专题10 矩形的判定 题型全覆盖（25题）-2020-2021学年八年级数学下册同步热考题型全覆盖（人教版）（解析版）

专题10矩形的判定题型全覆盖（25题）

【思维导图】

【考查题型】

考查题型一添加一个条件使四边形是矩形

1.（2020江阴市八年级期中）已知平行四边形ABCD,下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）

A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BDD.AB±BC

【答案】B

【提示】由矩形的判定方法即可得出答案.

【详解】A、ZA=ZB,ZA+ZB=180°,所以/A=ZB=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，正确：

B、/A=/C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确：

D、AB±BC,所以NB=90。，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，

故选B.

【名师点拨】本题考查了矩形的判定，热练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形

是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.

2.（2020•辽宁营口市•八年级期末）四边形ABCO的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A.AB=CDB.AC=BD

C.AB=BCD.AD=BC

【答案】B

【提示】

四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理可得，只需添加条件是对角线相

等.

【详解】

可添加AC=BD,理由如下：

・「四边形ABCD的对角线互相平分，

四边形ABCD是平行四边形，

•「AC=BD,根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，

四边形ABCD是矩形.

故选B.

【名师点拨】

考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直

角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形.

3.（2020•辽宁沈阳市•九年级期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A.AB=CDB.AB=BCC.AC±BDD.AC=BD

【答案】D

【提示】

四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等.

【详解】

添加AC=BD,

•「四边形ABCD的对角线互.相平分，

四边形ABCD是平行四边形，

・「AC=BD,根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，

了.四边形ABCD是矩形，

故选D.

【名师点拨】

考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三

个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形.

4.（2020•郑州市八年级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点的四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,

应添加的条件是（）

A.ABIIDCB.AC=BDC.AC±BDD.AB=CD

2

【答案】C

【提示】

根据矩形的判定定理（有一个角为直痢的平行四边形是矩形）.先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH

为矩形，需要NEFG=90度.由此推出AC_L8D.

【详解】

依题意得：四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD,EFWACWHG,EHWBDWFG,所以

四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有个角为直角的平行四边形是矩形），

当AC±BD时，ZEFG=NEHG=90度，四边形EFGH为矩形.

故选C.

【名师点拨】

本题考查了矩形的判定定理，难度一股.矩形的判定定理：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）有三个角是直角的四边形是矩形.

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

5.（202。自贡市八年级期中）如图，要使平行四边形A8C。成为矩形，需添加的条件是（）

【答案】C

【提示】

根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相

等的平行四边形是矩形）逐一判断即可.

【详解】

4根据48=8C和平行四边形48co不能得出四边形48co是矩形，故本选项错误；

8、四边形A8CD是平行四边形,

3

1/GA=GD,ZAGF=ZCGD.

△AGF^△DGC,

AF=CD,

AB=AF.

（2）解：结论：四边形ACDF是矩形.

理由：AF=CD,AFIICD,

四边形ACDF是平行四边形，

・••四边形ABCD是平行四边形，

/.ZBAD=ZBCD=120°,

ZFAG=60°,

•••AB=AG=AF,

△AFG是等边三角形,

/.AG=G卜，

△AGa△DGC,

FG=CG,•/AG=GD,

AD=CF,

四边形ACDF是矩形.

【名师点拨】

本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三

角形解决问题.

7.（2020•石家庄市八年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点0.过点C作BD的平行线，过点

D作AC的平行线，两直线相交于点E.

（1）求证：四边形OCED是矩形；

（2）若CE=LDE=2,ABCD的面积是.

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【提示】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可:

（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答.

5

【详解】（1）---四边形ABCD是菱形，

/.AC±BD,

/.ZCOD=90°.

•/CEIIOD,DEIIOC,

四边形OCED是平行四边形，

又/COD=90°,

平行四边形OCED是矩形；

（2）由（1）知,平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1,DE=OC=2.

•••四边形ABCD是菱形，

AC=2OC=4,BD=2OD=2,

：菱形ABCD的面积为：-AC«BD=-x4x2=4,

22

故答案为4.

【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解

题的关键.

8.（2020•株洲市八年级期中）在CJABCD,过点D作DE_LAB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连接AF,BF.

