中考数学一轮复习【举一反三】系列-专题37 轴对称、平移、旋转【十二大题型】（举一反三）（原卷版）

专题37轴对称.平移、旋转【十二大题型】

♦题型梳理

【题型1轴对称图形、中心对称图形的识别】.......................................................1

【题型2与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】...................................................3

【题型3与儿何图形有关的折叠问题】.............................................................4

【题型4与抛物线有关的折叠问题】...............................................................6

【题型5利用轴对称求最值】......................................................................7

【题型6根据中心对•称的性质求面积、长度、角度】.................................................9

【题型7与轴对称、平移、旋转有关的规律探究问题】..............................................10

【题型8用平移、轴对称、旋转、中心对称作图】..................................................11

【题型9旋转或轴对称综合题之线段问题】.........................................................13

【题型10旋转或轴对称综合题之面积问题】........................................................15

【题型11旋转或轴对称综合题之角度问题】........................................................18

【题型12利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】...........................................19

【知识点轴对称、平移、旋转】

1.平移

(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动,这种图形的平行移动，简称为平移.

(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等;对应角相等;对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)

且相等.

(3)坐标的平移：点(x,y)向右平移a个单位长度后的坐标变为(好a,y);

点Uy)向左平移a个单位长度后的坐标变为(七a,y);

点(x,y)向上平移a个单位长度后的坐标变为(x,;

点(x,力向下平移a个单位长度后的坐标变为(*,W.

2.轴对称

(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关

于这条直线成轴对称.这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴

对称图形.这条直线叫做它的对称轴.

(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形.

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何•对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的

对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

(4)线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上.

(5)坐标与轴对称：点(乂y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y);

点(乂力关于y轴对称的点的坐标是(-乂力；

3.旋转

(1)旋转

定义：把一个平面图形绕着平面内某一点。转动一个角度，叫做图形的旋转.点。叫做旋转中心，转动

的用叫做旋枝角.如果图形上的点P经过旋技变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.

旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋

转前后的图形全等.

(2)中心对称

定义：把一个图形绕着某一点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两人图形关于这

个点对称或中心对称.这个点叫做对称中心.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的时称

点.

中心对称的性质：①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分;

②中心对称的两个图形是全等图形.

(3)中心对称图形

定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫

做它的对称中心.

(4)关于原点对称的点的坐标

两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点。的对称点为Pf(-x-y).

【题型1轴对称图形、中心对称图形的识别】

【例1】(2023•广东东莞・一模)如所示图形中，既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()

【变式1-1]（2023•安徽合肥-校考一模）如果一个图形绕着一人点至少旋转72度才能与它本身重合，则下

列说法正确的是（）

.A.这个图形一定是中心对称图形.

B.这个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形.

C.这个图形旋转216度后能与它本身重合.

D.这个图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形.

【变式1-2]2023•福建泉州・统考模拟预测）如所示的四个交通标志图中，为旋转对称图形的是（）

.A.AAA

【变式1-3]（2023•山东青岛・统考三模）下列图形c中，既是中心对称图形乂是轴对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型2与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】

[例2]（2023•江苏无锡・统考二模）如图，在4BDE中，匕BDE=90°,BD=4&,点〃的坐标是

（4NZ5,0）,tanzBDO=将A8DE旋转到△48c的位置，点。在8。上,则旋转中心的坐标为（）

A.（2x/5,yV5）B.（3V5,1V5）C.常a2伺D.（蔡若卷伺

A

B,F

A.325/3cm2B.8V3cm2C.8ncm2D.+3n）cm2

【变式3-3］（2023•河南周口•校联考模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题

操作一：如图（1）,正方形纸片ABC。，点E是边上（点E不与点S,C重合）任意一点，沿AE折叠△力8£到4

4FE,如图⑵所示;

操作二：将图（2）沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在力E上,得到折痕MN,点C的对称点记为H,如图

⑶所示；

操作三：将纸片展平，连接BM,如图（4）所示.

根据以上操作，回答下列问题：

①B,M,N三点一（填“在"或〃不在"）一条直线上；

②RE和8N的位置关系是数显关系是」

③如图（5）,连接4V,改变点E在BC上的位置,_（填“存在"或“不存在”）点瓦使4V平分乙。力£

⑵迁移探究

苏钮同学将正方形纸片换成矩形纸片48CD,AB=4,BC=6,按照（1）中的方式操作,得到图⑹或图（7）.请

完成下列探究:

①当点N在上时，如图(6),8E和CN有何数量关系？并说明理由;

②当DN的长为1时，请直接写出BE的长.

