上，

：.ZABC=ZADC,ZADB=ZACB,

又-CE//BD,

；.ZADB=ZDEC,

.•.A/WCSAC/M；

（2）解：由（1）可得AABCs^cOE,

DEDC

・\，

BCAB

•/ZBCD=ABAD=ZC4Z）=ZCBD=30°，

BC=GBO=4X/5,

..DE=-----；

3

（3）解：由（2）得：DEAB=BCDC,

;.10DE=BCDC，

如图，作BFLCF,

tanZ.BCD=tan/BAD=—,

5

设BF=x,CF=5x,CD=BD=1,

•••BD1=BF2+DF2,

17

解得，t=—X,

5

故心也,,

13

，阳叵九

26

连接C7，

/为AA8C的内心，

ZACI=/BCI，ZBAD=^CAD=ZBCD.

ZDIC=ZCAD+ZACI=/BCD+/BQ=ADCl，

:.DC=DI=t，

IE=ID-DE=t-^-l

26

•••"亭时‘花最大‘

此时3C=噜“5,

连接OD交3c于点由勾股定理可得出QM=1,

2

\-OM2+MC2=OC2,

二(r-i)2+(1)2=r2,

解得r=竺,

2

即圆O的半径为U.

2

7.(2023•宁波模拟)如图①，在RtAABC中，ZC=90SD是AC上一点(不与点A,C

重合)，以A为圆心，AO长为半径作OA交于点E,连结皮)并延长交A于点尸，连

结ED,EF,AF.

(1)求证：ZEAF=2ZBDE；

(2)如图②，若/EBD=2/EFD,求证：DF=2CD；

(3)如图③，BC=6,AC=8.

①若/£4〃=90。，求A的半径长；

②求盛•。石的最大值.

答案：（1）见解析:（2）见解析：（3）ffir=5：②5函

【详解】（1）证明:在优弧所上任意取一点G,连接GE,GF,

・四边形EDCG是圆内接四边形,

/.Z£DF+ZG=180o，