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若CF=3,BF=4,DF=5,求证：AF平分NDAB.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题提示：（1）根据平行四边形的性质，可得48与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得8FDE是平行四边形，

再根据矩形的判定，可得答案；

（2）根据平行线的性质，可得以=/以8,根据等腰三角形的判定与性质，可得NOAFND以，根据角平分线的

判定，可得答案.

试题提示：（1）证明：••・四边形A8CD是平行四边形，

4811CD.

'：BEWDF,BE=DF,

四边形8FDE是平行四边形.

6

DE±AB.

：.ZDEB=9Q°,

四边形BFD£是矩形；

(2)二•四边形488是平行四边形，

.\AB\lDC,

ZDFA=Z.FAB.

在RtA8C尸中，由勾股定理，得

8C=yjFC2+FB1=旧+42=5，

/.AD=EC=DF=5,

ZDAF=Z.DFA,

/.ZDAF=AFAB,

即AF平分NDAB.

【名师点拨】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，

利用等腰三角形的判定与性质得出NDAFMDFA是解题关键.

9.(2020•扬州市八年级期末)如图，AABC中，点O是边AC上一个动点,过。作直线MNIIBC,设MN交NACB的

平分线于点E,交/ACB的外角平分线于点F,

(2)若CE=12,CF=5,求OC的长：

(3)当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

【答案】解：(1)证明：如图，:MN交NACB的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F,

,/MNIIBC,/.Z1=Z5,3=Z6.

7

Z1=Z2,Z3=N4.EO=CO,FO=CO.

OE=OF.

（2）,/Z2=Z5,Z4=Z6,/.Z2+Z4=Z5+Z6=90°.

CE=12,CF=5,」.EF=Vl22+52=13.

1

...OC=—EF=6.5.

2

（3）当点。在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.理由如下：

当O为AC的中点时,AO=CO,

・••EO=FO,/.四边形AECF是平行四边形.

vzECF=90%平行四边形AECF是矩形.

【详解】

（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出/1=/2,Z3=Z4,进而得出答案.

（2）根据已知得出N2+N4=Z5+N6=90。，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质

得出CO的长.

（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.

10.（2020•湖北咸宁市•八年级期末）如图，在OABCD中，对角线AC与BD相交于点。，点E,F分别为OB,

OD的中点，延长AE至G,使EG=AE,连接CG.

（1）求证：△ABE"&CDF；

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

A________________D

【答案】（1）见解析；（2）AC=2AB时,四边形EGCF是矩形，理由见解析.

【提示】

（1）由平行四边形的性质得出AB=CD,ABIICD,OB=OD,OA=OC,由平行线的性质得出NABE=ZCDF,证出BE=DF,

由SAS证明△ABE合△CDF即可；

（2）正出AB=OA,由等腰三角形的性质得出AGJLOB,ZOEG=90°,同理：CF±OD,得出EGIICF,由三角形中位

线定理得出OEIICG,EFIICG,得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论.

【详解】

（1）记明：二.四边形ABCD是平行四边形，

8

---AB=CD,ABIICD,OB=OD,OA=OC,

/.ZABE=ZCDF,

•・.点E,F分别为OB,OD的中点，

11

BE=—OB,DF=—OD,

22

BE=DF,

在^ABE和4CDF中，

AB=CD

•/ABE=/CDF

BE=DF

：nABE^]CDF(SAS)

(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形;理由如下:

•/AC=2OA,AC=2AB,

AB=OA,

•••E是OB的中点,

/.AG±OB,

/.ZOEG=90°,

同理：CF±OD,

/.AGIICF,

/.EGIICF,

•「EG=AE,OA=OC,

OE是△ACG的中位线，

/.OEIICG,

/.EFIICG,

.•・四边形EGCF是平行四边形，

,/ZOEG=90°,

二.四边形EGCF是矩形.

【名师点拨】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题.

考查题型三根据矩形的性质与判定求角度

9

11.(2。20•江西八年级期末)如图，四边形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且NAOB=

2ZOAD.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若NAOB：ZODC=4：3,求NADO的度数.

【答案】⑴证明见解析；(2)/ADO==36°.

【提示】

⑴先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据己知条件推导出AC=BD,然后根据对角线相等的平行四边形是矩形

即可；

(2)设NAOB=4x,ZODC=3x,则NOCD=ZODC=3x.,在4ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得NODC

的度数，由此即可求得答案.

【详解】

(1)/AO=OC,BO=OD,

四边形ABCD是平行四边形，

又NAOB=2NOAD,NAOB是△ACD的夕卜角，

/.ZACB=ZOAD4-ZADO.