【题型4与抛物线有关的折叠问题】

【例4】(2023•广西贵港♦统考三模)抛物线、=-3/+六+，与/轴交于/1、4两点，且点力在点8的左

侧，与y轴交于点G点。(3,2)为抛物线上一点，且直线CDIIx轴，点”是抛物线上的一动点.

(1)求抛物线的解析式与/、8两点的坐标.

(2)若点£的纵坐标为0,且以A,E,D,M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标.

(3)过点也作直线CD的垂线,垂足为N,若将CMN沿CM翻折，点,V的对应点为N，,则是否存在点M使点N'

则恰好落在*轴上?若存在,求出此时点V的坐标;若不存在,说明段理由.

【变式4-1](2023•山东枣庄-校考模拟预测)已知：如图，抛物线y=-x2+bx+。经过原点0,它的对称

轴为直线》=2,动点P从抛物线的顶点4出发,在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动,设动点P运动的时

间为£秒,连接OP并延长交抛物线于点&连接0力,AB.

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)当三点40,8构成以为。8为斜边的直角三角形时,求t的值；

(3)将4沿直线尸8折叠后,那么点4的对称点为能否恰好落在坐标轴上?若能，请直接写出所有满足条件

的t的值;若不能，请说明理由.

【变式4-2](2023•山西临汾・统考一模)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ix2-；%-4与x轴交于4B两点、(点8在点A的右侧),与v轴交于点

4L

C.将4力8。沿BC所在的直线折叠,得到△D8C,点A的对应点为D.

（备用图）

⑴求点48,。的坐标.

（2）求直线8D的函数表达式.

（3）在抛物线上是否存在点P,使NPC8=4A8C?若存在，请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【变式4-3]（2023•湖南岳阳・统考一模）如图①,在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1:y=x2+bx4-c经过

点第1,0）和点8（3,0）,与y轴交于点C,经过点A的直线/与y轴的负半轴交于点〃,与抛物线人交于点£且

OD=OA.

⑵如图②,点尸是抛物线K上位于x轴下方的一动点，连接CP、EP,CP与直线/交于点。，设

ECQ的面积为Si和S2,求名的最大值;

$2

（3）如图③,将抛物线&沿直线x=m翻折得到抛物线尸2,且直线:与抛物线尸2有且只有一个交点,求/〃的

值.

【题型5利用轴对称求最值】

[例5]（2023•辽宁盘锦-统考中考真题）如图，四边形48CZ）是矩形,AB=同,AD=4或，点尸是边AD上

一点（不与点4〃重合），连接P8,PC.点分别是PB,PC的中点，连接MM力M,DN,点£在边力。

匕MEWDN,则为M+ME的最小值是（)

A.2\/3B.3C.3A/2D.4A/2

[变式5-1]（2023•江苏盐城・统考模拟预测）如图，已知，等边△ABC中，AB=6,将4/18C沿AC翻折，得到

△ADC,连接X",交AC于。点，£点在。〃上，且〃X=20%/是山的中点，一是4C上的一个动点,则一PE\

的最大值为.

【变式5-2]（2023•江苏宿迁・统考二模）如图，菱形48C。的边长为10,tan>4=/点必为边AD上的一个动

点且不与点力和点〃重合，点力关于直线8M的对称点为点点A'为线段C4的中点,连接DN,则线段DN长

度的最小值是.

【变式5-3]（2023•浙江・统考二模）如图,在正方形A8CD中，点石为边8c上一个动点，作点8关于AE的对

称点8',连接并延长交4E延长线于点F,连接8夕,BF.

(1)求证：BF=B'F.

（2）求乙B夕。的度数.

（3）若力B=2,在点£的运动过程中，求点尸到BC距离的最大值.

【题型6根据中心对称的性质求面积、长度、角度】

【例6】（2023•江苏泰州•统考二模）如图，在平面直角坐标系中,△N8C的顶点小C分别是直线y=-声+

4与坐标轴的交点，点8（-2,0）,点D是边AC上的一点,DE1BC,垂足为E,点尸在力B边上,且D、F两点关于y

轴上某点成中心对称，连接〃产、七户.线段以.长度的最小值为.

