专题62 立方根-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题6.2立方根.重难点题型

【沪科版】

短*中一更三

【知识点1立方根的概念及性质】

（1）一般地，如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根。即如果好=如那么X叫

做。的立方根，记作标。即1=加。

（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.

【题型1立方根的概念及性质】

【例1】（2021春•仓山区期中）如果-。是〃的立方根，那么二列结论正确的是（）

A.。是-〃的立方根B.“是〃的立方根

C.是的立方根D.±〃都是的立方根

（解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论.

【解答过程】解：根据题意得：（23=4

-a3=b,

/.a3=-b,

J。是-。的立方根，

故选：A.

【变式1-1]（2021春•海淀区校级月考）下列结论正确的是（）

A.64的立方根是土4B.-为没有立方根

C.若G=诉，则〃=1D.>1^27=-V27

【解题思路】根据立方根的定义解答即可.

【解答过程】解：从正数的立方根只有一个，64的立方根是4,该选项错误，不符合题意;

B.负数也有立方根，该选项错误，不符合题意；

C.。也可以等于0,该选项错误，不符合题意：

D.=-3,-V27=-3,所以该选项正确，符合题意.

故选：D.

【变式1-2]（2021春•白云区期末）下列说法正确的是（：

A.64的立方根是土幅f=±F

B.是—4的立方根

ZO

c.7^=_旧

D.立方根等于它本身的数是0和1

【解题思路】根据立方根的定义分别对每一项进行分析即可得出答案.

【解答过程】解：A、64的立方根是4,故本选项错误；

B、-坏是一的立方根，故本选项错误；

LO

C、7^27=-3,-V27=-3,则不与7二一⑺正确；

D、立方根等于它本身的数是（）和±1,故本选项错误；

故选：C.

【变式1-3]（2020春•闽侯县期中）若有正+正=0，则x和），的关系是（）

A.x=y=0B.x->'=0C.xy=]D.x+y=0

【解题思路】根据已知和立方根的性质得出x=-），，即可得出工与），的关系.

【解答过程】解：•・•班+方=0,

***Vx=-方，

•\x=-y>

Ax与y的关系是x+y=（）.

故选：

【知识点2开立方】

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

【题型2开立方的运算】

【例2】（2020秋•滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为-512时，输出的数

y的值是（）

输入x—取立方根——无无『数”输出y

是有理数

A.-V2B.V2C.-2D.2

【解题思路】把-512按给出的程序逐步计算即可.

【解答过程】解：由题中所给的程序可知：把-512取立方根，结果为-8,

为为-8是有理数，所以再取立方根为・2,

-2是有理数，所以再取立方根为g=-V2,

因为一冠是无理数，所以输出-尤，

故选：A.

【变式2-1]（2021春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a=,b=.

【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题.

【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是“。的立方根是

.,./??3=2020»（-?n）3=小

：.a=-2020；

又♦：n的平方根是2020和b,

：.b=-2020.

故答案为：-2020,-2020.

【变式2-2]（2021春•汉阳区期末）已知VT中二1一。2,则。=

【解题思路】根据立方根等于它本身的数有0，1，-1,列式分别进行计算即可求出。的值.

【解答过程】解：根据题意，一个数的立方根等于它本身，

【解答过程】解：:百叼.732,

/.V300«17.32,

VV1728=12,

.,.VL728=1.2.

故答案为：17.32,1.2.

【变式3-2］（2021春•天津期中）已知所/*1.038,V1L2«2.237,V112«4.820,则J1200*.

【解题思路】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果移一位进行计算.

【解答过程】解：・・・V1I至。2.237,

AV-11200«-22.37.

故答案为：・22.37.

【变式3-3］（2019春•海淀区校级月考）已知⑸5*1.463,V2L4M.626,V0214«0.5981,VZ14«.289,

若《"46.26,贝i］x=；若方=-5.981,则y=.

【解题思路】根据算术平方根的特点：算术平方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数的小

数点向右（或向左）移动2位，立方根的特点：立方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数

向右（或向左）移动3位，然后进行解答即可.

【解答过程】解：：历N右4.626,4《46.26,

.*.x=2140,

VV0.214M）.5981,\jy«-5.981,

・力=-214,

故答案为:2140,-214.

【题型4利用开立方解方程】

【例4】（2021春•连山区月考）（1）已知9（x+1）2=4,求/的值；

（2）已知8（x-1）3=_萼，求x的值.

O

【解题思路】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；

（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解.

【解答过程】解.：（1）方程整理得：（x+l）2=小

2

开方得：x+l=±-,

解得：XI=—i,x?=—名：

（2）方程整理得：（x-1）3=-若,

5

-

开上方得：X-1=4

解得：户-*.

【变式4-1]（2021春•那西县月考）求工的值:

（1）（X-1）2=4：

（2）9A3+V64=?-V（-19）2.