ZOAD=NADO.

/.AO=OD.

又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=20D,

/.AC=BD.

「•四边形ABCD是矩形.

(2)设NAOB=4x,ZODC=3x,则NODC=ZOCD=3x,

在△ODC中，ZDOC+ZOCD+ZCDO=180°

4x+3x+3x=180°,解得x=18°,

ZODC=3xl80=54°,

四边形ABCD是矩形，

ZADC=90°,

/.ZADO=ZADC-ZODC=90°—54°=36°.

10

【名师点拨】

本题考查了矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

12.(2020•南阳市八年级期中)如图，在四边形48C。中，对角线AC,8,相交于点0,40=C。,8。=。。，H.ZABC+NADC

(1)求证：四边形48CD是矩形；

(2)若NADF：ZFDC=3：2,DF±AC,求N8DF的度数.

【答案】(1)见解析；(2)ZBDF=13°.

【提示】

(1)先证明四边形ABCD是平行四边形，求出NABC=90。，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；

(2)求出NFDC的度数，根据三角形的内角和，求出NDCO,然后得到OD=OC,得到NCDO,即可求出/BDF的度

数.

【详

(1)记明：AO=CO,BO=DO,

「•四边形ABCD是平行四边形，

/.ZABC=ZADC,

,/ZABC+ZADC=180°,

/.ZABC=ZADC=90°,

.•・四边形ABCD是矩形；

(2)解：,/ZADC=90°,ZADF：ZFDC=3：2,

/.ZFDC=36°,

,/DF_LAC,

ZDCO=90°-36°=54°,

•「四边形ABCD是矩形，

/.CO=OD,

ZODC=ZDCO=54°,

/.ZBDF=ZODC-ZFDC=18°.

【名师点拨】

11

木题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对

角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.

13.（202。云南迪庆藏族自治州•八年级期末）如图,四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,ABIICD,AB=CD,

且OA=OD.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）DFJ_AC于点F,若/ADF：ZFCC=3：2,则/BDF的度数是多少？

【答案】（1）详见解析；（2）18。

【提示】

（1）利用对边平行旦相等证明四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线相等的平行四边形是矩形，即可证明四边

形ABCD是矩形；

（2）先求出NFDC=36°,再求出NOCD=ZODC=54°,即可求出/BDF.

【详解】

（1）,.'ABIICD,AB=CD,

---四边形ABCD是平行四边形，

/.OA=OC,OB=OD,

0A=0D,

AC=BD,

四边形ABCD是矩形；

（2）V四边形ABCD是矩形，

/.ZADC=90°,OC=OD,

/.ZODC=ZOCD,

•••ZADF:ZFDC=3:2,

ZADF=54°,ZFDC=36°,

•「DF±AC,

ZOCD=ZODC=900-ZFDC=54°,

ZBDF=ZODC-ZFDC=54°—36°=18°.

12

【名师点拨】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，并能

进行推理计算是解决问题的关键.

14.（202。渠县九年级期末）如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，且OA=OB.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AD=4,ZAOD=60°,求AB的长.

DC

【答案】（1）证明见解析；（2）4班

【提示】

（1）由。ABCD得至I」OA=OC,OB=OD,由OA=OB,得到；OA=OB=OC=OD,对角线平分且相等的四边形是矩形，即可

推出结论；

（2）根据矩形的性质借用勾股定理即可求得AB的长度.

【详解】

（1）记明：在平行四边形ABCD中，

11

OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,

22

又/OA=OB,

AC=BD,

「•平行四边形ABCD是矩形.

（2）•.四边形ABCD是矩形,

/.ZBAD=90°,OA=OD.

又「/AOD=60%

*'-LAOD是等边三角形，

/.OD=AD=4,

BD=2OD=8,

在RtUABD中，AB=《BD?-心=廊=46.

15.（2020•江苏无锡市•八年级期末）如图，已知AOAB中，OA=OB,分别延长40、BO到点C、D，使得

OC=AO,OD=BO,连接AO、DC、CB.

13

(1)求证：四边形A3CD是矩形;

(2)以04、。3为一组邻边作口4。5石，连接CE,若CE工BD,求NAOB的度数.