八

【变式6-11（2023•山西朔州・统考一模）如图,在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起,下

面一行的4个小圆都与4轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且福邻两个小圆

只有一个公共点，从左往右数,，轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点.若过点P有

一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是.

【变式6-2］（2023•江苏南通•统考一模）如图，矩形48CD中，48=6,AD=3.£为边48上一动点，连接

DE.作”交矩形48CD的边于点片垂足为G.

（备用图）

(1)求证：LAFB=£DEA;

(2)若CF=1,求AE的长；

(3)点。为矩形力BCD的对称中心，探究0G的取值范围.

【变式6-3](2023•吉林长春•统考一模)如图，在中，乙8AC=90。，AB=15,AC=20,动点、P从点、

月出发,在线段BC上以每秒5个单位长度的速度向终点。运动,连接4P.将44PB沿直线4P翻折得到4

APB'.

⑴求BC的长；

⑵当四边形4BPB'为中心对称图形时，求£的值;

(3)当点力在BC下方时,连接BB'、C8',求此时△CB夕面积的最大值;

(4)当直线/夕与△4BC一边垂直时，直接写出E的值.

【题型7与轴对称、平移、旋转有关的规律探究问题】

【例7】(2023•河南商丘・统考三模)如图，平面直角坐标系中,4(1,1),F(O,3),以为边在AB右侧作正方

形ABC。.第一次操作：将正方形a3co绕点。顺时针旋转90。得到正方形41B1G5；第二次操作：将正方形

绕点0顺时针旋转90。得到正方形……则第2c23次操作得到正方形力202382023Q023D2023

C.(4,-2)D.(2,-4)

【变式7-1](2023•重庆南岸・二模)如图，Rta48iG的斜边在直线y=6%-V5上，点B]在x轴

上,G点坐标为(2,0).先将△AiBiG沿较长直角边4G翻折得到△4B2G，再将△A/2G沿斜边4%翻折得

到44。2c2,再将△沿较短直角边02c2翻折得到4^2。2c2；…；按此规律，点的坐标为()

A.（15,5百）B.（15,6⑹C.（17,5⑹D.（17,6百）

【变式7-2］（2023•河北保定・三模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=%的图象为直线1,作点4（1,0）关

于直线，的对称点“，将4向右平移2个单位得到点公；再作｛3关于直线，的对称点4,将4向右平移2个单

位得到点小厂，则按此规律，所作出的点4015的坐标为（)

A.(1007,1008)B.(1008,1006)C.(1006,1008)【).(1008,1007)

【变式7-3］（2023•河南周口•淮阳第一高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，菱形048。的位置如

图所示,其中点8的坐标为第1次将菱形0/8C绕着点。顺时针旋转90。，同时扩大为原来的2倍得到

菱形。力道传］（即。4=2。8）,第2次将菱形。4&G绕着点。顺时针旋转90。,同时扩大为原来的2倍得到

菱形。力2々。2（即。4=2。/），第3次将菱形。必当。2绕着点。顺时针旋转9。°，同时扩大为原来的2倍得

金|］麦形。/I383C3（即0%=20%）…依次类推，则点B2025的坐标为（）

仇

5075072005202520252025

A.(22025,22025)B,(2,2)C.(-2,2)D.(-2,-2)

【题型8用平移、轴对称、旋转、中心对称作图】

【例8】（2023•安徽・模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均

在格点(网格线的交点)上.

(1)将4/BC向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到^^当。1，画出△//1的；

⑵将⑴中的△4当6以为轴进行翻折得到△&4G，画出AAI为。].

【变式8-1](2023•陕西西安•校考模拟预测)如图，在直角坐标系中，△48C的各顶点坐标分别为

A(a,1),B(3,3),C(4,-1);△ABC经过平移得到△AEU,其各顶点坐标分别为

4(-5,-3),夕(一3向，。'(-2,-5).

(1)观察各对应点坐标的变化并填空：a的值为一,力的值为______；

⑵画出△力BC及将△48C绕点月顺时针旋转90。得到△DBE,点、。的对应点为点E,写出点夕的坐标.

【变式8-2](2023•安徽-校联考模拟预测)如图是6x6的正方形网格，线段的端点4B都在格点(网格

线的交点)上.