【解题思路】（1）根据平方根的定义解答；

（2）根据立方根的定义解答.

【解答过程】解：（1）（x-1）2=%

/.A--1=±2,

.*.A=3或-1：

（2）9『+连？=/一代西

【变式4-2]（2021春•江汉区期中）求下列各式中x的值:

（1）（X-I）2=4；

1a

（1）-（2x+3）3+2=0.

4

【解题思路】（1）根据平方根的意义计算；

（2）根据立方根的意义计算.

【解答过程】解：（1）x-1=2或-2,

.”=3或一1：

（2）-（2r+3>'）3=-2,

:.（2x+3）3=-8,

A2xi3=-2,

.5

・・x二-2«

【变式4-3】（2021•天宁区校级模拟）质二I+卞衣”=0,则式的值是（）

1

A.-3B.-1C.-D.无选项

2

【解题思路】根据题意，对原方程变形为岳』二-运中，即可得到有2x-l=-5x-8,解方程即

可得出x的值.

【解答过程】解：氏=T+际钿=0,

即侬-1=-V5x+8,

故有2x-1=-5x-8

解之得x=-1,

故选:B.

【题型5平方根与立方根综合】

[例5]（2020春•合川区期末）已知M=\Sa+2匕是9的算术平方根，7〃+3沙-1的平方根为±4,N=

\J-2a-b,则M+2N的立方根为（）

A.-1B.1C.-2D.2

【解题思路】根据平方根、算术平方根、立方根的意义〃、人的值，再求出M、N的值，进而求出M+2N

的立方根即可.

【解答过程】解：I。的算术平方根是3.

/.M=J5a+2b=3,

，5a+2b=9,

又・・・7a+3〃-1的平方根为±4,

：.la+3b-1=16,

.（5a+2b=9

••（7a+3"l=16'

解得a=-7,0=22,

:,N=V_2a—b=V14-22=y/-8=-2,

・・・M+2N=3+2X（-2）=3-4=-1,

而-1的立方根为-1,

・・・M+2N的立方根为・1,

故选：A.

【变式5-1]（2020春•西华县期口）已知实数。+9的一个平方根是-5,2〃-。的立方根是-2,求6+2日

为算术平方根.

【解题思路】利用平方根、立方根性质求出。与〃的值，代入原式计算即可求出所求.

【解答过程】解：由题可知〃+9=（-5）2,2b-a=（-2尸，

解得：a=16,b=4,

/.Va+2Vb=716+2A/4=4+4=8,8的算术平方根是2vL

则VH+2赤的算术平方根是2V2.

【变式5-2]（2021春♦甘肃期末）如果4="2"病』为a+?b的算术平方根，B=2所"近中为

的立方根，求A+3的平方根.

【解题思路】根据算术平方根以及立方根的定义，A和3的根指数分别是2和3,即可得到一个关于。，

》的方程组求得。，〃的值，进而得到A、8的值，从而求解.

【解答过程】解：根据题意得：+

（2Q—b—1=3

解得：*

lb=2

则A=73+6=炳=3,B=V1—9=-2,

则A+B=I,

A+/3的平方根是：±1.

【变式5-3]（2021春•渝中区校级期中）己知：〃与2〃互为相反数.a的算术平方根是3；

（1）求a、b的值；

（.2）若|2a+d+Vb—d=0,求2+d-1的立方I艮.

3

【解题思路】（1）根据题意列出方程组可得答案；

（2）

【解答过程】解：（I）由题意得：

fa+2b=0

3-b=9'

解得：a=6,b=-3.

（2）由非负数的性质可得：

[2a4-c=0

tb-d=0'

a|t-3-d=O'

.*.<?=12,d=-3.

1=4-3-1=0,

3

••・（+d-1的立方根是0.

【题型6立方根的应用】

【例6】（2021春•瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729c〃巴现在要在它的8个角上分别截去8

个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665c〃P,则截去的每个小正方体的棱长是（）

A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm

【解题思路】首先确定截去的小正方体的体枳，然后再设每个小正方体的楂长为xcrn,根据正方体的体

积公式可得方程，从而确定边长.

【解答过程】解：截去的8个小正方体的总体积为729-665=64（cw3），则每个小正方体的体积为64

4-8=8（cw3）.

设每个小正方体的校长为xcn则/=8,

解得x=2.

【变式6-1］（2020秋•石阡县期末）一个正方体木块的体积是343a/,现将他锯成8块同样大小的小正方

体木块，则每个小正方体的木块的表面积是.

【解题思路】要先根据正方体的体积求出正方体的校长，然后进行分割即可解决问题.

【解答过程】解：一个正方休木块的休积是343cm3,则边长为正力=7°”，

现将他锯成8快同样大小的正方体小木块，则每个小正方体木块的边长3.5°〃，

每个正方体边长为：3.5cm,其中一个