【答案】(1)证明过程见解析；(2)乙404=120°

【提示】

(1)根据已知条件推出四边形ABCD是平行四边形，求得A0=，AC,B0=，BD,等量代换得到AC=BD,于是

22

得到四边形ABCD是矩形；

(2)连接0E,设EC与BD交于F,根据垂直的定义得到NCFD=90。，根据平行四边形的性质得到AEIIB0,根据直

角三角形的性质得到E0=A0,推虚AAE0是等边三角形，于是得到结论.

【详解】

(1)记明：V0C=A0,0D=B0,

/.四边形ABCD是平行四边形，

11

A0------AC,BO-------BD,

22

,/AO=BO,

•*.AC=BD,

四边形ABCD是矩形；

(2)解：连接0E,设EC与BD交于F,

nc

1/EC_L3D,

ZCFD=90°,

14

1--四边形AEBO是平行四边形，

AEIIB0,

ZAEC=ZCFD=90\

即△AEC是直角三角形，

「E0是RtAAEC中AC边上的中线,

EO=AO,

•••四边形AEBO是平行四边形，

OB=AE,

,/OA=OB,

AE=DA=OE,

「.AAEO是等边三角形,

ZOAE=60°,

,/ZOAt+ZAOB=18U°,

/.ZACB=120°.

【名师点拨】

本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图

形是解题的关键.

考查题型四根据矩形的性质与判定求线段长

16.（202。辽宁阜新市•九年级期中）如图，在口488中，AE工BC于点、E点、,延长8c至F点使连

接4F,DE,DF.

（1）求证：四边形4EFD是矩形；

（2）若A8=6,DE=8,8b=1（）,求AE的长.

24

【答案】（1）见解析；（2）--

【解析】

试题提示：（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明NAEF=90。即可.

（2）正明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长.

15

试题解析：(1)证明：:CF=BE,

/.CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

•「在口ABCD中，ADIIBC且AD=BC,

/.ADIIEF且AD=EF.

四边形AEFD是平行四边形.

•••AE±BC,

/.ZAEF=90°.

四边形AEFD是矩形；

(2)二,四边形AEFD是矩形，DE=8,

AF=DE=8.

,/AB=6,BF=10,

/.AB2+AI-2=b2+82=lUU=Bb2.

ZBAF=90°.

,/AE±BF,

△ABF的面积=—AB*AF=-BF・AE.

22

AB*AF6x824

AE=

BF~"fo~-T

17.（2020•辽宁鞍山市•八年级期中）如图，在IIABCD中，对角线AC,BD交于点O.过点B作BEJLCD于点E,延

长CD到点F,使DF=CE,连接AF.

⑴求证:四边形ABE「是矩形；

（2）连接OF,若AB=6,DE=2,ZADF=45°,求OF的长度.

【答案】⑴见解析；（2）OF=J药.

【提示】

（1）根据菱形的性质得到ADIIBC且AD=BC,等量代换得到BC=EF,推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的

判定定理即可得到结论；

16

<2)根据直角三角形斜边中线可得：OF=《AC,利用勾股定理计算AC的长，可得结论.

2

【详解】

(1)证明:••・四边形ABCD是平行四边形

AB=CD,ABIICD.

,/DF=CE,

DF+DE=CE+ED,

BP：FE=CD.

...点F、E在直线CD上

AB=FE,ABIIFE.

四边形ABEF是平行四边形

又・.・BE_LCD,垂足是E,

ZBEF=90°.

四边形ABEF是矩形.

(2)解:..•四边形ABEF是矩形0,

/.ZAFC=90%AB=FE.

,/AB=6,DE=2,

/.FD=4.

VFD=CE,

CE=4.

/.FC=10.

在RSAFD中，ZAFD=90°.

,/ZADF=45°,

/.AF=FD=4.

在RtAAFC中,ZAFC=90°.

AC=>jAF2+FC2=2>/29-

•・•点o是平行四边形ABCD对角线的交点，

・•.0为AC中点

在RtAAFC中，ZAFC=90°.O为AC中点.

OF=yAC=V29.

【名师点拨】

17

木题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.

18.（2020•江西吉安市•九年级期中）如图，在△ABC中，AC=9,AB=12,BC=15,P为BC边上一动点,PG_LAC于点

G,PH_LAB于点H.

⑴求证：四边形AGPH是矩形;

⑵在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.

【提示】

（1）根据“矩形的定义〃证明结论；

（2）连结AP.当APJ_BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值.