⑴将线段力8绕点力逆时针旋转90。得到对应线段为81，画出线段A8i;

⑵请仅用无刻度的直尺过点B作一条直线使得点A,&到/的距离相等.

【变式8-3](2023•黑龙江哈尔滨・统考三模)在如图的方格纸口每个小方格都是边长为1个单位的正方

形,△/出。的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).

(1)画出△43C向下平移3个单位后的△4B1G；

(2)画出△A8C关于点。的中心对称图形△482Q；

(3)连接GC2,请直接写出加。2的长为___________.

【题型9旋转或轴对称综合题之线段问题】

【例9】(2023•河南•统考中考真题)李老师善于通过合适的主攘整合教学内容，帮助同学们用整体的、联

系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你

解答.

⑴观察发现：如图1,在平面直角坐标系中,过点M(4,0)的直线！IIy轴，作△4BC关于y轴对称的图形△

&/C1，再分别作44181cl关于X轴和直线/对称的图形44282c2和44383c3,则44282c2可以看作是△48c

绕点。顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______g力3/。3可以看作是△力8C向右平移得到的，平移距离为

个单位长度.

(2)探究迁移：如图2,团ABC。中工=a(0°<a<90°),P为直线48下方一点，作点P关于直线43的对称

点%,再分别作点入关于直线4。和直线CD的对称点P2和「3,连接”，期2,请仅就图2的情形解决以下问题：

①若乙PAP?=/7,请判断0与a的数量关系，并说明理由；

②若=m,求P,尸3两点间的距离.

(3)拓展应用:在(2)的条件下，若a=60°,AD=2®乙PAB=15。,连接P2P3•当P2P3与团48CD的边平行时,

请直接写出4P的长.

【变式9-1](2023•河南周口•校联考二模)【问题发现】如图1所示，将绕点A逆时针旋转90。得4

4DE,连接CE、BD.根据条件填空：

①，4CE的度数为二

②若CE=2,则C2的值为

【类比探究】如图2所示,在正方形48co中，点E在边8c上，点尸在边CD上,且满足NEW=45°,BE=

1,DF=2,求正方形力BCO的边长：

图2

【拓展延伸】如图3所示,在四边形A8CD中,CD=CB/BAD+乙BCD=90。"。、BD为对角线,且满足

AC=|CD,若AD=3,AB=4,请直接写出8D的值.

图3

【变式9-2](2023•北京房山・统考二模)如图，484C=90°,AB=AC,点〃是BA延长线上一点，连接DC,

点0和点8关于直线DC对称,连接8E交力C于点F,连接EC,ED,OF.

c

（1）依题意补全图形,并求NOEC1的度数；

（2）用等式表示线段EC,E。和CF之间的数量关系,并证明.

【变式9-3］（2023•山西忻州・校联考模拟预测）综合与实践一一探究图形旋转中的问题，问题背景：在一

次综合实践活动课上，同学们以两个菱形为对象,研究相似菱形旋转中的数学问题.已知菱形4BCD〜菱形

A'B'C'D',它们各自对角线的交点重合于点0,且AB=8,A'B'=2,ZB=LB'=60°,

图1图2图3

观察发现：（1）如图1,若4夕||/&连接44z,DD\则4r与0。的数量关系是;

操作探究：（2）保持图1中的菱形A8CD不动,将菱形A夕从图1的位置开始绕点。顺时针旋转，设旋转

角为a.

①当0。VaV90。时,得到图2.此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立,请说明理由；

②小颖发现,在菱形AB'C'D'绕点。顺时针旋转到图3位置时,连接CC',ACr,4c判断四边形AACC'的形状,

并说明理由；

③当菱形NB'C'D'绕点。旋转至44,D'三点共线时，直接写出此时线段4T的长.

【题型10旋转或轴对称综合题之面积问题】

【例10】（2023•江苏无锡・统考二模）如图，将不是矩形的和1BCD绕点力旋转得到团481少.

D'

(1)当点8'落在边8c上，且8'L与边。。相交于点后时，

①点D—上(填〃在"或“不在”)；

②如果点力、£分别为边BC、CD的中点，求装的值；

oC

(2)当点夕落在对角线AC上,且夕C'经过边AD的中点也时，设黑=x,沁^=y，求y关于>的函数关系式，

BCS^ABCD

并写出X的取值范围.

