专题突破卷04 导数中利用构造函数解决题型 解析版-2025年高考数学一轮复习考点通关卷

专题突破卷04导数中利用构造函数解决题型

原题生预嵬

导数中利用构造函数解决题型

—构造新函数证明不等式

构造新函数研究方程的根

题生各个击破

题型一构造新函数比较大小

<)7I--L

I.已知。=亚,%=cos,,c=e97,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】构造函数/(X)=COS.(l—1],(0,1和g(x)=e、-(x+l),(x>0),利用导数

乙)

求解函数的单调性，即可求解.

【详解】令/(X)=COSA•一\~—,则r(x)=x-sinr,

令°(x)=x-siiu.xw(0假)，则”("=1_CC&>0,口(1)即/'(x)单调递增，所以

,f(x)>,f(O)=O,故为增函数，所以=可得cos；>段，故”b.

令g(x)=e'-(x+l),(x>0),M/(A)=e'-l>0.故g(x)为增了数,所以g(表>g(0)=0,

±o«_107

即e97一丝>o.所以e97〈二，故c<%所以c<a<b

9798

故选：B.

r*43

2.已知4=丁;b=jc=e,则下列大小关系正确的是()

1114ln3

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】构造函数/(外=4(》之6),通过导数判断单调性，进而利用单调性判断函数值的

1ILV

大小.

【详解】由题，c=F.令(X>e),则r(x)=譬L

Ineliu-Inx

因为Me,所以r(x)=l^*o,所f(x)=捻在［e,+8)上单调递增，

又a=/(4),b=f(3),c=/(e),e<3<4.故cvbca.

故选：C.

3.已知定义域为我的偶函数f(x)的导函数为r(“，当x<0时，.y(x)-/(x)<o,若

。=如/=/幽,。=组，则a,4c的大小关系是()

eln23

A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b

【答案】D

【解析】构造函数，根据奇偶性及导数确定单调性，利用单调性即可求解.

X

【详解】令g(x)=/&D，由偈函数/(X)知,

X

当xe(y,0)50，”)时，g(-x)=-g(x),

故g(x)=△△为奇函数，

X

当x<0时，g加="0

x

则g(X)为减函数，

由奇函数知，以外在(。，内)上为减函数，

而In2<Ivev3,

所以g(3)>g(e)>g(ln2),

即c<a<b,

故选：D

4.设4=100访0.1,8=8$-!-,。=205访-!-,贝|J()

2020

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】构造函数，根据三角函数的性质、利用导数判断单调性，作商比较大小即可得解.

【详解】解：由题意〃=IOsinD.1=lOsin-i-=20sinJcos-!-,

102020

1n1

,:0<—<一,*<•0<cos—<1»

20220

20sin—cos—<20sin—,即有

202020

20sin-]

又因为J=——^=20tan-,设〃x)=tanx-x,0<x<^,

bcos-202

20

sinJT,cos2x-t-sin2x,1,1-cos2JTsin2x_

-----1=--------；------1=—;---1=----;-=——20，

COSA,)cos-xcos'XcosXCOS'X

当且仅当x=0时等号成立：

・•・函数〃x)=tanx-x在0.目上单调递增，

.•.当0«1<弓时f(x)之f(0)=0.即有tanxNx,当且仅当x=0时等号成立：.

—=20tan—>20x—=1,即有/?<c.

b2020

”•I1

2()sin—cos—

又因为公一丝产20sin^,设/(x)=sinx-.r.0<x<^,

1

bc_o_s——

20

则/'(x)=(sinx)-1=cosx-IWO，当且仅当x=0时等号成立：

二函数/(x)=sinx-x在0,g)上单调递减，

.•.当0"<曰时〃工)</(0)=0,即有sinxWx,当且仅当x=0时等号成立；.

.\-=20sin—<20x—=1,即有a<从

b2020

综上知，a<b<c.

故选：D.