【详解】

(1)证明「AC=9AB=12BC=15,

/.AC2=81,AB2=144,BC2=225,

AC2+AB2=BC2,

ZA=90°.

•••PG±AC,PH±AB,

/.ZAGP=ZAHP=90°,

了.四边形AGPH是矩形；

（2）存在.理由如下:

连结AP.

V四边形AGPH是矩形,

/.GH=AP.

・•・当APJLBC时AP最短.

9xl2=15*AP.

18

【名师点拨】

本题考查了矩形的判定与性质.解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等"和"面积法"的正确应用.

19.（2020•浙江杭州市•八年级期末）如图，矩形ABCD中，CE_LBD于E,CF平分NDCE与DB交于点F.

(1)求证：BF=BC；

(2)若AB=4cm,AD=3cm,求CF的长.

【提示】

（1）要求证BF=BC只要证明NCFB=NFCB就可以，从而转化为证明NBCE=NBDC就可以；

（2）已知AB=4cm,AD=3cm,就是己知BC=BF=3cm,CD=4cm,在直角△BCD中，根据三角形的面积等于工BD・CE

2

=!BC・DC,就可以求出CE的长.要求CF的长，可以在直角△CEF中川勾股定理求得.其中EF=BF-BE,BE在

2

直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题.

【详解】

证明：［1）二,四边形ABCD是矩形，

ZBCD=90°,

ZCDB+ZDBC=90°.

•「CEJL3D,

•••ZDBC+NECB=90o.

/.ZEC3=ZCDB.

•/ZCFB=ZCDB+ZDCF,ZBCF=ZECB+ZECF,ZDCF=ZECF,

/.ZCFB=ZBCF

BF=BC

(2)二•四边形ABCD是矩形，

DC=AB=4(cm),BC=AD=3(cm).

19

在RtABCD中，由勾股定理得BD=QA8?+AA)2=A/424-32=5・

又「BD*CE=BC«DC,

BCDC12

7.CE=---------------=—.

/.EF=BF-BE=3-.

55

22+

CF=VCE+EF=J^][|=竽力

【名师点拨】

本题考查矩形的判定与性质，等腰三侑形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理.，三角形面积计算公式的运用，

灵活运用已知，理清思路，解决问题.

2U.（2U2U•江苏连云港巾.•八年级期末）已知8C=5,AB=1,AB±BC,射线C7W_L8C,动点〃在线段8c上（不与点

B,C重合），过点P作DPJ_4P交射线CM于点。，连接A。.

（1）如图1，若8P=4,判断AADP的形状，并加以证明.

（2）如图2,若8P=1,作点C关于直线OP的对称点连接4U

①依题意补全图2；

②请直接写出线段的长度.

图1图2

【答案】（1）△八DP是等腰直角三角形.证明见解析；（2）①补图见解析；@710

【提示】

（1）先判断山PC=A8,再用同角的余角相等判断出NAP8=NPDC,得出△48的△PCD（AAS）,即可得出结论；

（2）①利用对称的性质画出图形；

②过点。作CQ.LBA交BA的延长线于Q,先求出CP=4,48=4P,/CPD=45。,进而得出CP=CP=4,NCPD=NCPD=45°,

再判断出四边形8QC力是矩形，进而求出入Q=8Q-A8=3,最后用勾投定理即可得出结论.

20

【详解】

(1)aADP是等腰直角三角形.证明如下：

,/BC=5,BP=4,/.PC=1.

,/48=1,PC=AB.

AB±BC,CM±BC,DP±AP,：.Zfi=ZC=90°,NAP8+NOPC=90°,NPOC+NOPC=90°,ZAPB=Z.PDC.

ZB=ZC

在△A8P和△PCD中,=NPOC,△ABP^△PCD(AAS).：.AP=PD.

AB=PC

vzAPD=90\：.△ADP是等腰直角三角形.

(2)①依题意补全图2；

图2

②过点C•作CQJ_BA交BA的延长线于Q.

,/BP=1,AB=lt8c=5,「.CP=4,AB=AP.

ZABP=90°,J.Z4P8=45°.

,/ZAPD=90\：.ZCPD=45°,连接CP.