【变式101](2023•吉林松原・统考二模)如图，在RtA43C中，力。=8,乙4co=90。，右4=60。，点P从点4

出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，当点P不与点力、B重合时，作ZBPD=120°,边PD交折

线AC-CB于点D,作点力关于直线PD的对称点为E,连接EO、EP得到△PDE,设点P的运动时间为£(秒).

(1)直接写出线段尸。的长(用含t的代数式表示);

(2)当点E落在边8C上时,求t的值；

(3)设4PDE与△ABC重合部分图形的面积为S,求S与t的函数关系式；

(4)设M为4B的中点,N为ED的中点,连接MN,当MN14c时，直接写出t的值.

【变式10-2](2023•四川成都•模拟预测)如图1,在ZMBC中，=90。,4B=BC=2,将线段4B绕点

8逆时针旋转得线段BD,旋转角为a,连接CD.

图1图2图3

（1）①若a=60°,则土CZM=°;

②若0<a<90°,求乙GM的度数.

（2）如图2,当0<a<90。时,过点B作BE1AD于点上CD与BE相交于点F,请探究线段C尸与线段BE之间的

数量关系；

（3）当0<aV360。时，作点A关于CD所在直线的对称点4,当点,4'在线段BC所在的直线上时，求444。的

面积.

【变式10-3】（2023•江西•统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个

问题：将足够大的直角三角板P"（匕尸=90。上"=60。）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点0逆时针

旋转，探究直角三角板PE尸与正方形48CZ）重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

图一图二图三备用图

（1）操作发现：如图1,若将三角板的顶点〃放在点。处,在旋转过程中，当。F与。8重合时,重叠部分的面积

为__________；当。/与8c垂直时，重叠部分的面积为；一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,

重叠部分的面积品与S的关系为;

（2）类比探究：若将三角板的顶点♦'放在点。处,在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点MA：

①如图2,当8M=CN时,试判断重叠部分仆OMN的形状,并说明理由；

②如图3,当CM=CN时,求重叠部分四边形OMOV的面积（结果保留根号）；

⑶拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处,该锐角记为NGOH（设NG。"=a）,将NGOH

绕点0逆时针旋转,在旋转过程中,NGOH的两边与正方形ABC。的边所围成的图形的面积为S2,请直接写出

S2的最小值与最大值（分别用含a的式子表示），

（参考数据：sinl5°=*一%cosl5。=亚史,tanl5。=2-V3）

44

【题型11旋转或轴对称综合题之角度问题】

【例11】(2023・贵州六盘水•一模)如图,在Rt△IBC中,"=90。，点P为边AB上异于力，8的一个动点，作

点力关于CP的对称点A,连接AP,4C,交直线48于点Q.

(1)若4c=8,BC=6,CE是边A8上的高线.

①求线段CE的长；

②当"QH=90。时，求线段4Q的长；

(2)在乙力=35。的情况下，当△APQ是等腰三角形时，直接写出ZAC4的度数.

【变式11-1】(2023・广东广州・二模)如图，等腰Rt△ABC^,z.ABC=90°,BA=IC,将BC绕点8顺时针旋

转6(0<0<90°),得到BP,连结CP,过点A作力”1CP交CP的延长线于点//,连结力P,则NP4H的度数

()

A.30°B.45°C.60°D.随若。的变化而变化

【变式11-2](2023•福建泉州•一模)如图1,已知△力BC的内角乙4以的平分线CO与它的一个外角乙E4C的

平分线力尸所在的直线交于点。.

(1)求证：乙B=2乙D;

(2)若作点。关于4c所在直线的对称点ZT,并连接AD'、CD'.

①如图2,当48力。=90°时，求证：ADLAD1;

②如图3,当4。=8C时,试探究4口4。与〃之间的数量关系,并说明理由.

【变式11-3](2023•湖南岳阳・统考中考真题)如图1,在中,48=4。，点M,N分别为边48,BC的中

点，连接MN.

初步尝试：(DMN与AC的数量关系是,MN与4c的位置关系是_________.

特例研讨：⑵如图2,若484c=90。,BC=472,先将△BMN绕点B顺时针旋转。(0为锐角)，得到△BEF,当

点4E,F在同一直线上时,AE与BC相交于点D,连接

A

A