5.设。=[，/?=ln(l+sin0.02),。=214，则a,b,c的天小关系正确的是()

JUJU

A.a<h<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】分别构造函数/(x)=sinx-Kxw(0.S，g(x)=lnx-x+l,xe(0,l),/»(x)=ex-(1+x)2,

利用其单调性判断.

【详解】解：设/(力=5而]-川6(0目，则/(1)=85》一140.

所以“力在上递减，所以/(x)</(0)=0,即sinxur,

设g(x)=lnx-x+l,x€(0,l),则g<x)=，-l>0,g(x)递增,

则g(x)vg(1)=O,即lnx<x—1,

所以》=In(1+sin0.02)<sin0.02<0.02=a.

令〃(x)=e'-(l+x)2,则〃(x)=c*-2(l+”，/r(.r)=e'-2,

当X<ln2时，/f(X)<0,则"(x)递减，X/f(ln2)=-2in2<0,/f(0)=-l<0,

所以当x«0,如2)时,//(x)<0,〃(x)递减，

则〃(x)<M0)=。，即e'<(l+x。

因为0.02e(O,ln2),ljllJ/:(0.02)<0,

所以即<1.02*喂，即。$<。=21碌,

故匕<a<c，

故选：D

2|]]

6.设。=五，^=sin—,c=ln—,则卜列止确的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】B

【分析】

根据题意，由时，sinx<x,cos.r>l-^,然后构造函数求导，即可判断.

【详解】

对因为y=sinx_,jIjliJ/=cosx-l<0,即函数y=sinx_x在(01)单调递减,

且x=0时，)'=0,则sinx-x<0,RPsinx<x：

片)时'0(X)=COSX-1+、，则。(x)

当XW=-sinx+x,且当xe|o，]J时，sinx<x,

则°'(工)>0，所以困数0,2单蜩递增，贝ij0(x)>P(O)=O,即

,广

cosx>I---

2

先考虑函数/("=siiu•-ln(l+x),xe[0A],则

8位，>1上一，=2(小卜门—卜二-3-胆+叽。

1+x21+A-2(1+A)2(1+X)

故/(奈)>/(。)=0,从而b>c.

再考虑函数g(x)=lnx-2('I),xe[\,+oc),

x+1

，/\I4(X+I)2-4X(X-I)'

则gx—~/、，―~120.

x(x+1)-x(x+l)'x(x+l)-

2年一1]

故g儒卜g(1)=o,即需-吟一>0,故

io+，

综上，b>c>a,

故选：B.

7.已知4=21n3-2,〃=ln5-逐+1,c=3ln2-20+l，则小b,c的大小关系是(

A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】构造f(x)=lnx-«+l,则。=/(9)、力=/(5)、c=/(8),利用导数研究其单调

性，即可判断a,b,c的大小.

【详解】4=2加3—2=1119一步+1，〃=ln5—6+l=ln5-6-l，

=3ln2-2&+l=ln8-&+l,

令f(x)=Inx-6+1且定义域为(0,+8),则f\x)=--一二二上正,

x2V.V2x

所以在(4,y)上r(x)<0,即以")递减,故/(5)>f(8)>〃9),^b>c>a.

故选：A

321

8.已知b=~,c=e2,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<hD.a<c<b

【答案】D

【分析】

构造函数/(x)=x-lnx-1(x>l),^(A)=e'-x-l(x>0),利用导数分析这两个函数的单调

性，可得出〃、J的大小，-L］的大小，利用不等式的基本性质可得出eT、；的大小关

系，由此可得出。、〃、C三个数的大小关系.

【详解】令/(x)=x-lnx-l,其中1>1,

则广(刈=1」=土］>0,所以，函数.f(x)在(1,y)上为增函数，

XX

131

故当x>l时，/(x)>/(l)=0.则lnx<x-l,所以a=

因为0<Ve<2»则c=e'=-p>~•

当x>0时,证明er>x+l,令g(x)=e'-x-1,其中x>0,则g<x)=e、-l>0,

所以函数g(*在(o.y)上为增函数，故当x>o时，g(x)>g(o)=o.