•.,点C与C•关于DP对称，C'P=CP=4,ZCPD=ZCPD=45°,：.ZCPC'=90°,/.ZBPC'=90\/.ZQ=ZABP=4BPC=90°,

J.四边形8QCP是矩形，...CQ=BP=1,BQ=CP=4,AQ=BQ-AB=3.在RSAC'。中，AC=Vi（j.

【名师点拨】

本题考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三

角形是解答本题的关键.

考查题型五根据矩形的性质与判定求面积

21.（2020•辽宁沈阳市•九年级期末）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8。交于点O,过点4作4E_L8c于点E,

延长8c至F,使CF=BE,连接DF.

（1）求证：四边形4EF。是矩形；

（2）若4C=10,N48c=60。，则矩形AEFD的面积是.

21

【答案】(1)见解析；(2)506

【提示】

(1)根据菱形的性质得到八。118c且A0=8C,等量代换得到8C=EF,推出四边形AEF。是平行四边形，根据矩形

的判定定理即可得到结论；

(2)根据全等三角形的判定定理得到A8E合OCF(HL),求得矩形八EFD的面积=菱形ABCD的面积，根据

等腰三角形的性质得到结论.

【详解】

(1)证明：••・四边形A8C0是菱形，

/.ADW8C,AD=BC,

,/CF=8E,

BC=EF,

：.ADWEF,AD=EF,

••・四边形AEFD是平行四边形，

•「AE±BC,

：.AAEF=90°,

:•平行四边形A£F。是矩形；

(2)'：AB=CD,BE=CF,NAEB=NDFC=9U0,

RtAABE^RtADCF(HL),

矩形八EF。的面积=菱形48CD的面积，

'：AABC=60°,

△ABC是等边三角形，

,/AC=10,

A0=^-AC=5,八8=10,80=56，

矩形4EF。的面积=菱形ABCD的面积=yxlOxloJJ=50,

故答案为：50G.

22

【名师点拨】

本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.

22.（2020•吉林长春市•八年级期末）如图，在矩形48co中，EF经过对角线8。的中点0,分别交4。，BC于点E,

F

（1）求证：△80a△DOE；

（2）若A8=4cm,AD=Scm,当EF_L8。时，求四边形28FE的面积.

【答案】（1）见解析；（2）10cm2

【提示】

（1）利用矩形的性质可得：AUIIBC,进而可证全等；

（2）利用全等的性质可得：ED=FB.AE=CF,可得四边形A8FE的面积是矩形面积的一半.

【详解】

（1）记明：.•.四边形八BC。是矩形，

/.40IIBC,

ZBF0=Z.DEO,ZFBO=NEDO,

又「。是8。中点，

OB—ODt

/.△BCF^△DOE（A4S）.

（2）由（1）可得£D=F8..—CF,

s四边格A8F£=5四边形CDEF.

又•.,48=4cm,AD=5cm

2

S^ABCD=20cmf

S四边形A8F£=10CZ772.

故答案为（1）见解析；（2）IQcm2.

【名师点拨】

本题考查矩形的性质，全等的性质和判定，关键是找好对应关系.

23.（2020•江西南昌市•八年级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O,Z1=Z2.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若NBOC=120。，AB=4cm,求四边形ABCD的面积.

23

【答案】(1)详见解析；(2)16百

【提示】

(1)因为N1=Z2,所以BO=CO,2BO=2CO,又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO,BO=OD,则可证AC=BD,

根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；

(2)在ABOC中，ZBOC=120°,则Nl=N2=30。，AC=2AB,根据勾股定理可求得BC的值，则四边形ABCD的面积

可求.

【详解】

(1)证明：/1=Z2,

/.BO=CO,即2BO=2CO.

四边形ABCD是平行四边形，

/.AO=CO,BO=OD,

/.AC=2CO,BD=2BO,

AC=BD.

・「四边形ABCD是平行四边形，

---四边形ABCD是矩形：

(2)在△BOC中，,/ZBOC=120°,

Z1=Z2=(180°-120°)+2=30°,

...在RSABC中，AC=2AB=2x4=8(cm),

BC=782-42=473(皿)・

四边形ABCD的面积=4x4百(cm2)

【名师点拨】

此题把矩形的判定、勾股定理和平行四边形的性质结合求解.考查学生综合运用数学知识的能力.解决本题的关键

是读懂题意，得到相应的四边形的各边之间的关系.

24.(2020•江苏镇江市•八年级期中)如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,过点C作CMII0D,过点D作DE±CM,

E为垂足.

(