3,12

所以当％>0时,所以e2〈士,

23

—2

3I2-<

所以In—<—<e3-因此

22

故选：D.

9.6/=sin—,/?=—,c=ln1.1,则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】根据《反。的形式，分别构造函数/(x)=x—sinx(x>0)和

^(x)=x+ln(l-x)(O<x<l),利用导数求得函数单调性后，通过比较x和％=0时的函

数值可得大小关系.

【详解】4*y(A)=X-sinX(A->0),plij/*(A)=i-cosx>0,

\/(尤)在(0，y)上单调递增，・•・/(5)>"0)=0,即\>sin，.">〃；

c=In1.1=In-=-In-=—In1——1,

1011、11J

令g(x)=x+ln(l-x)(0<x<l),则g(r)=l----=———<0.

.•.g(x)在(0.1)上单调递减，..g[A)<g(0)=0,即."〈c：

综上所述：a<b<c.

故选：B.

%20.2025

10.设“：。”力=」一,c=ln£^,则()

20242024

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】构造函数/(x)=x-lnCr+l)(0WxKl),利用导数研究单调性，即可比较。，c,由

e2^>eo_r可比较。，b,从而得到答案

［详解】构造函数/(A)=x-lnix+l)(0<x<1),所以f'(x)=1-丁匚=」，>0,即/(.r)在(0,1)

1+x\+x

上单调递增，

所以/(—!—)>/(0)=0，BP———ln(l+—!—)>0,KP—!—>ln^5?2,所以〃>c,

20242024202420242024

5Q23

又因为Ce施h〉C一1所以则。">c,

故选：B

11.已知。，〃满足加“=/川》-〃=人(。是自然对数的底数)，则()

A.ea+,<hB.ab<e

5Io

C.-<a<eD.-e3</?<-e'

223

【答案】D

【分析】由题知3-a-lna=0,2-(ln〃-l)-ln(lnA-l)=0,令2—c—lnc=0,进而构造函数

/(x)=2-x-hiA-,再根据函数〃尤)的单调性得c+l=ln儿a>c,再与2—c=lnc求和整

理即可判断A、B,再由零点存在性定理判断C、D.

【详解】因为"e"=e'，所以a=e"0,即lna=3-a,也即3-a-ln以=0,

即2-4-lna=-l,

令2-c-hic=0.

由〃ln/A〃=e\B|J/?(ln/?-l)=e\所以I曲+In(lnb-1)=3,

即2—(11协—协-1)=0,

4-/(A)=2-A-1ILV,xe(0,+»),/(“)=-1-：<0在(0,y)恒成立，

所以函数/(A)=27-liu•在定义域(0,y)上单调递减,

由〃c)=/(31)=0,/⑷=—1<0,

所以c=ln1,a>c,所以c+l=ln/>,则a+l>ln〃，所以尸>6,故A错误:

又因为lnc=2-c,得2-lnc+l=】n〃，所以lnc+lnb=lnc〃=3,解得c)=c'，

所以">灰、=不，故B错误：

令g(x)=3-x-lnx,则g(x)在定义域(0,+8)上单调递减,

Xg(e)=3-e-lne=2-e<0,^(2)=3-2-ln2=l-ln2>0,

则g(x)在(2,§上存在唯一零点,

又g(a)=3—a—lna=0,所以故C错误:

因为/⑵=2_2_ln2=_ln2<0,

因为2-=4e>2x2.5=10>9,所以2e；>3,所以空>

,⑶r3।31।3।।3।2「八

/—=2------In—=——In—=Ine2-In—=In----->0，

y2)222223

所以在停2)上存在唯•零点，即|<c<2,则:<：<|,乂加

则〃=J,所以=故D正确.

c23

故选：D

12.已知〃?=2的，〃=〃=2.04,则〃，〃的大小关系为()

A.ni<p<ng,n<m<p

C.P<n<mD.m<n<p

【答案】A

【分析】将0.02换成x，分别构造函数/(x),g(x),,利用导数分析其在0的右侧包括0.02的

较小范国内的单调性，结合/(。)=0,8(。)=0即可得出m,n,p的大小关系.

【详解】令x=0.02,则相=2®=2|'0°2=2山，〃=44+0.24=J4+12X,

P=2.04=2+0.04=2+2A-,

当/.0<12x<4,,4+12x<y/4+5

设/(x)=2+2—4+12x,则r(x)=2—/6=智际-6,

''''>/4<12^x/4+12^

、o62V4+12x-6^25/4+5-6..

:.f(x)=2一一/=——i<1=0,

'j4+12xj4+12xV4+12.V

.•./(x)=2+2x-〃+12x在0,；)单调递减,/./(0)=0>/(0.02)=(2+0.04)-74+0.24,

/.0>(2+0.04)-V4+0.24=>V4+0.24>2+0.04=>7424>2.04,

当0<x<g,.-.0<l2x<4,、/4+12xv14+12

设g(x)=2+2x-2“"

则g(x)=2-2,+Aln2=2(l-2*ln2)>0,

:.g(x)=2+2x-2,+x在10,皆单调递增，g(0)=0<g(0.02)=2+0.04-21go2,

.二…<2+0.04,:.m<p,

故选:A.

题型二构造新函数利用单调性解不等式

13.定义在R上的函数〃力导函数为r(”，若对任意实数必有且

/(力+2024为奇函数，则不等式/(x)+2024e'<0的解集为()

A.(-8,0)B.(0,+i»)c.卜。0'!)D.g'+8)

【答案】B

【分析】构造以外=牛，根据导数研究g。)单调性，结合已知将问题化为g(x)<g(0),

e

再根据g(x)的单调性即可求出结果.

【详解】设g(x)=华，则g

ee

对任意实数x,有/(x)>/'(x),

所以g'(x)<0,则g。)在R上单调递减.

因为/(x)+2024为奇函数，且f(x)的定义域为R,

所以40)+2024=0,所以八0)=-2024,所以g(0)=—2024.

因为炉>0，所以求不等式/(x)+2024e'<0的解集，

即求答<-2024的解集，即求g(X)<8(0)的解集，

e

因为g(x)在R上单调递减,所以g(x)<g(0)的解集为x>0,

所以不等式/(x)+2024c'<。的解集为(0,+司.

故选：B

14.定义在R上的可导函数/(X)满足八*)<1,若/(刈-川-则"，的取值范

围是()

A.(-O0.-1]B.(Y,g]C.1-1,+8)D.[；，+8)

【答案】B

【分析】构造函数，并求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于冽的不等式，解出即

可.

【详解】令g(x)=/(x)-x,则g(x)=f(x)-l<0,故g(x)单调递减，

/(，”)-f(l-2小)N35一I即£(⑼N.g(1-2m),得小£1一2m,解得：mV；.

故选：B.

15.已知函数“X)及其导函数/'(X)的定义域均为R,且

(A-l)[r(^)+/W>0,/(2-x)=/(x)e^2,则不等式坐九丝1的解集是()

ex

A.(0,e2)B.(l,c2)C.(e,e2)D.(e2,+co)

【答案】B

【分析】构造函数g(x)=e'/(x),根据已知讨论导数符号可得单调性，由

=一可得g(2)=g(O),将不等式以蚂<丝)转化为g(lnx)<g(2),然后

e-x

利用单调性可解.

【详解】记g(x)=e，/(x),则g'(x)=e，/3+c\r(x)=eI/(j)+T(切，

因为(x—l)[r(x)+/(x)]>0，

所以当x>l时,//(A)+/(X)>0,则g[x)>0,g(x)在(1,+8)上单调递增;

当KV1时,r(x)+/(A-)<0,则g'(x)<0,g(x)在(一%1)上单调递减.

又“27)=f(x)e*2=e27/(27)=e'/(x),即g(27)=g(x),

所以g(2)=g(0),

因为""<犯=。⑶<e2/(2)=g(Inx)<g(2),

ex

所以Ovlnxv2,解得lev/.

故选：B

16.已知定义在R上的函数/"),满足/(2-x)，*(x),且当4>毛>1时，恒有

/叱/(%)<0,则不等式/"-1)>/(2工+1)的解集为()

X2~Xi

A.(-2,0)B.卜c.(-<»,-2)U^|,+co^D.(-<»,-2)v(0,+co)

【答案】C

【分析】先根据〃2-x)=/(x)得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解.

【详解】由"2—%)=/(%)得，/(X)的图象关于直线x=l对称，

令g(x)=f(x+l),则g(x)是偶函数，又当为"之1时,恒有"电)一"")<0,

出7]

故在口，”)上单调递减，所以g(力在[()，”)上单调递减，

则/(K-l)>"2x+l)=g(x-2)>g(2x)nk-2|<|2M，

BPW(X-2)2(4X2,3A-2+4X-4)0,(3X-2)(X+2)>0

2

解得xv-2或x>

故选：C.

17.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为尸(“，且满足了'(M-2〃x)>0,〃1012)=6的，

则不等式的解集为()

A.(0,2024)B.(0«2)C.(2024,y)D.(e*,y)

【答案】B

【分析】令/=glnx,不等式转化为$构造函数g")=’,求导得到单调性，结

合g(1012)=缥以=1,得到g(，)<g(1012),根据单调性解不等式，求出解集・

e2

【详解】令"glnx,则％=e",

所以不等式/n，<x等价转化为不等式./■(，)<e,即*<I,

构造函数g(/)=半，则

ee

由题意,J⑺:2/(/)〉o,所以g(。为R上的增函数，

X/(1012)=e2024,所以g(10l2)="翳)=l,

e

所以g«)=4P<l=g(1012),解得Y1O12,即:lnx<1012,

所以Ocve202，

故选：B

18.已知定义域均为R的函数〃x),g(x)的导函数分别为了'(£l,g'(x),且

g⑺>0J⑸=g⑸,/(，)[?(：年"。)<0,则不等式/(x)<g(x)的解集为()

A.(F5)B.(5,+co)C.(fl)D.(1,+<»)

【答案】B

【分析】运用函数导数的四则运算构造新力(”=焉，〃'(x)=

g(H]

则用新函数的单调性解题即可.

r(x)g(x)-/(x)g'(x)

【详解】令则力‘(”=V。,所以力㈤单调递减.

屋工)口(疥

由/(x)(g(x)，g(x》OJ(5)=g(5),

得力(力=4^</乂5)=41^=1，所以x>5.

g(x)g(5)

故选：B.

19.已知函数八工)及其导函数/'Or)的定义域均为R,〃0)=0且/(x)+r(x)>0,则不等

式/(丁+4¥-5)>0的解集为()

A.(-<»,-5)U(1,-KO)B.(9,-1)U(5M)

C.(-5,1)D.(-1,5)

【答案】A

【分析】根据题意，构造函数8。)=0了(幻，判断以外的单调性，将所求不等式进行同解

变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得.

【详解】设g(x)=</(x)，则g'(x)=eV(x)+/'(x)]>0,故0*)单调递增.

又g(0)=e°/(0)=0,故/(x2+4x—5)>0可转化为/44―〃/+4x-5)>0，即

g(Y+4,E-5)〉g(。)，

由g(x)单调递增可得A-2+4x-5>0,解得x<-5或x>1,

即不等式/(X2+4%-5)>0的解集为(f,-5)J(l,-KO).

故选：A.

20.已知可导函数八x)的定义域为(7,0),其导出数/‘(X)满足矿(幻+2/。)>。，则不等

式(*+2024)2.〃工+2024)-〃一1)<0的解集为()

A.(-2025,-2024)B.(-2024,-2023)C.(-oo,-2024)D.S-2023)

【答案】A

【分析】构造函数g(X)=£f(M(%<0)，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为

g(x+2024)<g(-l),结合函数的单调性解不等式即可.

【详解】令g(x)=(A-<0)，则g'(x)=+2/(.1)]<0,

故g(x)在(YO,0)上单调递减，

不等式(％+2024»/(.(+2024)-/(一1)<0可变形为

(X+2024)2./(X+2024)<(-1)2./(-1),

即弟+2024)<以-1),

所以x+2024>-1且A+2024<0,解得-2025<X<-2024.

故选：A

21.已知函数y=/(x)的定义域是(70,0)J(o,+«>),对任意的即A2c(0,+8),%产占，

都有xj(%)-xJU)<0,若函数)，=〃2x+l)的图象关于点J/o]对称，且"2)=2,

巧一司、乙)

则不等式的解集为()

A.(-2,O)U(O,2)B.(-2,0)u(2,+x)

C.(-OO»-2)LJ(0,2)D.(-oo,-2)"2,+8)

【答案】C

【分析】构造函数结合题目给的对任意的彳勺£(0,+4,9%,都行

»(/)；"%)<0,得出今2的单调性，再利用),=〃2x+1)的图象关于点可对称,

得到"X)的奇偶性求解最后的不等式.

【详解】因为任意的不出«0，+e),X产修，都有必生豆⑷<0.

X?一再

f(x2)/(.¥))

所以'I,再<0,令占>/>0,贝IJ卫3<生口,

令g(x)=△2，则g(x)在(0,口)单调递减，

又函数.y=〃2x+i)的图象关于点(［可对称,

则/(-V)关于(o,o)对称，即fix)为奇函数，

所以g(x)="0为偶函数，

X

则g(x)=4也在(—，())上单调递增，

X

由

可得当x>0时，丛»>1,

X

又/⑵=2,则竿=1.

所以当工>0时，0cx<2,

当xv0时,犯<1,且回=犯“

x-22

所以xv-2,

则解集为【XIx<-2或0vx<2}

故选：C.

22.已知函数f(x)及其导数/'(X)的定义域均为R,对任意实数孙/(x)=/(-x)-2x,且

当x20时，r(x)+x+l>0.不等式“2x-2)-/(x)<-(+3x的解集为()

A.(-co,2)序)C.(|,+8)D.m(2,+g)

【答案】B

(分析］构造函数g(x)=f(x)+^x2+x,从而结合导数与所给条件得到函数g(x)的单调性

与对称性，在将所给不等式中/(X)化为g(X)即可得解.

【详解】令g(x)=/(x)+gr+x,则g(x)=r(x)+x+l,

由题意可得,当xNO时,/(x)+x+l>0,即g(x)在(0,+8)二单调递增,

由/(切=/(_幻一级，则g(x)_gx2_x=g(_x)_g/+x_2x,

即g(x)=g(-x)，故g(x)为倡函数，故g(x)在(一8,0)上单调递减，

则不等式/(2x-2)-/(x)<-与+3x可化为：

g(2.¥-2)--i(2A-2)2-(2x-2)-^(A)4-ix2+x<--^-+3x,

即g(2x—2)<g(x),则有|2x-2|<W，即(2X-2)2",

KP(2x-2+x)(2x-2-x)<0,HP(3x-2)(x-2)<0,

解得xw停2).

故选：B.

23.已知函数的导函数为/'(.i),且/(l)=e,当x>0时，f(x)<-+e,则不等式

X

/(X)：底>］的解集为()

e

A.(0,1)B.(0,+O7)C.(1,+巧D.(0,l)u(l,-hx>)

【答案】A

【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单词性，即可求解原不等式.

【详解】不等式『(』7nx>1等价于/(等e*十Inx,即十In),0,

e'

构造函数g(x)=/*)-e'+Ini,x>0,所以g'(x)=fXx)-ex--,

x

因为x>0时，r(x)<L+e\所以g'(x)〈0对Vxe(0,E)恒成立，

所以g。)在(0,内)单调递减，

又因为以1)=/⑴-cTnl=0,

所以不等式/")一e，+lnx>0等价于g(x)>g⑴,所以Ovxvl,

即/(*7nA>1的解集为(o」i.

e

故选：A.

24.已知定义在R上的奇函数/(x),其导函数为广(力，/(-3)=0,当X>0时，

3/(力+#'(x)<0,则使得人力<。成立的x的取值范围是().

A.(^,一3)5。，3)B.(-3,O)U(3,-HC)

C.(YC,-3)U(3,+℃)D.(-°o,—3)<J(—3,0)

【答案】B

【分析】设点x)=V/(x),根据题意可得函数g(x)为偶函数以及其单调性，再分x>0以及

x<0讨论即可得出答案.

【详解】设或x)=x"(x)，贝Ijg'(x)=3x7(x)+Vf(x)=W(x)+")],

由于当x>0时，3/a)+.y(“<0,

则当”>0时，g'(x)<。，g。)在(。,内)单调递减，

又了⑴为奇函数，/。)=-/(一外,则以一/)=(-力3/(-工)=》"(、)=身(刈，则函数g(x)为偶

函数，

可得函数g(x)在(F，0)上单调递增，

乂/(-3)=0,则以-3)=晨3)=0,

当x>0时，由/")<(),可得g(x)<0,即g(x)<g(3),解得x>3；

当x<0时，由f(x)〈O,可得g(x)>0,即g(x)>g(3),解得—3vxvO；

综卜,不等式/5)<0的解集为(-3.0)D(3.+s).

故选：B.

题型三构造新函数证明不等式

25.若0<%<与<1,则()

t：J,A,

A.e+Ini]>e+ln.r2B.e"+Iar)<e+lnv2

x,t2x,2

C.A:e>.r1eD.x2e<.^e*

【答案】C

【分析】根据选项构造两个函数/。)=炉-山，g(x)q,再利用导数思想，来研究在(0,1)

上是否是单调函数，即可作出选项判断.

【详解】令/(x)=ex-hir,则r(x)=e、-‘，令刈月=--\则〃(x)=e'+二>0恒成

-XX

立，

即ra)=e-在定义域(0,+8)上单调递憎，且/O=e；-e(0J<l)=e-l)0,

因此在区间g，l)上必然存在唯•小，使得/(小)=0，

所以当工«0,%)时/(%)单调比减，当工£(/,1)时/(%)单调递增，故A,B均错误;

令g(x)=',g'(x)=W5,当Ovxvl时，g'(x)<0,

XX

・••g(x)在区间(0,1)上为减函数,

vO<x,<x,<l,.-.—>—,即w铲>%u,.•.选项C正确,D不正确.

国电

故选：C.

26.^-<a<b<\,贝ij()

e

A.ba<bl><au<a,'B.ba<aa<bh<ab

C.ah<aa<baD.ab<bh<aa<ba

【答案】C

【分析】根据指数函数的性质结合/(*)=.vlnX-<x<1)的单调性分析判断.

e

【详解】因为)，=〃’(1<a<1)在R上递减，且,<〃</><1,

ee

所以>aa>ah>a'

因为y="d<人<I)在R上递减，

ee

所以痴

令f(x)=xln.v(-<A-<1),则f'(X)=Inx+1,

e

因为［<工<1，所以八x)>。，

e

所以/*)在上递增，

因为!<“</><1,所以/(a)</(〃)，

e

所以〃Ina<b\nb,所以Inau<Inbb，

所以〃"</，

所以a"人a.

故选：C

27.已知Iog1,2021>log“2021>0,则下列结论正确的序号是()

①0.2"<0.2',②!>」，③lna+"，④若〃?>0,则

«•b~bb+m

A.®®B.®®C.①④D.②④

【答案】B

【分析】推导出利用指数函数的单调性可判断①，利用作差法可判断②④，利用

函数/(戈)=X-Inx在(1,400)上的单调性可判断③.

【详解】因为log/OZlAlogJOZI〉。，即93叫垩！>0,则］na>［n/〉>0,得

InbIna

对于①，因为指数函数y=02为R上的减函数，则0.2“<0.2"，①对；

对于②，审=(叱叱”叽0,则②错；

a'b~a~b~a~h~a'lr

对于③，构造函数/(x)=x-lnx,其中x>l,则/("=1一’=二1>0,

.1X

所以，函数/(X)在(l,E)上为增函数，则/(〃)>/(〃)，即a-hw>〃-Inb,

故ln〃+a>lna+Z?,③对：

b(a+m)-a(b+ni)m(b-a)

,八Ihla4+〃？0

对于④，.•心°，则则广方④镣

b(b+m)b(b+m)

故选：B.

28.下列不等式中不成立的是()

A.e^'-'>coslB.兀ln4<4h】冗

C202311:20234+1

,02021<102023

■20232+1>20233+1D.8202282024

【答案】c

【分析】由不等式e「之x+1可得A正确，构造函数利用单调性可得B正确,

作差之后化简可得C错误，构造函数g(x)=1n：：：i］利用单调性可得D正确.

【详解】由产1之cosl-1+l：令1y=e'-x-l,则y'=e'-l.

所以(Y>,O)上y'<o,y递减，(o,-H»)±y>o,y递增,故”e0-o-i=o,

所以e*2x+l,而cosl-IwO,所以6。*1之8S1-1+1=851,所以人正确：

由兀In4v41n7t知，令/(*)=丹^，则/,(4；)二一"'〔1-,

令r(x)<。得：x>e,所以〃工)在(e,y)上递减，所以〃4)</(兀)，

即”<皿，所以兀11［4<411］兀，所以B正确；

4n

5,42

「2023'+120234+l(2023+1)(2023+1)-(2023+1)(2C23+1)

]-------------------

20232+l2023、+1(2O232+l)(2O233+l)

(20236+2x20233+1)-(20236+20234+20232+1)-20232x20222

(20232+1)(2023、+1)-(20232+1)(20233+1)

2023、I20234+1

即Hn---;-<----；—所以C错误;

2023-+120233+1

由'321"四2023知，向in9()21〈扁In2(P3：令&/(\止而inx而,(”、)，

则(⑴=fn(x+l)—东心=(x+l)Mx+l)-#nj,

[ln(x+l)丁.r(A+l)[ln(x+l)j*

令〃(x)=xlnx,则”")=1[1/+工,=111人+1,令”(%)>0得

所以〃(x)在,+8)上递增，所以(x+1)hi(x+1)>xlnx对xel：e,+00)恒成立,

即g'(x)>。对xe(e,+co)恒成立，所以g(x)在(e,+<»)上递增,

所以g(2021)<g(2023),即岩黑鬻，亦即log皿202lvlogM,2023,所以D正确.

In2022In2024

故选：C

29.已知a=3/rln2,6=26n3,c=61n%,则下列结论正确的是()

A.a>c>bB.a>h>cC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【分析】令/(司=皿，利用导数可求得/(x)单调性，由单调性可得手>叱>华，利

x3乃4

用所得不等式化简整理即可得到大小关系.

【详解】令/(k=皿，则/。)=上?二

•\X

二.当xc(O,e)时，>0；当了€(5田)时，r(x)<0：

\/(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

「/r/\八In3In7TIn4

.-./(3)>/(/r)>/(4),BUrPt—,

,ln3Inn,c…

由—>---得ZH：^ln3>3lnn»1.2万ln3>6ln/r,tipb>c\

3冗

,ln^In4-,3

由--->---得：4ln^->^ln4,..6ln^->—^In4=3^1n2,即c>a；

兀42

综上所述：b>c>a.

故选：D.

30.已知函数〃力=：/一%2,若/W)=e"-〃，则川与“的大小关系为()

A.m>nB./〃=〃

C.m<nD.不能确定

【答案】A

【分析】设g(x)=e*t,利用导数先研究函数/⑶和或力图象性质，并得到在R上g(x)>/(-r)

恒成立,若=-〃=g(〃)，可知〃?>3,若〃<0,则显然而>〃,若〃A0,由

g(m)>f(m)=g(n),所以/〃>",综上所述,m>n.

【详解】由=,r(x)=x2-2x=x(x-2),

当x<0或x>2时，广(幻>0.则函数〃力单调递增,